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椭圆中的最值问题


破解椭圆中最值问题的常见策略
有关圆锥曲线的最值问题,在近几年的高考试卷中频频出现,在各种题型中均有考查,其中以 解答题为重,在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且 常含有变量的一类难题,也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形 结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域,以及利用函数单调性、 各种平面几何中最值的思想来解决。

第一类: 第一类:求离心率的最值问题
破解策略之一: 破解策略之一:建立 a, b, c 的不等式或方程 之一
例 1:若 A, B 为椭圆

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的长轴两端点, Q 为椭圆上一点,使 ∠AQB = 120 0 , 2 a b

求此椭圆离心率的最小值。 分析:建立 a, b, c 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思 想,但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭 圆中 x, y 的取值进行求解离心率的最值。 解:不妨设 A( a,0), B ( ? a,0), Q ( x, y ) ,则 k AQ =

y y , k BQ = , x+a x?a

y y ? 0 , 利用到角公式及 ∠AQB = 120 0 得: x + a x ? a = tan 120 ( x ≠ ± a ) y y 1+ x+a x?a 2 a 2 2ab 2 2ab 2 2 2 又点 A 在椭圆上,故 x ? a = ? 2 y ,消去 x , 化简得 y = 又 y ≤ b即 ≤b b 3c 2 3c 2
6 ≤ e < 1。 3 b 2 6 b 3 2 2 2 故椭圆离心率的最小值为 。 或 2ab ≤ 3c = 3( a ? b ) , 0 < ≤ ( 得: , e = 1? ( ) , 由 3 a 3 a
则 4a 2 ( a 2 ? c 2 ) ≤ 3c 4 ,从而转化为关于 e 的高次不等式 3e + 4e ? 4 ≥ 0 解得
4 2



6 ≤ e < 1) (注:本题若是选择或填空可利用数形结合求最值) 3
点评:对于此类最值问题关键是如何建立 a, b, c 之间的关系。常用椭圆上的点 ( x, y ) 表示成

a, b, c ,并利用椭圆中 x, y 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。

破解策略之二:利用三角函数的有界性求范围 破解策略之二:利用三角函数的有界性求范围 之二
x2 y 2 例 2: 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1( a > b > 0) 两个焦点为 F1 , F2 , 如果曲线 C 上存在一点 Q, F1Q ⊥ F2Q , 使 a b 求椭圆离心率的最小值。 分析:根据条件可采用多种方法求解,如例 1 中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界 性求解,也会有不错的效果。 解:根据三角形的正弦定理及合分比定理可得:

PF1 PF2 PF1 + PF2 2c 2a = = = = 0 sin α sin β sin α + cos β sin α + cos α sin 90
故e =

1 2 2 ≥ ,故椭圆离心率的最小值为 。 0 2 2 2 sin(α + 45 )

点评:对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系,并利用三角函数的有界性解题,真是柳暗 花明又一村。

第二类:求点点(点线) 第二类:求点点(点线)的最值问题
破解策略之三:建立相关函数并求函数的最值(下面第三类、第四类最值也常用此法) 破解策略之三:建立相关函数并求函数的最值(下面第三类、第四类最值也常用此法) 之三 第三类 最值也常用此法
例 3: (05 年上海)点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 36 20

P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ⊥ PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上 的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 分析:解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系,因此本题两点距离可转化成二次 函数的最值问题进行求解。 解: (1)略 (2)直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0。 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m+6 2



于是

m+6 2

= m + 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2。

设椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d

5 4 9 d 2 = ( x ? 2) 2 + y 2 = x ? 4 x 2 + 4 + 20 ? x 2 = ( x ? ) 2 + 15 , 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
点评:对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数 的最值问题求解。

破解策略之四: 破解策略之四:利用椭圆定义合理转化 之四
例 4:定长为 d ? d ≥

? ?

2b 2 ? ? 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 a ?

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0) 上移动,求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 l a 2 b2
的最短距离。 解:设 F 为椭圆的右焦点,如图作 AA' ⊥ l 于 A', BB'⊥ l 于 B',MM'⊥ l 于 M',则

| MM |=
/

AA / + BB / 2

=

BF ? 1 AB 1 ? AF d ? ? ? e + e ? = 2e ( AF + BF ) ≥ 2e = 2e 2? ?
d 。 2e

当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为

2b 2 2b 2 点评: 是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值, d ≥ 是 AB 过焦点的充要条件。 a a
通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。

