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高中数学高二下学期第一次4月月考综合一

综合一假期作业
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 若复数 =
6+ 3 ?

(其中 ∈ ,是虚数单位)的实部与虚部相等,则 = (??)

A. 3
2.

B. 6

C. 9

D. 12

用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时,结论的否定是(??)

A. 没有一个内角是钝角 C. 有三个内角是钝角
3.

B. 有两个内角是钝角 D. 至少有两个内角是钝角


在极坐标系中,圆 = ?2sin的圆心的极坐标系是(??)

A. (1, 2 )
4. 若点 P 为曲线 (??)



B. (1, ? 2 )

C. (1,0)

D. (1,)

= 1 + cos (为参数)上一点,则点 P 与坐标原点的最短距离为 = 1 + sin

A. 2 ? 1
5.
2

B. 2 + 1

C. 2

D. 2

6.

化极坐标方程 cos ? = 0为直角坐标方程为(??) A. 2 + 2 = 0或 = 1 B. = 1 2 2 C. + = 0或 = 1 D. = 1 在△ 中, 则有 //.这个命题的大前提为(??) ,分别为,的中点,

A. 三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D. //
7. 下面几种推理过程是演绎推理的是(??)

A. 两条直线平行,同旁内角互补,如果∠和∠是两条平行直线的同旁内角,则
∠ + ∠ = 180?

B. 由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C. 某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此推测各
班都超过 50 人

D. 在数列{ }中,1 = 1, = 2 (?1 + ?1 )( ≥ 2),计算2 、3 ,4 ,由此
8. 猜测通项 在极坐标系中,设曲线1 : = 2sin与2 : = 2cos的交点分别为,,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为(??)

1

1

A. = sin +cos
9.

1

B. = sin ?cos

1

C. = 4 ( ∈ )



D. =

3 4

( ∈ )

设(,)是曲线 C: 取值范围是(??)

= ?2 + cos (为参数,0 ≤ < 2)上任意一点,则 的 = sin

A. [? 3, 3] C. [?
3 3

B. (?∞, ? 3] ∪ [ 3, + ∞) D. (?∞, ? 33] ∪ [ 33 , + ∞)

, 3]

3

10. 下面给出了关于复数的三种类比推理:其中类比错误的是(??) ①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则; ②由向量的性质| |2 = 2 可以类比复数的性质||2 = 2 ; ③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

A. ②

B. ①②

C. ①③
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D. ③

11. 给出计算 2 + 4 + 6 + ? + 20 的值的一个程序框图如图, 其中判断框内应填入的条件 是(??)

1

1

1

1

A. > 10

B. < 10

C. > 20

D. < 20

12. 以下四个命题中: ①从匀速传递的产品流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; 则21 ,22 ,23 , … ,2 的方差为 2; ③若数据1 ,2 ,3 , … , 的方差为 1, 2 k 越小, 判断“X 与 Y 有关系” ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 的观测值 k 来说, 的把握程度越大. 其中真命题的个数为(??) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13. 如表为一组等式,某学生根据表猜想2?1 = (2 ? 1)(2 + + ),老师回答正 确,则 ? + =______ . 1 = 1, 2 = 2 + 3 = 5, 3 = 4 + 5 + 6 = 15, 4 = 7 + 8 + 9 + 10 = 34, 5 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 65, … 14. 已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5


3 7

则 y 与 x 的线性回归方程 = + 必过点______ . 15. 在以 O 为极点的极坐标系中,圆 = 4sin和直线sin = 相交于 A、B 两点,若 △ 是等边三角形,则 a 的值为______ . 16. 观察下面关于循环小数化成分数的等式:(注意:头上加点的数字)0.? 3 = 9 =
1 3 3

,1.? 1 ? 8 = 99 = 11 ,0.? 3 ? 5 ? 2 = 999 ,0.000 ? 5 ? 9 = 1000 × 99 = 99000,据此

18

2

352

1

59

59

推测循环小数0.2 ? 3可化成分数______ .
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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17. 已知 = ? + 2
1 3 2



(1)是 z 的共轭复数,求2 + + 1的值; (2)类比数列的有关知识,求2016 = 1 + + 2 + ? + 2015 的值.

