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江西省九江市十校2017届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案


九江市 2017 届高三十校第一次联考 理科数学试卷
命题人:彭泽一中 试卷说明:考试时间:120 分 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1. sin 570 ? 的值是( ) 审题人:湖口县一中 满分:150 分

A .?

1 2

B.

1 2

C.

3 2


D .?

3 2

2.已知集合 A ? {x | x2 ?16 ? 0} , B ? {?5, 0,1} ,则(

A . A? B ? ?
3. 若

B .B? A

C . A ? B ? {0,1}

D.A? B
).

f ( x) ? 1 ? 2 x, g[ f ( x)] ? 2x ? x, 则g (?1) 的值为(
1 2
B .6 C .1
)

A. ?

D.3

4.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是( ..

A .所有不能被 2 整除的整数都是偶数

B .所有能被 2 整除的整数都不是偶数

C .存在一个不能被 2 整除的整数是偶数
5.函数 f ( x ) ?

D .存在一个能被 2 整除的整数不是偶数


1 2 x ? ln x 的单调减区间( 2
B . ? 0,1?
2

A . ? ?1,1?

C . ?1, ?? ?

D . ? 0, ?? ?

6.在 ?ABC 中,已知 sin A cos 分别为 a 、 b 、 c ) ,则

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B , (其中角 A 、 B 、 C 所对的边 2 2 2
( )

A .a,b,c 依次成等差数列

B .b,a,c 依次成等差数列 D .a,b,c 依次既成等差数列,也成等比数列

C .a,c,b 依次成等差数列
7. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 值是( )

?
3

) ,若存在 a ? (0, ? ) ,使得 f ( x ? 2a) ? f ( x) 恒成立,则 a 的

A.

? 6

B.

? 4
?

C.

? 3

D.

?
2

8. 已知数列 ?an ? , 若点 (n, an )(n ? N )在经过点 (10,6) 的定直线 l 上, 则数列 ?an ? 的前 19 项

和 S19 ? (



A . 110

B . 114

C . 119

D . 120


9. 在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ cos 2 A ? cos 2 B ”的(

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件

C .充要条件

10.已知点 A(1,0) ,点 B 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上运动,若点 C 满足 2OC ? OA ? OB ,则点 C 的轨迹是( )

A .直线

B .圆

C .抛物线

D .椭圆

11.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂,开始时,红色区域的面积为

3 ,黄色区域的面积为 2 1 1 .现对图形的颜色格局进行改变,每次改变都把原有红色区域的 改涂成黄色,原有黄 2 3 1 色区域的 改涂成红色,其他不变。以下说法 3 163 ①进过四次操作红色区域的面积为 ; ②红色区域面积一直减少 162
③黄色区域面积可能超过红色区域面积 其中正确的有( )个 ④黄色区域面积不可能等于红色区域面积

A .1

B .2

C .3

D .4

g ( x) 满足 12.若对于任意的 x ? ?a , 函数 f ( x) , b ?,

f ( x) ? g ( x) 1 则称在 ?a , b ?上 g ( x) ? , f ( x) 10


是 f ( x) 的近似函数.则下列函数中在 ?2 , 6 上是函数 f ( x) ? x 的近似函数的是(

?

A . g ( x) ? x 2 ? 2

B . g ( x) ?
第Ⅱ卷

x2 4

C . g ( x) ?

x2 ? 6 5

D . g ( x) ? 2 x 2 ? 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卡上. )
a b 13.已知实数 a , b 满足 4 ? a , log 2 a ?

a?2 ,则 ab ? b

..

2 1 ,则 ? f ( x)dx ? x ?2 2 1 10 10 15.设正项等比数列 ?an ?的首项 a1 ? ,前 n 项和为 Sn ,且 2 S30 ? (2 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 , 2

14.已知函数 f ( x) ? x ? 2 ?
2 x

则 an ?

D C

A

B

16. 凸四边形 ABCD 满足 AB ? AD , DC ? BC ? 2 ,则四边形 ABCD 的面积的最大值 为 .

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. ) 17. (本小题满分 10 分)设命题 p : ?x ? ?1, 2? , 命题 q : g ( x) ? x 2 ? a x ?

