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苏教版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题:空间向量在空间平行垂直中的应用

空间向量在空间平行垂直中的应用 题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点。求证:MN∥平面 A1BD。 思维启迪:证明线面平行,可以利用判定定理先证线 线平行;也可以寻找平面的法向量。 证明 方法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 1? ? ?1 ? 则 M?0,1,2?,N?2,1,1?,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), ? ? ? ? 1 1? → =? ?2,0,2?, 于是MN ? ? 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z)。 x+z=0, → =0,且 n· → =0,得? ? 则 n· DA DB 1 ?x+y=0. 取 x=1,得 y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1)。 1? ?1 →· 又MN n=?2,0,2?· (1,-1,-1)=0, ? ? → ⊥n,又 MN?平面 A BD, ∴MN 1 ∴MN∥平面 A1BD。 方法二 1→ → =C → → 1 → 1→ 1 → → MN 1N-C1M= C1B1- C1C= (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 2 2 → ∥DA → ,又∵MN 与 DA 不共线,∴MN∥DA , ∴MN 1 1 1 又∵MN?平面 A1BD,A1D? 平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD。 探究提高 用向量证明线面平行的方法有: (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。 本题易错点:只证明 MN∥A1D,而忽视 MN?平面 A1BD。 练习: 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方 形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别 是线段 PA、PD、CD 的中点。求证:PB∥平面 EFG。 证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形, ∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系 Axyz,则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、 E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)。 → =(2,0,-2),FE → =(0,-1,0),FG → =(1,1,-1), ∴PB → =sFE → +tFG →, 设PB 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ?t=2, ∴?t-s=0, ?-t=-2, 解得 s=t=2。 → =2FE → +2FG →, ∴PB → 与FG → 不共线,∴PB → 、FE → 与FG → 共面。 又∵FE ∵PB?平面 EFG,∴PB∥平面 EFG。 题型二 利用空间向量证明垂直问题 例2 如图所示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的 中点。求证:AB1⊥平面 A1BD。 证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m。由共面向量定理,则存在实数 λ,μ, → +μBD →。 使 m=λBA 1 → → → 令BB1=a,BC=b,BA=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a· b =a· c=0,b· c=2,以它们为空间的一个基底, → =a+c,BD → =1a+b,AB → =a-c, 则BA 1 1 2 1 ? → +μBD → =? ?λ+2μ?a+μb+λc, m=λBA 1 ? ? ?? 1 ? ? ? 1 ? →· ??λ+2μ?a+μb+λc?=4?λ+2μ?-2μ-4λ=0。 AB 1 m=(a-c)· ?? ? ? ? ? → 故AB1⊥m,结论得证。 方法二 如图所示,取 BC 的中点 O,连接 AO。 因为△ABC 为正三角形, 所以 AO⊥BC。 因 为 在 正 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 , 平 面 ABC⊥ 平 面 BCC1B1, 所以 AO⊥平面 BCC1B1。 → ,OO → ,OA → 为 x 轴,y 轴,z 轴 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,以OB 1 建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3), A(0,0, 3),B1(1,2,0)。 → → 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),BA1=(-1,2, 3),BD=(-2,1,0)。 → ,n⊥BD →, 因为 n⊥BA 1 → =0, ? BA ?-x+2y+ 3z=0, ?n· 1 故? ?? → =0 ?-2x+y=0, ? BD ? n· 令 x=1,则 y=2,z=- 3, 故 n=(1,2,- 3)为平面 A1BD 的一个法向量, → =(1,2,- 3),所以AB → =n,所以AB → ∥n, 而AB 1 1 1 故 AB1⊥平面 A1BD。 探究提高 证明线面平行和垂直问题, 可以用几何法, 也可以用向量法。 用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及两向量 垂直的判定定理。若能建立空间直角坐标系,其证法较为灵活方便。 练习:如图所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90° ,且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点。求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF。 证明 (1)如图建立空间直角坐标系 A—xyz,令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4)。 取 AB 中点为 N,连接 CN, 则 N(2,0,0