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2011届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题4- 函数、方程及其应用


第三节

函数、方程及其应用 六年高考荟萃

第一部分

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 上海文)17.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). 答案 D (B) (1,1.25). (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2) ( )

【解析】 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg

7 4

7 1 ? ?0 4 4

f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间(1.75,2)
2.(2010 湖南文)3. 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程 可能是 A. y ? ?10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200
^ ^

B. y ? 10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200
^

^

答案 A 3.(2010 陕西文)10.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 ...

x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为
(A)y=[ [

x ] 10

(B)y=[

x?5 ] 10

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

( D ) y =

答案 B 解析:法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? ?10?, ? 10 ? ? ? ? ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? 1 ? ?10? ? 1 ,所以选 B ? 10 ? ? ? ? ?
3.(2010 浙江文) (9)已知 x 是函数 f(x)=2x+ ,则 x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) (A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , 1? x

(C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

(D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 4.(2010 山东文) (11)函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是

答案 A 5.(2010 山东文) (8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万 件)的函数关系式为 y ? ? (A)13 万件 (C) 9 万件 答案 C

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3
(B)11 万件 (D)7 万件

6. 2010 山东文) 设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2 x ? b( b ( (5) 当 为常数) ,则 f (?1) ? (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 答案 A 7.(2010 四川理) (4)函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 (A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 (D) m ? 1 解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- 于是- 答案 A 8.(2010 四川理) (2)下列四个图像所表示的函数,在点 x ? 0 处连续的是

m 2

m =1 ? m=-2 2

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由图象及函数连续的性质知,D 正确. 答案 D 9.(2010 天津文) (10)设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) ,

x x g( f ( x) ? {g ( x)?x,?x4,g?x). x), 则 g ( x )? ? (

f ( x) 的值域是
(A) ? ?

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于 难题。 依 题 意 知

? x 2 ? 2 ? ( x ? 4), x ? x 2 ? 2 ? f ( x) ? 2 2 ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ?



? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2 ?

10. ( 2010
x

天 津 文 )( 4 ) 函 数

f ( x )

= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 【答案】C 【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 因为 f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 【温馨提示】 函数零点附近函数值的符号相反, 这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

11.(2010 天津理) (8)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

范围是 (A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等 题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。 (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

?a ? 0 ?a<0 ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ?
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ?a ? 2 ? a ? a ? ?
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数 大于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 12.(2010 天津理) (2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由 f (?1) ?

1 ? 3 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 及零点定理知 f(x)的零点在区间(-1,0)上。 2

【温馨提示】 函数零点附近函数值的符号相反, 这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 13.(2010 福建文)7.函数 (x)= ? f A.3 【答案】B 【解析】当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;
2

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
D.0

的零点个数为 (

)

B.2

C.1

当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。 14.(2010 湖北文)3.已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

A.4 【答案】B

B.

1 4

C.-4

D-

1 4

1 1 1 1 【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? , 9 9 9 4

所以 B 正确. 二、填空题 1. ( 2010 上海 文) 14.将直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 、 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0
* ( n ? N , n ? 2 )围成的三角形面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??



【答案】

1 2

【解析】B (

n n , ) 所以 BO⊥AC, n ?1 n ?1

1 n 2 n ?1 Sn = ? 2 ? ( 2? )? 2 n ?1 2 2(n ? 1)
所以 lim S n ?
n ??

1 2

2.(2010 湖南文)10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间,若用 0.618 法安 排试验,则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】171.8 或 148.2 【解析】根据 0.618 法,第一次试点加入量为 110+(210-110) ? 0.618=171.8 或 210-(210-110) ? 0.618=148.2

【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法,属容易题。 3. (2010 陕西文) 13.已知函数 f x) ? ( =

, ? , ?3x ?2 x 1
2 , ? x ? ax, x ?1

若f f ( (0) =4a, ) 则实数 a=

.

答案 2 【解析】f(0)=2,f(f(0) )=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2 4. ( 2010 重 庆 理 ) ( 15 ) 已 知 函 数

f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

1 , 4

4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2010? =_____________.
解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 2

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)= 5. (2010 天津文) (16) 设函数 f(x)=x-

1 2

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立, x

则实数 m 的取值范围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。 已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。 M<0,时有 mx ?

