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高中数学 1.1.6+7 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件 新人教B版必修2_图文

1.1.6 【课标要求】 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 柱、锥、台和球的体积 1.1.7 1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体 的表面积与体积的求法. 2.了解球体的表面积和体积计算公式,并能运用它们解决几 何体的度量问题. 【核心扫描】 1.利用公式求表面积及体积.(重点) 2.与球有关的组合体问题的求解,体会其中的转化思想.(难 点) 自学导引 1.柱体、锥体、台体、球的表面积 几何体 圆柱 表面积公式 S= 2πr(r+l) (其中 r 为底面半径, l 为母线长) S= πr(r+l) l 为母线长) (其中 r 为底面半径, 圆锥 圆台 2 2 π( r ′ + r +r′l+rl) S= (其中 r′, r 分别为上、下底面半径,l 为母线长) 球 2 4π R S= (其中 R 为球的半径) 试一试:斜棱柱的侧面展开图是怎样的图形,它的侧面积 怎样求. 提示 斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的 不规则图形.它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截 面(与侧棱垂直相交的截面)的周长与侧棱长的乘积. 2.柱体、锥体、台体与球的体积 几何体 柱体 锥体 体积公式 V= Sh (S 为底面面积,h 为柱体的高) 1 V= 3Sh (S 为底面面积,h 为锥体的高) 1 V= (S′+ S′S+S)h (S,S′分别为 3 上、下底面积,h 为台体的高) 4 3 V= πR 3 台体 球 (其中 R 为球的半径) 试一试:比较柱体、锥体、台体的体积公式,你能发现三 者之间的关系吗?柱体、锥体是否可看作特殊的台体?其体积 公式是否可以看作台体公式的特殊形式? 提示 柱体、锥体可以看作“特殊”的台体,当S′为0时 变为锥体,当S′=S时,变为柱体. 名师点睛 1.表面积公式 (1)柱体的表面积 柱体的表面积是侧面面积与上、下底面面积之和.棱柱的侧 面展开图是一个或几个平行四边形,上、下底面不变,因此只要 计算出侧面面积,其表面积即可求;圆柱的侧面展开图是矩形, 上、下底面不变,所以它们的表面积公式为 S 表面积=S 侧+2S 底. (2)锥体的表面积 一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的,因此侧 面积为各个三角形面积之和,一个圆锥的侧面展开图为扇形, 利用扇形面积公式可求侧面积,所以它们的表面积公式为S表面积 =S侧+S底. (3)台体的表面积 一个棱台的侧面展开图由若干个梯形拼接而成,因此侧面 积为各个梯形的面积之和,而圆台的侧面展开图为扇环,其侧 面积可用大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,所以它们的 表面积公式为S表面积=S侧+S上底+S下底. 2.柱、锥、台体的体积之间的关系 3.求几何体的体积与表面积需注意的问题 (1)求几何体的表面积要弄清楚几何体侧面展开图的形状及各 几何量的大小. (2)求柱体、锥体、台体的体积关键是找到相应的底面积与高, 常需将空间问题平面化. (3)球的有关问题关键是求出半径,注意球心在解题中的作用. 题型一 求几何体的表面积 【例1】 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它 的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°,那么圆台的表面积是多 少? [思路探索] 根据圆台的侧面展开图求出圆台的母线,进而 求出圆台的表面积. 解 如图所示,设圆台的上底面周长为 c,因为扇环的圆心角 是 180° , 故 c=π·SA=2π×10, ∴SA=20. 同理可得 SB=40. ∴AB=SB-SA=20. ∴S 表面积 =S 侧 +S 上 +S 下 2 = π(r1 + r2)· AB + πr2 1+ πr 2= π(10 + 20)×20+π×102+π×202 =1 100π(cm2). 故圆台的表面积为 1 100π cm2. 规律方法 求几何体的表面积时,要先弄清几何体的结构 特征,若是台体,要注意运用台体与锥体的关系;若是旋转 体,要注意轴截面及侧面展开图的应用. 【变式1】 已知正三棱锥PABC的底面边长为4 cm,它的侧 棱与高所成的角为45°,求正三棱锥的表面积. 解 如图所示,设 O 为正三角形 ABC 的中心,连接 PO,连 接 AO 并延长交 BC 于 D,连接 PD,则 PO 是正三棱锥 P—ABC 的高.由正三角形 ABC 的性质知,D 是 BC 的中点,又 PB=PC, 故 PD⊥BC,即 PD 是三棱锥的斜高. 2 3 4 3 由已知∠APO=45° ,又 AO= × ×4= (cm), 3 2 3 4 3 4 6 4 6 则 PA= 2AO= 2× 3 = 3 (cm),所以 PB= 3 (cm). 所以 PD= PB -BD = 2 2 4 6 2 2 2 15 ? 3 ? -2 = 3 (cm). 所以正三棱锥 P—ABC 的侧面面积为: 1 2 15 S 侧=3S△PBC=3×2×4× 3 =4 15(cm2), 1 3 2 底面积为:S 底=2×4 × 2 =4 3(cm2), 故 S 表面积=S 侧+S 底=4 15+4 3=4( 15+ 3)(cm2). 题型二 求几何体的体积 【例2】 如图所示,在长方体ABCDA′B′C′D′中,用截面截 下一个棱锥CA′DD′ ,求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之 比. [思路探索] 此题是几何体的分割问题,解答时可先求出整个 长方体的体积,再求出截下的三棱锥的体积,从而求出剩余部分 的体积. 解 法一 设 AB=a,AD=b,DD′=c, 则长方体 ABCDA′B′C′D′的体积 V=abc, 1 又 S△A′DD′= bc,且三棱锥 CA′DD′的高为 CD=a. 2 1 1 ∴V 三棱锥 CA′DD′= 3S△A′DD′· CD=6abc. 1 5 则剩余部分的几何体体积 V 剩=abc- ab

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