18. 已知△ 的三条边分别为,,求证:1+ + > 1+ .

+



19. 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为, = ? 2 = 3 +
3 2 1

= 5cos (为参数),直线 l 的参数 = 15sin

方程为



x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (为参数).以原点为极点,


点 P 的极坐标为( 3, 2 ). (Ⅰ)求点 P 的直角坐标,并求曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为,,求|| + ||的值.

20. 对任意函数(), ∈ , 可按如图构造一个数列发生器, 数列发生器产生数列{ }. (1)若定义函数() =
4?2 +1

,且输入0 = 65,请写出数列{ }的所有项;

49

(2)若定义函数() = 2 + 3,且输入0 = ?1,求数列{ }的通项公式.

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21. 某校有 1400 名考生参加市模拟考试,现采用分层抽样的方法从文、理考生中分别 抽取 20 份和 50 份数学试卷,进行成绩分析.得到下面的成绩频率分布表: 分数分值 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) 文科频数 2 理科频数 3 4 7 8 12 3 20 3 8

(1)估计文科数学平均分及理科考生的及格人数(90分为及格分数线); (2)在试卷分析中,发现概念性失分非常严重,统计结果如下: 文科 概念 其它 15 5 理科 30 20

问是否有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关?(本题可以参考独立 性检验临界值表) 附参考公式与数据: 2 = ( + )( + )( + )( + ) ( 2 ≥ ) k 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
( ? )2

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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22. 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,
= 2cos ( 直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ∈ ), 曲线 C 的参数方程为 为参数). = sin

(1)写出直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程 (2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于,两点,若|| ? || = 3,求点 M 轨迹的直角坐标方程,并说明轨迹是什么图形.
8

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答案和解析
【答案】 1. A 2. D 8. A 9. C 13. 5

3. B 10. A

4. A 11. A

5. C 12. A

6. A

7. A

14. (1.5,4) 15. 3 16.
7 30 3 2

17. 解:(1) = ? 1 ? 2

, + + 1 = (? 2 ?
1×(1? 2016 ) 1 ?

2

1

3 2 2

) ? ?
2

1

3 2

+1=0

(2)2016 = 1 + + 2 + ? + 2015 = ∵ 3 = (? 2 +
1 3 3 2



) = 1,

∴ 1 ? 2016 = 1 ? ( 3 )672 = 1 ? 1 = 0, ∴ 2016 = 1 + + 2 + ? + 2015 =
1×(1? 2016 ) 1?

= 0.

18. 证明:设() = 1+ , ∈ (0, + ∞),
设1 ,2 是(0, + ∞)上的任意两个实数,且2 > 1 ≥ 0,
1 2 1 2 则(1 ) ? (2 ) = 1+ 1 ? 1+ 2 = (1+ 1 )(1+ 2 ),





?

∵ 2 > 1 ≥ 0, ∴ (1 ) < (2 ). ∴ () =
1+

在(0, + ∞)上是增函数.

由 + > > 0可得( + ) > (). 即1+ + > 1+ .
+

19. 解:(Ⅰ) = 3cos 2 = 0, = 3sin 2 = 3, ∴ 的直角坐标为(0, 3);
由 = 5cos 得cos = = 15sin = ? 2 = 3 +
3 2 1





,sin = 5
2



. ∴曲线 C 的普通方程为 + = 1. 15 5 15

2

2

(Ⅱ)将



代入

2 5

+ 15 = 1 得 2 + 2 ? 8 = 0,

设,对应的参数分别为1 ,2 ,则1 + 2 = ?2,1 2 = ?8, ∵ 点在直线 l 上, ∴ || + || = |1 | + |2 | = |1 ? 2 | = (1 + 2 )2 ? 41 2 = 6.

20. 解:(1)函数() =
49

4?2 +1 11

的定义域 = (?∞, ? 1) ∪ (?1, + ∞), … (1分)
11 1 1

把0 = 65 代入可得1 = 19,把1 = 19代入可得2 = 5,把2 = 5代入可得3 = ?1, 因为3 = ?1 ? , 所以数列{ }只有三项:1 = 19 ,2 = 5 ,3 = ?1. … (4分) (2)() = 2 + 3的定义域为, … (6分)
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11 1

若0 = ?1,则1 = 1, 则 +1 = ( ) = 2 + 3, 所以 +1 + 3 = 2( + 3), … (8分) 所以数列{ + 3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列, 所以 + 3 = 4 ? 2 ? 1 = 2 + 1, 所以 = 2 + 1 ? 3, … (10分) 即数列{ }的通项公式 = 2 + 1 ? 3.