1 m 1 1 1 ? mx ? ? 0 ? 2mx ? (m ? ) ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 x 2 因为 y ? 2x2 mx x m x m

在 x ? [1, ??) 上的最小值为 2,所以 1+

1 ? 2 即 m 2 >1,解得 m<-1. 2 m

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化 为最值的方法求解。 6.(2010 浙江文) (16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销 售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十 月份销售总额与七、 八月份销售总额相等, 若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元, 则,x 的最小值 。 答案 20 7. ( 2010 天 津 理 数 )( 16 ) 设 函 数 f ( x) ? x2 ?1 , 对 任 意 x ? ? , ?? ? ,

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 依据题意得

.

3 x2 ? 1 ? 4m2 ( x 2 ? 1) ? (x ? 1)2 ? 1? 4(m2 ? 1)在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 2 m

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m ? ? , 即 2 x x 3 m 3

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化 为最值的方法求解 8.(2010 广东文数)

? 2 9.(2010 江苏卷)11、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x x?0 ?1,

的范围是_____。
2 ? 【解析】 考查分段函数的单调性。 ?1 ? x ? 2 x ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2

?1 ? x ? 0 ?

三、解答题 1.(2010 福建文)21.(本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于 港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时 与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在 ? ,使得小艇以 ? 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇?若存在,试确定 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。

2.(2010 湖北文)19.(本小题满分 12 分) 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m ) ,其中有部分旧住房需要拆 除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆除面积为 b (单位:m )的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.1 =1.6)
5 2 2

2009 年高考题
1.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

答案 A 解析

1 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= , f ? x ? ? ( x ?1)2 的零点为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的 4

零点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 零 点 , 因 为 g(0)= -1,g(

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的 2?

1 1 )=1, 所 以 g(x)的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2

g ? x? ? 4x ? 2 x ? 2的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合,
故选 A。 2.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围
x



.

答案 解析

{a | a ? 1}
设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知 当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过 点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所 以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的 考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km, 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建

造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选 地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的 距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理 的中点时,对城 A 和城 B 的总

厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理 由。 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) C 2 x 400 ? x 2
x A B

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2) y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

4 9 8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ? , y' ? ? 3 ? ,令 y' ? 0 得 ? x 2 400 ? x 2 x (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 ,

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到
城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 解法二: (1)同上. (2)设 m ? x2 , n ? 400 ? x2 , 则 m ? n ? 400 , y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

4 9 ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当 且 仅 当 m n m n 400 400 m n 400 16

4 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

?(

4 ( 2 ? m1 ) m 9 m1 m2 ) (? 4 4 9 9 ? ) ?( ? ) ? ? m1 m2 4 0 0 m1 4 0 0 m2 ? ? m1 m2 ( 4 0 0 m1 ) ( 4?0 0 2 ? m 4 9 ? ] m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

)

? (m2 ? m1 )[

? (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 , m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 )

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m 2 ? 0 即 y1 ? y2 函数 y ? ? 在 m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

(0,160)上为减函数. 同理,函数 y?

4 9 ? 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则 m 400 ? m

y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

? (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )
4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m 2 在 ? 0 即 y1 ? y2 函数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 )

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式 的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考 虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以 上存在一点, x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响 当

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256 x ? m x ? 2m ? 256. x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3

256m x
2

1 3 m 3 2 ? mx ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x , ( x ? 6) ? 6.(2009 年上海卷理)有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度, 其中 x 表示某学科知识的学习次数 x ? N ) f ( x ) ( ,
*

表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1)证明 当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为

(115,121] , (121,127] , (121,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定
相应的学科。 证明 (1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0……..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减

? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降……………..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85……………….9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分 7.(2009 上海卷文) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x ,  x ? 6, ? 分 10 分 .有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 ,       6 ? ? x?4 ?