1 2 x ? ln x ? a ? 0, 2

1 在 (0,??) 上单调递增,如果命题“ p 或 q ”是真命题,命题 2

“ p 且 q ”是假命题,求实数 a 的取值范围

18 . (本小题满分 12 分)已知首项为
且-2S2,S3 , 4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;

3 * 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ), 2

(2)对于数列 ?An ?,若存在一个区间 M ,均有 Ai ? M , (i ? 1,2,3?) ,则称 M 为数列 ?An ? 的“容值区间” 。设 bn ? S n ?

1 ,试求数列 ?bn ? 的“容值区间”长度的最小值. Sn
1 R

sin B ? sin C ? 19. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
(其中 R 为 ?ABC 的外接圆的半径)且 ?ABC 的面积 S ? a 2 ? (b ? c)2 . (1)求 tan A 的值; (2)求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

20. (本小题满分 12 分) 已知边长为 2 的正 ?ABC ,D 在边 AB 上,E 在 AC 上, 且满足 DE 将 ?ABC 分成面积相等的两部分, AD ? ? AB, ? ? ? ,1? , AE ? ? AC . 2 (1)设 DE ? y, 试将 y 表示成 ? 的函数 y ? f (? ) ,并求 y 的最大值;

?1 ? ? ?

A

(2) 试求

? ?1 ? ?1 的取值范围。 ? ? ?
D

E

21. (本小题满分 12 分)方便、 快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。 可是,随着电动车的普及,它的安全性也越来越受到人们关注。为了出行

B

C

更安全,交通部门限制电动车的行驶速度为 24km/h。若某款电动车正常行驶遇到紧急情况时,

S (t ) ? ? t ? t ? 5ln(t ? 1) 。 紧急刹车时行驶的路程 S (单位: m) 和时间 t (单位: s) 的关系为:
2

3 8

(Ⅰ)写出速度 v 关于时间 t 的函数,并求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间; (Ⅱ)求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内?

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ?a ? R? . x

?2 (1)判断函数 f ( x) 在区间 e ,??) 上的零点个数;

?

(2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 0 . 且在 ?1, e? ? e ? 2.71828...? 上存在一点 x0 ,使得 x0 ?

1 ? mf ? x0 ? 成立.求实数 m x0

九江市 2017 届高三十校第一次联考 理科数学参考答案 一. 选择题

1 A

2 C

3 D

4 D

5 B

6 A

7 D

8 B

9 C

10 B

11 C

12 C

二.填空题 13. 8 14.

16 3

15.

1 2n

16.

1? 2 2

三.解答题 17. (本小题满分 10 分)设命题 p : ?x ? ?1, 2? , 命题 q : g ( x) ? x ? a x ?
2

1 2 x ? ln x ? a ? 0, 2

1 在 (0,??) 上单调递增,如果命题“ p 或 q ”是真命题,命题 2

“ p 且 q ”是假命题,求实数 a 的取值范围 【解析】命题 p: ?x ? ?1, 2? , a ?

1 2 1 x ? ln x, 令 f ( x) ? x 2 ? ln x, x ? ?1, 2? , 2 2

1 x2 ?1 1 1 ? 0 , f min ( x) ? ,? a ? ??4 分 f ?( x) ? x ? = 2 2 x x

1 ? 2 x ? ax ? a, x ? ? ? 2 命题 q : g ( x) ? ? ? x 2 ? ax ? 1 a, x ? ? 2 ?
∴ a ? ?? 1,0? ,??8 分

1 ? a 1 ? ? ? ? 2 2 2 在 (0,??) 增加,则 ? ?? 1 ?a ? 0 ?2 2 ?

又由已知得 p, q 一真一假,故 a ? (??,?1) ? ? 0, ? ??10 分 2

? ?

1? ?

18.已知首项为

3 * 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且-2S2,S3 , 4S4 成等差数列. 2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)对于数列 ?An ?, 若存在一个区间 M ,均有 Ai ? M , (i ? 1,2,3?) , 则称 M 为数列 ?An ? 的 “容值区间” 。设 bn ? S n ? 【解析】 (1) a n ?

1 ,试求数列 ?bn ? 的“容值区间”长度的最小值. Sn
??5 分

3 1 ? ( ? ) n ?1 2 2 1 2
n

(2)由(1)可知 S n ? 1 ? (? )

当 n 为偶数时 S n ? 1 ? ( ) ,易知 S n 随 n 增大而增大,
n

1 2

∴ S n ? ? ,1? ,此时 bn ? S n ? ? ? 2, S n ? 12 ? ?4 ? ? 当 n 为奇数时 S n ? 1 ? ( ) ,易知 S n 随 n 增大而增小,
n

?3 ?