21. 解:(1)估计文科数学平均分为:
∵ 1400 × 70 = 1000,1000 ×
70(15×20 ?5×30)2 20×50×25×45 50 20+8 50

15×2+45×4+75×8+105×3+135×3 20

= 76.5.

= 560,

∴理科考生的及格人数为 560 人. (2) 2 = = 1.4 < 2.706,

∴没有90%的把握认为概念失分与文、理考生的不同有关.

22. 解:(1) ∵直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ∈ ),
∴直线 l 的倾斜角为4 ,且经过原点, 故直线的直角坐标方程为 = , ∵曲线 C 的参数方程为 = 2cos (为参数), = sin ∴曲线 C 的直角坐标方程为
2 2



+ 2 = 1. = 0 + = 0 +
2 2 , 2 2

(2)设点(0 ,0 )及过点 M 的直线为1 : 由直线1 与曲线 C 相交可得: ∵ || ? || = 3, ∴|
2 +2 2 ?2 0 0 3 2

3 2 2

2 2 + 20 + 2 20 + 0 + 20 ? 2 = 0,

8

2 2 | = 3,即:0 + 20 = 6,

8

∴点 M 轨迹的直角坐标方程 2 + 2 2 = 6,表示一椭圆. 取 = + 代入 得:3 2 + 4 + 22 ? 2 = 0
2 2

由△≥ 0得? 3 ≤ ≤ 3 故点 M 的轨迹是椭圆 2 + 2 2 = 6夹在平行直线 = ± 3之间的两段弧. 【解析】

1. 解:复数 =
由条件复数 =

6+ 3 ?

=

(6+ )(3+ ) (3? )(3+ )

=

18 ? +3 +6) 10



6+ 3 ?

(其中 ∈ ,是虚数单位)的实部与虚部相等, 18 ? = 3 + 6, 得,

解得 = 3. 故选:A. 化简复数为 + 的形式,利用复数的实部与虚部相等,求解 a 即可. 本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力.

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2. 解:命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角
是钝角” 故选 D. 写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可 本题考查命题的否定,命题中含有量词最多,书写否定是用的量词是至少,注意积累这 一类量词的对应. 3. 解:将方程 = ?2sin两边都乘以 p 得: 2 = ?2sin, 化成直角坐标方程为 2 + 2 + 2 = 0.圆心的坐标(0, ? 1). ∴圆心的极坐标(1, ? 2 ) 故选 B. 先在极坐标方程 = ?2sin的两边同乘以,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利 用cos = ,sin = ,2 = 2 + 2 ,进行代换即得直角坐标系,再利用直角坐标 方程求解即可. 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 4. 解:曲线的普通方程为( ? 1)2 + ( ? 1)2 = 1, ∴曲线表示以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆. ∴曲线的圆心到原点得距离为 2, ∴点 P 与坐标原点的最短距离为 2 ? 1. 故选:A. 将曲线方程化为普通方程,根据几何意义得出最短距离. 本题考查了参数方程与普通方程的转化,属于基础题.


5. 解:∵ 2 cos ? = 0,
∴ cos ? 1 = 0或 = 0, 2 = 2 ? + 2 ∵ cos = , sin = ∴ 2 + 2 = 0或 = 1, 故选 C. 利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用cos = ,sin = ,2 = 2 + 2 ,进行 代换即得. 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会 在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的互化. 6. 解:本题的推理过程形式是三段论, 其大前提是一个一般的结论, 即三角形中位线定理, 故选:A. 三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演 绎推理.在三段论中,含有大项的前提叫大前提,如本例中的“三角形的中位线平行于 第三边”. 三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理.它包含两个性质判断构成的前提,和一 个性质判断构成的结论. 7. 解:选项 A 为三段论的形式,属于演绎推理; 选项 B 为类比推理;选项 C 不符合推理的形式; 选项 D 为归纳推理.
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故选:A 由推理的基本形式,逐个选项验证可得. 本题考查推理形式,属基础题. 8. 解:∵曲线1 : = 2sin, ∴ 2 = 2sin, ∴曲线1 的直角坐标方程为 2 + 2 = 2, ∵ 2 : = 2cos, ∴ 2 = 2cos, ∴ 2 的直角坐标方程为 2 + 2 = 2, 联立 2 + 2 = 2 = 0 = 1 ,得 ,或 , 2 2 = 0 = 1 + = 2
1 1