描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N * ) f ( x ) 表 , 示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 证明 (1)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln 整理得

a ? 0.85 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年全国一 2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这 一 过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 s s s s ( )

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

答案

A

2. 2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图, ( 那么 y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 ( )

答案 D 3.(07 广东)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小 时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发.经过乙 地,最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是 ( )

A 答案 C

B

C

D

4.某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时刻 t (月份)之间的关系如图所示,已知该年 的平均气温为 10℃ .令 C(t)表示的时间段[0,t]的平均气温, C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是 ( )

答案 A 解析 由图可以发现当 t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10,排除 D;t 在大于 6 的某一段气温超于 10,所以排除 B,故选 A。 二、填空题 5.(2006 年上海春季 2)方程 log3 (2 x ? 1) ? 1 的解 x ? 答案 2 .

x x 6.(2007 年上海 4)方程 9 ? 6 ? 3 ? 7 ? 0 的解是



答案

log3 7

7.(2006 年北京卷 14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如 下:第 k 棵树种植在点 P ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时, k

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? T (a) 表 示 非 负 实 数 a 的 整 数 部 分 , 例 如 ? ? k ?1 ? ?k ?2? ?y ? y ?T k ?1 ? ? ?T ? ?. ? k ? 5 ? ? 5 ? ?
T ( 2.6)? 2 T (0.2) ? 0 .按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 ,
种植点的坐标应为 . ;第 2008 棵树

答案 (1,2) (3,402)

三、解答题 8.(2008 年江苏卷 17)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB=10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上

D O

P

C

(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长 为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总 长度最短. 解 本小题主要考查函数最值的应用.

A

B

(Ⅰ)①设 AB 中点为 Q,由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则

AQ 10 10 ? , 故 OB ? ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ? cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OA ?

所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA=OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y? ? 令 y? ? 0 得 sin ? ?
?10 cos? cos? ? (20 ? 10 sin ? ) 10(2 sin ? ? 1) ? cos2 ? cos2 ?

? ? 1 ? ?? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = .当 ? ? ? 0, ? 时, y? ? 0 , y 是 ? 的 4 6 2 ? 6?
? (10 ? 10 3 ) (km)。

减函数;当 ? ? ?

? ?? ? ? , ? 时, y? ? 0 ,y 是 ? 的增函数.所以当 ? = 时, yiin 6 ?6 4?
10 3 km 处。 3

这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

9.(2008 年湖北卷 20).(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用 t 表示时间, 以月为单位,年初为起点.根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近 似函数关系式为

?(?t 2 ? 14t ? 40)e 5 t ? 50,0 ? t ? 10, ? V (t ) ? ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,.10 ? t ? 12. ?
1

( Ⅰ ) 该 水 库 的 蓄 求 量 小 于 50 的 时 期 称 为 枯 水 期 . 以 i ? 1 ? t ? i 表 示 第 i 月 份 ( i ? 1, 2,?,12 ),问一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算).
1

解 (1)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t2+14t-40) e 4 ? 50 ? 50, 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4. ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10) (3t-41)+50<50, 化简得(t-10) (3t-41)<0, 解得 10<t<

t

41 ,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12. 3

综上得 0<t<4,或 10<t≤12, 故知枯水期为 1 月,2 月, 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. ,3 (2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.

1 2 3 1 t 由 V′(t)= e (? t ? t ? 4) ? ? e 4 (t ? 2)(t ? 8), 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍 4 2 4
去). 当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) -

1 t 4

1

由上表,知 V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

第二部分

四年联考汇编

2010 年联考题
题组二(5 月份更新)

一、填空题

y?
1.(安徽两地三校国庆联考)函数

lg | x | x 的图象大致是

(

)

答案 D 2. (池州市七校元旦调研)对于正实数 ? ,记 合:

M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集

?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正
)

确的是 (

A.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

f ( x) ? M ?1 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则 g ( x) ?2 B.若
C.若 D.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

答案 C

【解析】对于

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有

?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? x2 ? x1 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?k f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 即 有 x2 ? x1 令 , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设

??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2
f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .

