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上海市八校联考2012届高三数学理


上海市华师大一附中等八校 2012 届高三 2 月联合调研考试卷

数学试卷(理科)
(本试卷满分 150 分,测试时间 120 分钟)
参加学校:华师大一附中、曹杨二中、市西、市三女子、控江、格致、市北、(育才、晋元高中)

一、填空题(本大题共 56 分,每小题 4 分)
1.计算:

1? i ? ____________ (其中 i 为虚数单位). 2?i

2.已知向量 a ? (?5 ,3) , b ? (2 , x) ,若向量 a 、 b 互相平行,则 x =____________. 3.已知向量 a 与 b 的夹角为 4.在二项式 (ax ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? , | a |? 1 , | b |? 2 ,若 ? b ? a 与 a 垂直,则实数 ? ? _________. 3

1 8 ) 的展开式中,若含 x 2 项的系数为 70 ,则实数 a =_____________. x
4 ? ? ,则 tan( ? ) 的值为_______________. 5 2 4

5.已知 ? 是第二象限角,若 sin ? ?

a 2 ? a ? 16 6.若 M ? log 1 , a ?[4,17] ,则 M 的取值范围是_________________. a ?1 3

? y ? (1 ? q) x ? 2 ? 7.关于 x 的方程组 ? 有唯一的一组实数解,则实数 q 的值为_____________. 1 ? y ? ? qx ?
8.把编号为 1、2、3、4、5 的 5 位运动员排在编号为 1、2、3、4、5 的 5 条跑道中,若有且只有两位运动员 的编号与其所在跑道编号相同,则不同的排法种数共有___________种.
2 2 9.过点 M ( ,1) 的直线 l 与圆 C: ( x ? 1) ? y ? 4 交于 A 、 B 两点, C 为圆心,当 ?ACB 最小时,直线 l 的

1 2

方程为_________________.
?1 10.在平面直角坐标系 xOy 中, 函数 f ? x ? ? k ? x ?1? k ? 1 ) ( 的图像与 x 轴交于点 A , 它的反函数 y ? f ? x ?

的图像与 y 轴交于点 B , 并且这两个函数的图像交于点 P . 若四边形 OAPB 的面积是 3 , k ? ___________. 则 11.已知 k ? Z ,向量 AB ? (k ,1) , AC ? (2, 4) ,若 | AB |? 10 ,则 ?ABC 为直角三角形的概率是_______________. 12. 已 知 ?ABC 中 , AC ? 2 , BC ? 1 , ?ACB ?

??? ?

??? ?

??? ?

2? , D 为 AB 上 的 点 , 若 AD ? 2 DB , 则 3

?CDB ? ____________(结果用反三角表示).
13.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?
2

y2 ? 1的交点为 A , B 两点,点 P 是椭圆 4

上的动点,则使 ?PAB 的面积为

1 的点 P 的个数为_____________. 2

14.如图所示的程序框图中, ,函数 int( x) 表示不超过 x 的最大整数,则由框图给出的计算 结果是____________.

二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 5 分)
15.若函数 y1 ? a ? x2 , y2 ? c ? 2x , y3 ? b ? x3 ,则由表中数据确定 f ( x ) 、 g ( x) 、 h( x) 依 次对应 ( ). (B) y2 、 y1 、 y3 (D)

(A) y1 、 y2 、 y3 (C ) y3 、 y2 、 y1

y1 、 y3 、 y2

x
1 5 10

f ( x)
2 50 200

g ( x)
0.2 25 200

h( x )
0.2 3.2 102.4

16.在证券交易过程中,常用到两种曲线,即时价格曲线 y ? f ( x) 及平均价格曲线 y ? g ( x) (如 f (2) ? 3 是 指开始买卖后二个小时的即时价格为 3 元; g (2) ? 3 表示二个小时内的平均价格为 3 元),在下图给出的四个 图像中实线表示 y ? f ( x) ,虚线表示 y ? g ( x) 其中可能正确的是 ( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

17.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形, 且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? (A) 3 :1:1 (B) 3 : 2 : 2 (C) 3 : 2 : 2 (D) 3 : 2 : 3 ( ).

18.函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,若对于任意的正数 a,函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) 都是其定义域上的增函 数,则函数 y ? f ( x) 的图像可能是 ( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题(本大题满分 74 分)
19. (本题满分 12 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
2 已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x ? 2 . 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2 )当 x ? ?

? ? 3? ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值,最小值. , ?4 4 ? ?

20. (本题满分 12 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 在一个棱长为 2 ? 2 的正方体的八个顶角上分别截去一个三棱 掉棱锥后的多面体有六个面为正八边形,八个面为正三角形(如 示) , (1)求异面直线 AB 与 GH 所成角的大小; (2)求此多面体的体积(结果用最简根式表示). 锥, 使截 图 所

21.(本题满分 12 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 O 为坐标原点,点 A(2,1) , B(1, 2) ,对于 k ? N 有向量 OP ? kOB ? OA , k (1)试问点 P 是否在同一条直线上,若是,求出该直线的方程;若不是,请说明理由; k (2)是否在存在 k ? N 使 P 在圆 x ? ( y ? 2) ? 5 上或其内部,若存在求出 k ,若不存在说明理由. k
2 2
? ?

????

??? ??? ? ?

22.(本题满分 19 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分.

(1.5, 2) 和点 (2, 0) , 已知函数 y ? f ( x) 的图像(如图所示)过点 (0, 2) 、 且函数图像关于点 (2, 0) 对称;直线 x ? 1
和 x ? 3 及 y ? 0 是它的渐近线.现要求根据给出的函数图像研究函数 g ( x ) ?

