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广东省汕头市2013届高三第二次模拟考试数学文试题 Word版


绝密★启用前

试卷类型:B

汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测评试题(二)

文科数学
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 用 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱柱的体积公式: V ? Sh 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1, 2} , B ? {x ? Z | x ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ?
2

A. {2}

B. {1, 2}

C. {1, 2,3}

D. {1, 2,3, 4} )

2.已知 i 为虚数单位,若复数(1 ? ai )(2 ? i )是纯虚数,则实数 a 等于( A. 2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

3.已知函数 f

? x?

? ? 1 ?? ?log x, x ? 0 ? , 则 f ? f ? ? ? 的值是( ? ? 3 ?2 x , x ? 0 ? ? 9 ?? ?
B.



A. 4

1 4

C. ?4

D. ?

1 4


4.。 若命题 " ?x ? R, x 2 ? (a ? 1)x ? 1 ? 0 " 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 ( A. ? ?1,3? ? ? B. (?1,3) C.

? ??,?1? ? ?3,?? ? ? ?
x ? 2y ? 3 ? 0

D. (??, ?1) ? (3, ??) ) D. x ? 2 y ? 5 ? 0

5. 过点 A(1, 2) 且垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的直线方程为( A, x ? 2 y ? 4 ? 0 B, 2 x ? y ? 7 ? 0 C.,

6,如图 1,在正六边形 ABCDEF 中, 向量和 BA ? CD ? EF ? (

??? ?

??? ?

????

)

?
A, 0

????
B, BE C.,

???? AD

????
D. CF

7,在 ?ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c , 已知 c ? 2, C ?

?

3

, ?ABC 的面积 S ?ABC ? ) B.5

3 ,则

?ABC 的周长为(
A.6

C.4

D. 4 ? 2 3

8,.如图 2,某简单几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为 1 的正方形,且其体 积为

?

4

,则该几何体的俯视图可以是(



9,已知数列 ?an ? 的首项为 3,数列 ?bn ? 为等差数列,b1 ? 2, b3 ? 6 , bn ? an ?1 ? an (n ? N *) 则 a6 ? A.30 B.33 C.35 D.38

10,在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类“,记为 ? k ? , ? ? 即 ? k ? ? 5n ? k | n ? Z ,k ? 0,1, 2,3, 4. 给出如下三个结论:① 2013 ? ?3? ② ? ? ? ?

?

?

?2 ? ? 2 ? ③ Z ? ?0 ? ? ?1? ? ? 2 ? ? ?3? ? ? 4? ;其中,正确结论的个数为 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( A. 0 ) B.1 C.2 D.3

二、填空题:本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11,如图 3 的程序框图所示,若输入 a ? 3 , b ? 2 , 则输出的值是____________________. 12,将容器为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直 方图,若第一组至第六组数据的频率之比为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 : 1,且前三组数据的频数之和等于 27, 则 n 等于________________________. 13 , 若 函 数 f

? x?

? a x(a ? 0,a ? 1) 在 ? ?1, 2 ? ? ?

上的最大值为 4, 最小值为 m, 且函数 g x

? ?

? (1 ? 4m) x

在(0, ??)上是增函数,

则 a=___________________. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程)已知直线的极坐标方程为

? sin(? ?

?
4

)?

2 , 则极点到该直线 2

的距离是__________. 15.(几何证明选讲)如图 4,过点 P 的直线与圆 O 相交于 A,B 两点,若 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于_____________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知向量 a ? (

1 3 ), b ? (cos x,sin x ); 2, 2

(1)若 a ? b ,求 tan( x ?

?

?

? )的值; 4

(2)若函数 f

? ? x ? ? a ? b ,求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间。 ?

17.(本题满分 12 分) 某网站体育板块足球栏目组发起了“射手的上场时间与进球有关系”的调查活动,在所 有参加调查的人中,持“有关系”、“无关系”、“不知道”态度的人数如下表所示:

(1) 在所有参加调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持“有关系“态度 的人中抽取 45 人,求 n 的值; (2) 在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人,从这 5 人中任意选取 2 人,求 2 人中至少有一人在 40 岁以下的概率; (3) 在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出分数如下:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3., 9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取一个分数,求该分数与总 体平均分之差的绝对值超过 0.6 的概率。 18.(本题满分 14 分) 如图 5,在边长为 3 的等边三角形 ABC 中, E,F,P 分别为 AB,AC,BC 边上的点, 且满足 AE=FC =CP=1,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,如

A 图 6, 使平面 A1 EF ? 平面 FEBP, 连结 A1 B , 1 P ,

(1)求证: A1 E ? PF; 19.(本题满分 14 分)

(2)若 Q 为 A1 B 中点,求证:PQ// A1 EF

已知抛物线和双曲线都经过点 M (1, 2), ,它们在 x 轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴, 抛物线的定点为坐标原点。. (1)求抛物线和双曲线标准方程; (2) 已知动直线 m 过点 P(3,0),交抛物线于 A, 两点, B 记以线段 AP 为直径的圆为圆 C, 求证:存在垂直于 x 轴的直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,并求出直线 l 的方程。

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f 常数 a ? R 。 (1) 求函数 f (2) 若函数 f (3)

? x ? 是定义在实数集 R 上的奇函数,当 x>0 时, f ? x ? ? x ? 的解析式;

? ax ? ln x ,其中

? x ? 在区间(??,?1)上是单调减函数,求 a 的取值范围;

f '? x ? 函数 f ? x ? 的导函数,问是否存在实数 x0 ? (1,e),使得对任意实数 a,都
有 f ' x0

? ?