, 因 此 有

??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2

, 因 此 有

3. (安徽两地三校国庆联考)函数 f ( x) ? x cos x ? 1, x ? (?5,5) 的最大值为 M ,最小值 为 m ,则 M ? m 等于( A.0 答案 C 4. ( 岳 野 两 校 联 考 ) 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 的 实 数 x , 都 有
f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4

) C.2 D.4

B.1

1 ? 和 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, 且 f( ) 2 ,则 f(2009) 的值是(
B.2009 C.2010 D.2011



A.2008 答案 C

5. (安徽两地三校国庆联考)设定义在 R 上的函数 f (x) 的反函数为 f
?1 ?1 的 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 3 ,则 f ( x ?1) ? f (4 ? x) 等于(

?1

( x) ,且对于任意


A.0 答案 A

B.-2

C.2

D. 2 x ? 4

6.(昆明一中三次月考理)已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象如右图示,函数

y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? g ( x) 的解析式为
A. g ( x) ? 2x C. g ( x) ? log 1 x
2

1 x 2 D. g ( x) ? log2 x
B. g ( x) ? ( )

答案:B 7.(昆明一中三次月考理)已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x) ? x ? 当 x ?[?3 , ? 1] , f ( x) 的值域是 [n , m] ,则 m ? n 的值是 A.

4 ,且 x

1 3

B.

2 3

C. 1

D.

4 3

答案:C

8. (昆明一中二次月考理)如图表示函数 的图象,则 ( )

(其中



A.

B.

C. 答案:B 9. (昆明一中二次月考理)偶函数

D.

满足

=

,且在

时,

,则关于 的方程 A.1 答案:D B.2

,在 C.3

上解的个数是 ( D.4



二、填空题 1.(安徽两地三校国庆联考)已知函数 f(x)= ? 答案 1 或 2
?log 2 x( x ? 0) 1 , 若 f(a)= .则 a 的值为 x 2 ? 2 , ( x ? 0)

2.(安庆市四校元旦联考)已知关于 x 的方程 x ? ax ? 1 有一个负根,但没有正根,则实 数 a 的取值范 围是 答案 a≥1 3.(安徽两地三校国庆联考)给出定义:若
m? 1 1 ? x ? m? 2 2 (其中 m 为整数),则 m 叫做

离实数 x 最近的整数, 记作 { x } , { x } ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ?| x ? { x } | 即 的四个命题:



y ? f ( x)

1 k x ? (k ? Z ) y ? f ( x) 2 的定义域是 R, 值域是[0, 2 ]; ② 的图像关于直线 对称;

? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? 上是增函数; ③函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期是 1;④ 函数 y ? f ( x ) 在 ?

则其中真命题是__ 答案 ①②③



4.已知 f (x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数 a 、 b ? R 满足:

f (2 n ) f (2 n ) bn ? a ? f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) , f (2) ? 2 , n n (n ? N *) , 2n ( n ? N * ) ,

{b } {a } 考察下列结论, f (0) ? f (1) ;② f (x) 为偶函数; ① ③数列 n 为等差数列; ④数列 n
为等比数列,其中正确的是_______(填序号) 答案 ①③④ 5.(昆明一中二次月考理)函数 答案:0 6 . ( 师 大 附 中 理 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 1 ? 3( x ?1) ? 3( x ?1) ? ( x ?1) , 则
2 3



____________.

f ?1 (8) ? __________。
答案:0 7 . 师 大 附 中 理 ) 假 设 x1 ? ?97 , 对 于 n ? 1(n ? N ) 有 xn ? (
?

n ,计算乘积: xn ?1

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 =______。

答案:384 8.(昆明一中二次月考理)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函 数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点,则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数:

①f(x)=sinx; ②f(x)=π (x-1) +3; ③ 其中是一阶格点函数的有 答案:①②④ .

2





三、解答题 1. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ⑴求函数 f (x) 的周期; ⑵函数 f (x) 的图象可由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到?

1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? ( x ? R) 2

解: (1) f ( x) ?

? 3 1 3 1 sin 2 x ? (2cos 2 x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2

所以 函数 f (x) 的周期是 ? (2)将函数 y ? sin x 的图象向左平移 来的

? 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标变为原 6

1 倍(纵坐标不变式) ,得函数 f (x) 的图象 2

2.(本小题满分 12 分) (安徽两地三校国庆联考) 机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保 养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使 用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.

x( x ? 1) ? ? y ? 50?12x ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. 2 ? ? 解 (1)依题得: (x ? N*)

(2)解不等式 ?2x ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51
2

∵x ? N*,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。

?
(3) (Ⅰ)

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 x 时,即 x=7 时等号成立.