1

?

25?

1 2

∴ S n ? ?1, ? ,此时 bn ? S n ? ? ? 2, Sn ? 6 ? ? 2? ? 又

? 3?

1

? 13?

13 25 ? 6 12

, ∴ bn ? ? 2,

? 13? ? 6? ?

??11 分

故数列 ?bn ? 的“容值区间”长度的最小值为

1 ??12 分 6

19. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,sin B ? sin C ? 的外接圆的半径)且 ?ABC 的面积 S ? a 2 ? (b ? c)2 . (1)求 tan A 的值; (2)求 ?ABC 的面积 S 的最大值. 19. 解: (1)由 S ? a ? ?b ? c ? 得
2 2

1 (其中 R 为 ?ABC R

1 bc sin A ? 2bc - 2bc cos A ??2 分 2 1 A A A A 1 sin A ? 2?1 ? cos A?, sin cos ? 4 sin 2 , tan ? ??4 分 2 2 2 2 2 4

A 2 ? 8 ??6 分 tan A ? A 15 1 ? tan2 2 1 (2)由 sin B ? sin C ? 得 b ? c ? 2 ??7 分 R 8 8 由 tan A ? 得 sin A ? ??9 分 15 17 2 tan

1 4 4 ?b?c? 4 ??11 分 S ? bc sin A ? bc ? ? ? ? 2 17 17 ? 2 ? 17
当且仅当 b ? c ? 1 时,取“=”号 于是,△ ABC 的面积 S 最大值为

2

4 .??12 分 17

20.已知边长为 2 的正 ?ABC , D 在边 AB 上, E 在 AC 上,且满足 DE 将 ?ABC 分成面积 相等的两部分, AD ? ? AB, ? ? ? ,1? , AE ? ? AC . 2 (1)设 DE ? y, 试将 y 表示成 ? 的函数 y ? f (? ) ,并求 y 的最大值;

?1 ? ? ?

A

E D B C

(2) 试求 【解析】

? ?1 ? ?1 ? 的取值范围。 ? ?

(1)由已知 ?ABC 的面积为

1 3 ? 2 ? 2 ? sin 60 ? ? 3 ,? S ?ADE ? 2 2

又 AD ? ? AB, ? ? ? ,1? ,故 AD ? 2?, 同理 AE ? 2? 2 所以 S ?ADE ? 而

?1 ? ? ?

1 3 1 ? ? 2? ? 2? ? sin 60? ,得 ?? ? 2 2 2

y 2 ? (2? ) 2 ? (2? ) 2 ? 2 ? 2? ? 2? ? cos60?

2 2 ∴ y ? f (? ) ? 2 ? ? ? ? ?? ? 2

?2 ?

1 1 ?1 ? ? , ? ? ? ,1? 2 2 4? ?2 ?

2 ?2 ?

1 1 1 3 ? ? 2 (? ? ) 2 ? 2 2 2? 2 4?

??

3 3 1 ? 3? ? ? 2 , ? ,∴ y max ? 2 ( ) 2 ? ? 3 ??6 分 2? ? 2? 2 2
1 ? ? 1 ? ? 1 ?2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ,故 ? 2 ? ? ??

(2)由(1)知 ?? ?

? 2(?2 ? ? ? ? 2 ? ? ) ? 2 (? ? ? ) 2 ? (? ? ? ) ? 1
设 ? ? ? ? t ,由(1)知 t ? ? 2 , ? 2

?

?

? ?

3? ?



? ?1 ? ?1 ? ? ? 2?(? ? ? ) 2 ? (? ? ? ) ? 1? ? 2(t 2 ? t ? 1) ? ?

由二次函数性质可知

? ?1 ? ?1 ? 11? ? ? ?2 2 ? 2, ? ? ? 2? ?

??12 分

21. (Ⅰ)从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s; (Ⅱ)在限速范围内. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)紧急刹车时行驶的路程 S (单位: m )和时间 t (单位: s )的关系为:

3 S ( t ) ? ? t2 ? t ? 5 ln(t ? 1),求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间,这需要知 8
道紧急刹车后电动车的速度,由导数的物理意义可知,只需对路程 S:

3 S (t ) ? ? t 2 ? t ? 5ln(t ? 1) 求导即可,领导数等于零,求出 t 的值,就是从开始紧急刹车至电 8
动车完全停止所经过的时间; (Ⅱ)求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内,只需求出紧 急刹车是电动车的速度,由(Ⅰ)知,从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s,又 由车的速度 v(t ) ? ?