∴线段 AB 的垂直平分线的斜率 = ?1,的中点为(2 , 2), ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为: ? 2 = ?( ? 2),即 + ? 1 = 0. ∴线段 AB 的垂直平分线极坐标方程为sin + cos = 1,即 = sin +cos . 故选:A. 分别求出曲线1 和2 的直角坐标方程,联立方程组求出 A、B 的坐标,先求出线段 AB 的垂直平分线的普通方程,由此能求出线段 AB 的垂直平分线极坐标方程. 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化,考查直线极坐标方程的求法,是基 础题,解题时要注意公式2 = 2 + 2 ,cos = ,sin = 的合理运用. 曲线 C: 9. 解: = sin = ?2 + cos (为参数, 0 ≤ < 2)
1 1 1

的普通方程为:( + 2)2 + 2 = 1, (,)是曲线 C:( + 2)2 + 2 = 1上任意一点,则


的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率,

如图: 当 与圆在第二象限相切时


= tan( 6 ) =




3 3



当 与圆在第三象限相切时


=?


3 3


3 3

所以 ∈ [? 故选 C.

, 3 ].


3

求出圆的普通方程,利用 的几何意义,圆上的点与坐标原点连线的斜率,求出斜率的 范围即可. 本题是中档题,考查圆的参数方程与普通方程的求法,注意直线的斜率的应用,考查计 算能力. 10. 解:对于复数的加减法运算法则判断出①对; 对于②向量 a 的性质| |2 = 2 , 但||2 是实数, 但 2 不一定是实数, 如 = , 就不成立, 故错; 对于③复数加法的几何意义判断出③对, 故选:A.
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利用复数的加减法运算法则判断出①对;利用复数加法的几何意义判断出③对;通过举 反例判断出命题②错. 本题考查向量的数量积公式、向量的运算律、复数的运算律.解答关键是结合复数的运 算性质对类比得到的结论要一一进行验证. 11. 解:根据框图, ? 1表示加的项数 当加到20时,总共经过了 10 次运算,则不能超过 10 次, ? 1 = 10执行“是” 所以判断框中的条件是“ > 10” 故选 A 结合框图得到 i 表示的实际意义,要求出所需要的和,只要循环 10 次即可,得到输出 结果时“i”的值,得到判断框中的条件. 本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件: 关键是判断出有关字母的实际意 义,要达到目的,需要对字母有什么限制. 12. 解:从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某 项指标检测,这样的抽样系统抽样,故①错误; 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1,线性相关性越弱,相 关系数的绝对值越接近于 0,故②正确; 若数据1 ,2 ,3 , … , 的方差为 1, 则21 ,22 ,23 , … ,2 的方差为 4, 故③错 误; 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把 握程度越小,故④错误; 故真命题有 1 个, 故选:A 对于①,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某 项指标检测,这样的抽样系统抽样;对于②,根据相关系数与相关性的关系可知正确; 对于③根据数据扩大 n 倍,方差扩大2 倍,可得21 ,22 ,23 , … ,2 的方差为 4, k 越小, 对于④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 2 的观测值 k 来说, 判断“X 与 Y 有关系” 的把握程度越小. 本题以命题的真假判断为载体,考查了抽样方法,相关系数,方差,独立性检验等知识 点,难度不大,属于基础题. + + = 1 3(4 + 2 + ) = 15 , ∴ = 2, = ?2, = 1, ∴ ? + = 5. 解: 由题意, 13. 5(9 + 3 + ) = 65 故答案为:5 利用所给等式,对猜测2?1 = (2 ? 1)(2 + + ),进行赋值,即可得到结论. 本题考查了归纳推理,根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对 象都具有这种性质的推理.
1

14. 解:∵ =
=
. 1+3+5+7 4

.