2x ?
当且仅当

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(Ⅱ)y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 3. (本小题满分 12 分) (安徽两地三校国庆联考) 已知 a 是实数, 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,
2

求 a 的取值范围. 解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1?上没有零点, 所以 a ? 0 .



? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0
a? ?3 ? 7 2 时,

a?
, 解得

?3 ? 7 2

①当

y ? f ? x?

恰有一个零点在

??1,1? 上;

y ? f ? x ? ??1,1? ②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, 在 上也恰
有一个零点. ③当

y ? f ? x?



??1,1? 上有两个零点时,



a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 或?

解得 a ? 5 或

a?

?3 ? 5 2 a? ?3 ? 5 2 .

综上所求实数 a 的取值范围是

a ?1 或

4.(本小题满分 13 分) (安徽两地三校国庆联考) 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), 求证:f(0)=1; 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
f ( ? x) ?

(2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0
f ( x) ?



1 ?0 f ( ? x)

又 x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3 5. (三明市三校联考) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (I)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:① ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立



? ( (i ? 1) ) ?
i ?2

n

ln i

n(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 4
1 ?k x ?1

解: (I)函数 f ( x)的定义域为 (1,?? ), f ' ( x) ? 当 k ? 0 时 f ' ( x) ?

1 ? k ? 0 ,则 f ( x)在(1,??) 上是增函数 x ?1 1 1 ?k ?0 当 k ? 0 时,若 x ? (1,1 ? ) 时有 f ' ( x) ? k x ?1 1 1 1 ? k ? 0 则 f ( x)在(1,1 ? ) 上 是 增 函 数 , 在 若 x ? (1 ? ,?? ) 时 有 f ' ( x) ? k x ?1 k 1 (1 ? ,?? ) 上是减函数 ????????(4 分) k
(Ⅱ)由(I)知 k ? 0 ,时 f ( x)在(1,??) 递增,而 f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立, 故k ? 0 又由(I)知 y max ? f (1 ? 则 y max ? f (1 ?

1 ) ? ? ln k ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, k
由 ? ln k ? 0得k ? 1 ???????(8 分)

1 ) ? ? ln k ? 0 即可。 k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒成立,且 f ( x)在[2,??) 上是减 函数, f (2) ? 0 ,? x ? (2,??), f ( x) ? 0 恒成立, 即 ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立 。????????(11 分) 令 x ? 1 ? n ,则 ln n ? n ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,从而
2 2 2

ln n n ? 1 ? , n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ??? ? ? ? ??? ? 成立??(14 分) 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4 ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] 6. (玉溪一中期中理) (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? . x
2 ' (Ⅰ) 设 g ( x) ? x ? f ( x),( x ? 0) .试证明 g ( x) 在区间 (0, ??) 内是增函数;

(Ⅱ) 若存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) 使得 g (a) ? 0 成立,求正整数 m 的值; (Ⅲ) 若 x ? 0 时, f ( x) ? n 恒成立,求正整数 n 的最大值.

证明: (1)

f ( x )?

(x ? 1 ? ? ) 1 x

lx ? n(

) ? 1x( ? ,

? 0f) ' (x )

x ? 1 ? l nx ? 1 ) ( 2 x

∴ g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1),( x ? 0) , 则 g '( x) ?

x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0,??) 内单调递增 x ?1

解: (2) ∵ g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0 , g (3) ? 2(1 ? ln 2) ? 0 ,∴由(1)可得 g ( x) 在 (0,??) 内单

调递增, 即 g ( x) ? 0 存在唯一根 a ? (2,3) 解: (3) 由 f ( x) ? n 得 n ? f ( x) 且

∴ m?2
x ? (0,??) 恒成立,由 (2) 知存在唯一实数 a ? (2,3) ,

使 g (a) ? 0 且 当 0 ? x ? a 时 , g ( x ) ?

0 , ∴

f ' ( x) ? 0 , 当 x ? a 时 ,

g ( x ) ,∴ f ' ( x) ? 0 . ? 0
∴ 当 x ? a 时, f ( x ) 取得最小值 f (a ) ?