1 的相关性质与图像, f ( x)

(1)写出函数 y ? g ( x) 的定义域、值域及单调递增区间; (2) 作函数 y ? g ( x) 的大致图像 (要充分反映由图像及条件给 出的信息); (3)试写出 y ? f ( x) 的一个解析式,并简述选择这个式子的理 由(按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分).

23. (本题满分 19 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项. 按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”“四边形数列”? ,将构图边数增加到 n 可得到 n 边 、 “ 形数列” ,记它的第 r 项为 P(n, r ) ,

1,3,6,10

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

(1) 求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; (2) 试推导 P(n, r ) 关于 n 、 r 的解析式; ( 3) 是否存在这样的“ n 边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数 列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

参考答案: 1.

1 3 ? i 5 5
8.20

2. ?

6 5

3. 1

4. ?1

5.

1 3

6. [?2 ? log3 2 , ?2] (或 [? log3 18 , ?2] 等

7.

1 或 2
13.2

1

9. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 (或 15.D 16.C 17.B

1 1 3 ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 0 等) 10. 2 2 2
18.D

11.

4 19

12. arccos

7 14

14.1

19. 解: (1) f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

4分

? f ? x ? 的最小正周期为 ? .
(2).? x ? ?

6分

? 7? ? ? 3? ? 3? , , ? ,? ? 2x ? ? 4 4 4 ?4 4 ?

8分

?? 2 ? ,??1 ? sin ? 2 x ? ? ? 4? 2 ?
? ? 2 ? f ? x ? ? 1.

10 分

12 分

? ? 3? ? ? 当 x ? ? , ? 时,函数 f ? x ? 的最大值为 1,最小值 ? 2 . ?4 4 ?

20. 解: (1) 易知 FE / / AB , GH / / EC , 所以 ?FEC 就是异面直线 AB 与 GH 所成的余角). 经计算得: ?FEC ?
?

3分

3? 5? ? arctan( 2 ? 1) ? 4 8
? ?

(也可以直接用 45 ? 22.5 ? 67.5 做) 所以异面直线 AB 与 GH 所成的角的大小为

3? 8
6分

(arctan( 2 ? 1), arc cos

2? 2 ). 2

(2)设正八边形的边长为 2x ,则由题意得: x ? x ? 2 x ? 2 ? 2 , 所以,正八边形的边长为 2 . 设多面体的体积为 V , 则 V ? (2 ? 2) ? 8 ? ?
3

9分

1 1 56 ? 14 2 . = 3 2 3

12 分

21.解:(1)点 P 在同一条直线上,直线方程为 y ? 2 x ? 3 . k 证明如下: 设点 P ( xk , yk ) ,则 ( xk , yk ) ? k (1, 2) ? (2 ,1) k 即?

2分

? xk ? k ? 2, 所以 yk ? 2 xk ? 3 . ? yk ? 2 k ? 1,
5分

所以,点 P 在直线 y ? 2 x ? 3 上. k (文科)按证明情况酌情给分 (2)由圆 x ? ( y ? 2) ? 5 的圆心 (0 , 2) 到直线 y ? 2 x ? 3 的距离为
2 2

| ?2 ? 3 | ? 5 ,可知直线与圆相切, 所 5

以直线与圆及内部最多只有一个公共点

10 分 12 分

? 而切点的坐标为: (2 ,1) ,此时 k ? 0 不满足题意,所以不存在 k ? N 满足题意.

22.解: (1) 定义域为: {x | x ? 1, x ? 2, x ? 3, x ? R} 值域为: (??,0) ? (0, ??) 函数的单调递增区间为: (1, 2) 和 (2,3) (2)

2分 3分 5分

图像要求能反映出零点( (1, 0) 和 (3, 0) ,渐近线 x ? 2 ,过定点,单调性正确. (3) 结论可能各异如: f ( x) ?

5分

3(2 ? x) , | x ? 1|| x ? 3 |
?2 ? x ?1 ? x ?1 ? ? ? f ( x) ? ??2 tan( x) 1 ? x ? 3 ,等 2 ? ?2 ? x?3 ? x ?3 ?

? ? ? f ( x) ? ? ? ? ?

2? x ( x ? 3) 2 2? x ( x ? 1)2

x?2 x?2

层次一:函数图像能满足题意, 但没有说明理由 层次二: 函数图像能满足题意,能简述理由(渐近线、定点等部分内容) 层次三: 函数图像能满足题意,能说明过定点、渐近线、单调性及对称性

4分 6分 9分

解: (1) P (3, r ) ?

r (r ? 1) , 2 r ( r ? 1) ? 36 , 由题意得 2 所以,最小的 r ? 9 .

3分

5分

(2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则 P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar 从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变,

所以 ar ?1 ? ar ? n ? 2 , a1 ? 1 所以 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列, 所以 P(n, r ) ?

r (n ? 2)r (r ? 1) [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] .(或 r ? 等) 2 2

13 分 16 分 17 分

(3) P(n, r ? 1) ? P(n, r ) ? (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1 显然 n ? 3 满足题意,

而结论要对于任意的正整数 r 都成立,则 (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1 的判别式必须为零, 所以, 4 ? 4(n ? 2) ? 0 , n ? 3 所以,满足题意的数列为“三角形数列”. (文科) (2)为第 50 项, (3)同理科(2). 19 分

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