0+1+2+3 4

= 1.5,

= 4,

∴本组数据的样本中心点是(1.5,4), ∴ 与 x 的线性回归方程为 = + 必过点(1.5,4) 故答案为:(1.5,4) 要求 y 与 x 的线性回归方程为 = + 必过的点, 需要先求出这组数据的样本中心点, 根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心点,得到结果.

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本题考查线性回归方程必过样本中心点,这是一个基础题,题目的运算量不大,本题是 一个只要认真就能够得分的题目. 15. 解:直线sin = 即 = ,( > 0),曲线 = 4sin, 即2 = 4sin,即 2 + ( ? 2)2 = 4,表示以 (0,2)为圆心,以 2 为半径的圆, ∵△ 是等边三角形,∴ (
3 3

,),
3 3

代入 2 + ( ? 2)2 = 4,可得( 4,

)2 + ( ? 2)2 =

∵ > 0, ∴ = 3. 故答案为:3. 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出 B 的坐标的值,代入 2 + ( ? 2)2 = 4,可得 a 的值. 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 直线和圆的位置关系,求出 B 的坐标 是解题的关键,属于基础题. ? 3 = = ,1. ? 1 ? 8 = = ,0. ? 3 ? 5 ? 2 = 999 ,0.000 ? 5 ? 9 = 1000 × ∵ 0. 16. 解: 9 3 99 11
59 99 3 1 18 2 352 1

=

59 99000

, …

∴ 0.2 ? 3 = 0.2 + 0.1 × 0.? 3 = 5 + 10 × 9 = 30 , 故答案为30. 由已知中循环小数化分数的等式 0.? 3 = 9 = 3 ,1.? 1 ? 8 = 99 = 11 ,0.? 3 ? 5 ? 2 =
352 999 3 1 18 2 7

1

1

3

7

,0.000 ? 5 ? 9 = 1000 × 99 = 99000, 分析出分母分子与循环节, 及循环节位数的关系,

1

59

59

可得答案. 归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性 质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想). 17. (1)利用复数的乘法与加减运算法则化简求解即可. (2)利用数列的求和,直接求解化简即可. 本题考查复数的基本运算,数列求和,考查计算能力.

18. 设() = 1+ , ∈ (0, + ∞),利用函数单调性的定义可得其单调递增,利用其单
调性即可证明. 本题考查了通过构造函数利用其单调性证明不等式的方法,属于中档题. 19. ()消参数即可得到普通方程,根据极坐标的几何意义即可得出 P 的直角坐标; ()将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程得出,对应的参数,利用参数得几何意义 得出|| + ||. 本题考查了参数方程与普通方程的互化,参数得几何意义,属于基础题.



20. (1)函数() =

4?2 +1

的定义域 = (?∞, ? 1) ∪ (?1, + ∞),由此能推导出数列
1

{ }只有三项1 = 19 ,2 = 5 ,3 = ?1. (2)() = 2 + 3的定义域为 R,若0 = ?1,则1 = 1,则 +1 + 3 = 2( + 3),从而
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11

得到数列{ + 3}是首项为 4,公比为 2 的等比数列,由此能求出数列{ }的通项公式. 本题考查数列的所有项的求法,考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,仔细 解答,注意等价转化思想的合理运用,属于中档题. 21. (1)根据平均数公式,即可求解文科数学平均分,再根据表中数据可求解理科考生 的及格人数. (2)利用独立性检验的公式,求解 2 = 1.4 < 2.706,可判断没有90%的把握认为概念失 分与文、理考生的不同有关. 本题考查平均数、 频数的求法, 考查独立性检验的应用, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意数据处理能力的培养. 22. (1)利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线 l 的普通方程,消去参数可得 曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点(0 ,0 )以及平行于直线 l 的直线参数方程,直线 l 与曲线 C 联立方程组,通 过|| ? || = 3,即可求点 M 轨迹的直角坐标方程.通过两个交点推出轨迹方程的范 围. 本题以直线与椭圆的参数方程为载体,考查直线与椭圆的综合应用,轨迹方程的求法, 注意轨迹的范围的求解,是易错点.
8

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