(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] a

∵ g (a) ? 0 , ∴ a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 ? 1 ? ln(a ? 1) ? a . 于是,f (a) ? a ? 1. ∵ a ? (2,3) , ∴ f (a) ? (3, 4) ∴ n ? 3 ,故正整数 n 的最大值为 3.

题组一(1 月份更新)

1.(2009 宣威六中第一次月考)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间 [?1, 2] 上是减函 数,那么 b ? c ( A.有最大值 答案 B B ) B.有最大值 ?

15 2

15 2

C.有最小值

15 2

D.有最小值 ?

15 2

2.(2009 枣庄一模)如果函数 f ( x) ? a ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第一、二、四象
x

限,不经过第三象限,那么一定有 ( A. 0 ? a ? 1且b ? 0 C. a ? 1且b ? 0 答案 B ) B. 0 ? a ? 1且0 ? b ? 1 D. a ? 1且b ? 0

?1? 3.(2009 韶关一模)已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的解, ? 3?
且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ? x1 ? 的值为 A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

x

答案 A 4.(2009 玉溪一中期中)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) ,且 f ( x ? 1) 的 反函数恰好为 f ?1 ( x ? 1) 。若 f (1) ? 3999 ,则 f (2009) ? 答案 1991 5.(2009 上海十四校联考)已知 f ( x)是定义在 上的函数,且 f (1) ? 1, 对任意的x ? R R 都有下列两式成立: .

f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5; f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1.若g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x, 则g (6) 的值为
答案 1 6.(2009 上海八校联考)某同学在研究函数 f ( x) ? 结论: ①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立; ②函数 f ( x ) 的值域为 (?1, 1) ; ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有________________。 (请将你认为正确的结论的序号都填上) 答案 ①②③

x ( x ? R) 时,分别给出下面几个 1? | x |

3 2 7.(2009 青岛一模)已知函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 ?

3 (a ? R 且 a ? 0) ,求函数 f (x) 的极 a

大值与极小值.

2 2 解:由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3ax( x ? ) a
令 f ?( x) ? 0得 x ? 0, 或x ?

2 a

' 当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ' ? x?

? ??,0?
+

0 0

? 2? ? 0, ? ? a?
-

2 a
0

?2 ? ? , ?? ? ?a ?
+

f ? x?
? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

极大

极小

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ' ? x? f ? x?
?

2? ? ? ??, ? a? ?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? ,0? ?a ?
+

0
0 极大

?0,???
-

f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a? 3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ; a a a ?a?

?

总之, a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ? 当

当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?

1 8.(2009 宣威六中第一次月考)设函数 f (x) =- x 3 ? 2ax2 ? 3a 2 x ? b, 0< a <1。 3

(1)求函数 f (x) 的单调区间、极值。 (2)若当 x ? ?a ? 1, a ? 2? 时,恒有 f ?(x) ≤ a ,试确定 a 的取值范围。 解: (1) f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 , 由表 令 f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 得 x=a 或 x=3a

x
f ?( x )
f ( x)

( ??, a ) - 递减
?

α 0
4 3 a ?b 3

( a,3a ) + 递增

3α 0 b

( 3a, ?? ) - 递减

可知:当 x ? (??, a) 时,函数 f ( x )为减函数,当 x ? (3a,??) 时,函数 f( x )也为 减函数:当 x ? (a,3a) 时,函数 f( x )为增函数。

(2)由 f ?(x) ≤ a ,得- a ≤- x 2 ? 4ax ? 3a 2 ≤ a 。∵0< a <1, ∴ a +1>2 a ,

f ?(x ) =- x 2 ? 4ax ? 3a 2 在[ a +1, a +2]上为减函数。∴[ f ?(x) ]max = f ′( a +1)=2 a -1,
[ f ?(x) ]min= f ′( a +2)=4 a -4.于是,问题转化为求不等式组 ? 解不等式组,得