第三类: 第三类:求角的最值问题
例 5: (05 年浙江)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4, 左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1:x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使∠F1PF2 最大的点 P 记 为 Q,求点 Q 的坐标 (并用 m 表示) 。 分析:本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角 (夹角)公式或三角形中的正弦(余弦)定理,结合 本题的实际,考虑用夹角公式较为妥当。 解: (I) (过程略)

y
P

A1 F1 O F2 A2 x x2 y 2 M + =1 4 3 (II)设 P( m, y0 ),| m |> 1 ①当 y0 = 0 时, ∠F1 PF2 = 0 π ②当 y0 ≠ 0 时, 0 < ∠F1 PF2 < ∠PF1M < ∴ 只需求 tan ∠F1 PF2 的最大值即可。 2 y0 y0 直线 PF1 的斜率 K1 = ,直线 PF2 的斜率 K 2 = , 利用夹角公式得: m +1 m ?1 2 | y0 | 1 2 | y0 | K ? K1 ≤ = ∴ tan ∠F1 PF2 =| 2 |= 2 2 1 + K1 K 2 m ? 1 + y0 2 m 2 ? 1? | y 0 | m2 ?1

当且仅当 m ? 1 = | y0 | 时, ∠F1 PF2 最大,最大值为 arctan
2

1 m2 ?1



点评:对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题, 一般可用到角(夹角)公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。

第四类: 第四类:求(三角形、四边形等)面积的最值问题 三角形、四边形等)
例 6: (05 年全国 II) P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x 2 +

y2 = 1 上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦 2 点.已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF = 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值 和最大值. 分析:本题是向量与解析几何的结合,主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算 过程,并结合分类讨论与求最值的思想。 解:①如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 k ,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y = kx +1
2 2 将此式代入椭圆方程得(2+ k ) x +2 kx -1=0

设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

? k ? 2k 2 + 2 ? k + 2k 2 + 2 , x2 = 2 + k2 2 + k2 8(1 + k 2 ) 2 2 2 2 从而 | PQ | = ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) = (2 + k 2 ) 2 x1 =

y
M F P O N Q

2 2(1 + k 2 ) 1 亦即 | PQ |= (1)当 k ≠0 时,MN 的斜率为- , 2 2+k k
1 2 2(1 + (1 ? ) 2 ) k 同上可得: | MN |= 1 2 2 + (? ) k

x

1 1 ) 4(2 + k 2 + 2 ) 2 1 k = k 故所求四边形的面积 S = | PQ || MN |= 1 2 2 (2 + k 2 )(2 + 2 ) 5 + 2k 2 + 2 k k 1 4(2 + u ) 1 令u =k2 + 2 得 S = = 2(1 ? ) k 5 + 2u 5 + 2u 1 16 16 ∵ u = k 2 + 2 ≥2 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数。∴ ≤S<2 k 9 9 1 ②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= |PQ||MN|=2 2 16 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 。 9 4(1 + k 2 )(1 +
点评:对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——反比例函 数形式的最值问题。

第五类:求线段之和(或积) 第五类:求线段之和(或积)的最值问题
破解策略之五:利用垂线段小于等于折线段之和。 破解策略之五:利用垂线段小于等于折线段之和。 之五 之和
例 7:若椭圆

x2 4

+

y2 3

= 1 内有一点 P (1,1) , F 为右焦点,椭圆上的点 M 使得 | MP | +2 | MF | 的

2 6 3 ,1)

值最小,则点 M 的坐标为 A. ( ±
2 6 3 ,1)



B. (

C. (1, ± )

3 2

D. (1, )

3 2

1 将 2 | MF | 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题,利用垂线段最短的 2 思想容易得到正确答案。选 B 。思考:将题中的 2 去掉会怎样呢? 破解策略之六:利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 破解策略之六:利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 之六
提示:联系到 e = 例 8:如图,在直线 l : x ? y + 9 = 0 上任意取一点 M ,经过 M 点且以椭圆 椭圆,问当 M 在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少?

x2 y2 + = 1 的焦点作 12 3

分析:要使所作椭圆的长轴最短,当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下:长轴最短 → 三 点一直线 → 寻求对称 → 对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称,使我们找到一种简明 的解题方法。通过此对称性主要利用 | NF1 | + | NF2 |≥| F2 F1/ | 解:椭圆的两焦点分别为 F1 (-3,0)、 F2 (3,0), 作 F1 关于直线 l 的对称点 F ,则直线 F1 F 由方程组 ?
' 1 ' 1 的方程为

y

F

' 1

l

N M P F1 O F2 x

x + y = ?3

? x + y = ?3 ? x ? y = ?9

得 P 的坐标(-6,3),

由中点坐标公式得的 F1' 坐标(-9,6),所以直线 F2 F1' 的方程 x + 2 y = 3 。 解方程组 ?

?x + 2y = 3 ? x ? y = ?9

得 M 点坐标(-5,4)。由于 F1' F2 = 180 = 2a = 6 5 ,

点评:对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、 垂线段最短的思想。 除了上述几类之外,高考中还有数量积的最值问题、直线斜率(或截距)的最值问题等等,由 此可见对于椭圆中的最值问题所涉及范围较广,从中也渗透了求最值的一些常规方法,运用定义、 平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题。


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