?

f (e) ? f (1) 成立?若存在, 请求出 x0 的值; 若不存在, 请说明理由。 e ?1

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21.(本题满分 14 分) 64 个正数排成 8 行 8 列,如右图所示: 其中 aij 表示第 i 行第 j 列的数。已知每一行中的数依次 都成等差数列;每一列中的数依次都成等比数列,且公比 均为 q: a11 ?

1 1 1 , a24 ? , a21 ? . 2 2 4

(1)求 a12 和 a13 的值: (2)记第 n 行各项之和为 An (n ? N * 且 1 ? n ? 8 ),数列 ?an ? , ?bn ? , ?cn ? 满足

an ?

b 36 , mbn ?1 ? 2(an ? mbn ) ( m 为 非 零 常 数 ) , cn ? n , 且 c12 ? c7 2 ? 100 , 求 An an

c1 ? c2 ? ... ? c7 的取值范围;
(3)对(2)中 an , 记 d n ? 最大项的项数。

200 , (n ? N *) ,设 Bn ? d1d 2 ...d n (n ? N *). ,求数列 ? Bn ? 中 an

WORD 答案

20 、 解 : ⑴ f (0) ? 0 ? ? 1 分 , x ? 0 时 , f ( x) ? ? f (? x) ? ax ? ln(? x) , 所 以

?ax ? ln x , ? f ( x) ? ?0 , ?ax ? ln(? x) , ?

x?0 x?0 x?0
1 ??7 分,由 x

⑵函数 f (x) 是奇函数,则 f (x) 在区间 (?? , ? 1) 上单调减少,当且仅当 f (x) 在区间

(1 , ? ?) 上 单 调 减 少 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ax ? ln x , f / ( x) ? a ?

1 1 1 ? 0 得 a ? ? , ? 在区间 (1 , ? ?) 的取值范围为 (?1 , 0) ,所以 a 的取 x x x 值范围为 (?? , ? 1] f / ( x) ? a ?
⑶存在。

f (e) ? f (1) (ae ? 1) ? a 1 1 1 ?,解 f / ( x0 ) ? a ? ? ?a? ?a? e ?1 e ?1 e ?1 x0 e ?1

,得 x0 ? e ? 1 ,因为 1 ? e ? 1 ? e ,所以 x0 ? e ? 1 为所求。

21、解:(Ⅰ)因为 q ?

a 21 1 a ? , 所以 a14 ? 24 ? 2 . a11 2 q 又 a11 , a12 , a13 , a14 成等差数列, 3 所以 a12 ? 1, a13 ? . 2

??4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,第一行所成等差数列公差为 所以 a18 ? 4 . 因为 an1 ? a11 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ,

1 , 2

1 1 1 1 1 an8 ? a18 ? ( ) n ?1 ? 4 ? ( ) n ?1 ? 8 ? ( ) n . 2 2 2 2 2 a ? an8 1 所以 An ? n1 ? 8 ? 36 ? ( ) n , 2 2 ? n 所以 a n ? 2 (1 ? n ? 8, n ? N ) . ???6 分
因为 mbn ?1 ? 2(a n ? mbn ) , 所以 mbn ?1 ? 2n ?1 ? 2mbn . 整理得

bn ?1
n ?1

2 2 b 1 而 c n ? n ,所以 c n ?1 ? c n ? , an m 所以 {c n } 是等差数列.
故 c1 ? c2 ? ??? ? c7 ?

?

bn
n

?

1 . m

???8 分

(c1 ? c7 ) ? 7 . 2

1 ? 0, m 所以 c1 ? c7 .
因为 所以 2c1c7 ? c12 ? c7 2 .
2 2 所以 (c1 ? c7 ) 2 ? c12 ? c7 ? 2c1c7 ? 2(c12 ? c7 ) ? 200 ,

所以 ?10 2 ? c1 ? c7 ? 10 2 . 所以 c1 ? c2 ? ??? ? c7 的取值范围是 (?35 2 , 35 2) . (Ⅲ)因为 d n ? 200 ? ( ) n 是一个正项递减数列, 所以当 d n ? 1 时,Bn ? Bn ?1 ,当 d n ? 1 时,Bn ? Bn ?1 .( n ? N? , n ? 1 ) ??10 分

1 2

1 ? 200 ? ( ) n ? 1, d n ? 1, ? ? ? 2 所以 {Bn } 中最大项满足 ? 即? ?d n ?1 ? 1, ?200 ? ( 1 ) n?1 ? 1. ? ? 2 16 16 解得 6 ? log 1 . ? n ≤ 7 ? log 1 2 25 2 25 16 又 0 ? log 1 ? 1 ,且 n ? N? , 2 25 所以 n ? 7 ,即 {Bn } 中最大项的项数为 7 .

???12 分

??14 分


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