3 5 t ?1? ,当 t ? 0 时,就是车子正常行驶的速度,从而得结论. 4 t ?1

试题解析: (Ⅰ)? 紧急刹车后电动车的速度 v(t ) ? S ' (t )

3 5 v(t ) ? ? t ? 1 ? ,??2 分 4 t ?1
当电动车完全停止时 v(t ) ? 0 m
2

s

,令 v(t ) ? ?

3 5 t ?1? =0, 4 t ?1

得 3t ? t ? 24 ? 0 ,解得 t ? 3 或 t ? ?

8 (舍去), 3

即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s。??6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为 3s,

又由车的速度 v(t ) ? ?

3 5 t ?1? ,??4 分 4 t ?1

∴车子正常行驶的速度为:当 t ? 0 时, v(0) ? 6 m 故在限速范围内。??12 分

s

? 21.6km / h ? 24km / h ,

22.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ?a ? R? . x

(1)判断函数 f ( x) 在区间 e ?2 ,??) 上的零点个数; (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 0 . 且在 ?1, e? ? e ? 2.71828...? 上存在一点 x0 ,使得 x0 ? 22. 【解析】 (1)令 f ( x) ? ln x ?

?

1 ? mf ? x0 ? 成立.求实数 m x0
得 ? a ? x ln x

记 H ( x) ? x ln x, x ? e ?2 ,??) , H ' ( x) ? 1 ? ln x, 由此可知

?

a ?2 ? 0 , x ? e ,??) x

?

H ( x ) 在 e ?2 , e ?1 上递减,在 (e ?1 ,??) 上递增,
且 H (e ?2 ) ? ?2e ?2 , H (e ?1 ) ? ?e ?1 , x ? ?? 时 H ( x) ? ?? 故a ?

?

?

1 ?2 时, f ( x) 在 e ,??) 无零点 e 1 2 a ? 或a ? 2 时, f ( x) 在 e ?2 ,??) 恰有一个零点 e e 2 1 ? a ? 时, f ( x) 在 e ?2 ,??) 有两个零点??5 分 e2 e

?

?

?

(2) f ( x) 的定义域为 (0,??), 于直线 2 x ? y ? 0 .

? 0, ?? ? ,? f ' ? x ? ?
.

1 a ? x x 2 ,函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行

? f ? ?1? ? 1 ? a ? 2,?a ? ?1

若在

?1 ,e??e ?

2 . 7 1 8? 28...

上存在一点

x0 , 使 得

x0 ?

1 ? mf ? x0 ? x0 成立,构造函数

h ? x? ? x ?

1 1 m ? mf ? x ? ? x ? ? m ln x ? x x x



?1, e?















零.

h '? x? ? 1?

1 m m x 2 ? mx ? m ? 1 ? x ? 1?? x ? m ? 1? ? ? ? ? x2 x x2 x2 x2 ,

①当 m ? 1 ? e 时 , 即 m ? e ? 1 时 ,

h ? x?



?1, e? 上单调递减,所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e? ,由

h ?e? ? e ?

1? m e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 ?m? 0 m? ? ? e ? 1,? m ? e e ?1 , e ?1 e ?1 ; 可得

②当 m ?1 ? 1 时,即 m ? 0 时,

h ? x?



?1, e? 上 单调递 增 , 所 以 h ? x ? 的最 小值为 h ?1? , 由

h ?1? ? 1 ?1 ? m ? 0

可得 m ? ?2 ;

h ? x? ③ 当 1 ? m ?1 ? e 时 , 即 0 ? m ? e ?1 时 , 可 得 的 最 小 值 为

h ?1? m? ,?0 ? ln ?1 ? m? ? 1,?0 ? m ln ?1? m? ? m, h ?1? m? ? 2 ? m ? m ln ?1? m? ? 2

,此

时,

h ?1 ? m? ? 0

不成立.综上所述:可得所求 m 的范围是

m?

e2 ? 1 e ? 1 或 m ? ?2 .?12 分


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