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高一数学必修1创新应用演练教师用书:第一部分 第2章 2.1 2.1.3 第一课时 (苏教版)

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一、填空题 1.下列命题正确的序号是________. ①定义在(a,b)上的函数 f(x),若存在 x1,x2∈(a,b)使得 x1<x2 时,有 f(x1)<f(x2),则 f(x)在(a,b)上递增. ②定义在(a, b)上的函数 f(x), 若有无穷多对 x1, x2∈(a, b), 使得 x1<x2 时, 有 f(x1)<f(x2), 则 f(x)在(a,b)上递增. ③若 f(x)在区间 I1 上是单调增函数,在区间 I2 上也是单调增函数,则 f(x)在 I1∪I2 上也 一定是单调增函数. ④若 f(x)在区间 I 上单调递增,g(x)在区间 I 上单调递减,则 f(x)-g(x)在区间 I 上单调 递增. 解析:函数单调性定义中,x1,x2 必须是任意的,∴①②不正确.对于③,也是错误 1 的,如 f(x)=- ,在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数,但在(-∞,0)∪(0,+ x ∞)上不是增函数,这里应该用“和”连接.④是正确的. 答案:④ 2.如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图 象,y=f(x)的单调递增区间为____________,单调递减区间为 __________. 解析:根据函数的单调性的定义知,函数 y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上单调递减, 在区间[-2,1]和[3,5]上单调递增. 答案:[-2,1]和[3,5] [-5,-2]和[1,3] 3.若函数 f(x)= 1 在(a,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是____________. x+1

1 解析:∵(-1,+∞)是 f(x)= 的一个递减区间, x+1 ∴由题意可知(a,+∞)?(-1,+∞),∴a≥-1. 答案:[-1,+∞) 4.函数 y=-(x-5)|x|的递增区间是________.

?-x +5x,x≥0, 解析:y=-(x-5)|x|=? 2 作出函数图象如 ?x -5x,x<0.
图.
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2

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5 由图象可知,递增区间为[0,2]. 5 答案:[0,2] 5.若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是________. k k k 解析:对称轴 x=8,则8≤5 或8≥8,解得 k≤40 或 k≥64. 答案:(-∞,40]∪[64,+∞) k-x 6.若函数 f(x)= x 在(-∞,0)上是减函数,则 k 的取值范围是________. k k k 解析: f(x)=x-1 与函数 y=x有相同的单调性, 而 y=x在(-∞, 0)为减函数, 只要 k>0 即可. 答案:(0,+ ∞) 二、解答题 7.画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,并指出函数的单调区间. 解:y=-x2+2|x|+3

?-x +2x+3=-?x-1? +4,x≥0, =? 2 ?-x -2x+3=-?x+1?2+4,x<0.
2 2

函数的图象如图所示, 由图象可以看出,在(-∞,-1]和[0,1]上的图象是上升的, 在[-1,0]和[1,+∞)上的图象是下降的, ∴函数的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间 是[-1,0]和[1,+∞). 2x-1 8.已知函数 f(x)= . x +1 (1)求 f(x)的定义域; 2x-1 (2)证明函数 f(x)= 在[1,+∞)上是单调增函数. x+1 解:(1)由题意知 x+1≠0, 即 x≠-1. 所以 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞). (2)证明:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, 2x2-1 2x1-1 则 f(x2)-f(x1)= - x2+1 x1+1

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= =

?2x2-1??x1+1?-?2x1-1??x2+1? ?x2+1??x1+1? 3?x2-x1? . ?x2+1??x1+1?

∵x1<x2,∴x2-x1>0. 又∵x1,x2∈[1,+∞), ∴x2+1>0,x1+1>0. ∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x2)>f(x1). 2x-1 ∴函数 f(x)= 在[1,+∞)上是单调增函数. x +1 9.已知函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对于任意的 x>0,y>0,都有 f(xy) =f(x)+f(y),且满足 f(2)=1. (1)求 f(1)、f(4)的值; (2)求满足 f(x)-f(x-3)>1 的 x 的取值范围. 解:(1)令 x=y=1,则 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),而 f(2)=1. ∴f(4)=2×1=2. (2)由 f(x)-f(x-3)>1,得 f(x)>f(x-3)+1, 而 f(x-3)+1=f(x-3)+f(2)=f(2(x-3)), ∴f(x)>f(2(x-3)). ∵函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数.

?x>0, ∴?x-3>0, ?x>2?x-3?,

解之得 3<x<6.

∴x 的取值范围是(3,6).

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