?2a ? 1 ? a 的解。 ?4a ? 4 ? ?a

4 4 ≤ a ≤1。又 0< a <1, ∴所求 a 的取值范围是 ≤ a ≤1。 5 5

a ? 2x 9.(2009 上海闸北区)设 f ( x) ? ,其中实常数 a ? ?1 . 1? 2x
(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域和值域; (Ⅱ)试研究函数 f (x) 的基本性质,并证明你的结论. 解: (Ⅰ)函数 f (x) 的定义域为 R

?1? 2x ? 2 a ?1 f ( x) ? ? ?1 ? x , x 1? 2 2 ?1
x x 当 a ? ?1 时,因为 2 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? 1 ,

0?

a ?1 ? a ? 1 ,从而 ? 1 ? f ( x) ? a , 2x ?1

所以函数 f (x) 的值域为 (?1, a) . (Ⅱ)假设函数 f (x) 是奇函数,则,对于任意的 x ? R ,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立,

a ? 2?x a ? 2x ?? ? (a ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ? a ? 1 即 ?x x 1? 2 1? 2

? 当 a ? 1 时,函数 f (x) 是奇函数.当 a ? ?1 ,且 a ? 1 时,函数 f (x) 是非奇非偶函数. ? 对于任意的 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,
(a ? 1)2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) 函数 f (x) 是递减函数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? 当 a ? ?1 时, (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
10.(2009 重点九校联考)已知指数函数 y ? g( x ) 满足:g(2)=4, 定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m

(1)确定 y ? g( x ) 的解析式; (2)求 m,n 的值; (3) 若对任意的 t ? R , 不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立, 求实数 k 的取值范围。 解: (1)

y ? g( x ) ? 2 x

? 2x ? n (2)由(1)知: f ( x ) ? x ?1 2 ?m
因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

n?1 ?0? n?1 2? m

∴ f ( x) ?

1 ? 2x , 又由 f(1)= -f(-1)知 2 x ?1 ? m

1 1? 2 2 ?m?2 f ( x) ? ?? 4? m m?1 1?
1 ? 2x 1 1 ?? ? x (3)由(2)知 f ( x) ? , x ?1 2?2 2 2 ?1
易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2 2 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t

即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 11.(2009 日照一模)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 。
3 2

1 3

(I)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 2 处有极值-6,求 y ? f ( x) 的单调递减区间; 解: (I) f '( x) ? 3x ? 2ax ? b
2

? f '(2) ? 0 ? f (2) ? ?6 依题意有 ?
5 ? ?a ? ? , ?12 ? 4a ? b ? 0, 2 ? ? 8 ? 4a ? 2b ? ?6. 解得 ?b ? ?2 ? 即?

? f '( x) ? 3x2 ? 5x ? 2
1 ? ?x?2 由 f '( x) ? 0 ,得 3

? y ? f ( x) 的单调递减区间是

1 (? , 2) 3

? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, (Ⅱ)由 ?

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0. 得?

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?

? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 得?

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?

?a ? 0, ? b ? ?1. 得?

?Q 点的坐标为(0,-1) .
z?


b , a ? 1 则 z 表示平面区域内的点( a , b )与点

P(1, 0) 连线斜率。

? KPQ ? 1,

由图可知 z ? 1 或 z ? ?2 ,

b ? (??, ?2] ? [1, ??) 即 a ?1

12.(2009 玉溪一中期末)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 5, 若x ?
3 2

2 时, y ? f ( x) 有极 3

值,且曲线 y ? f ( x)在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 3。

(Ⅰ )求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ )求 y ? f (x) 在[-4,1]上的最大值和最小值。 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. …………1 分

2 2 2 ? ? 2 ?a ? 2, ? f ( ) ? 3 ? ( ) ? 2a ? ? b ? 0, 由题意,得 ? 解得 ? 3 3 3 ?b ? ?4. ? f ?(1) ? 3 ?12 ? 2a ?1 ? b ? 3. ?
所以, f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? 5. …………5 分

…………4 分

(2)由(1)知 f ?( x) ? 3x 3 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)(3x ? 2). ,

令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?2, x 2 ?

2 . 3

…………6 分

x
f ?(x) f (x)
函数值

-4

(-4,-2) +

-2 0 极大值

2 (?2, ) 3


2 3
0 极小值

2 ( ,1) 3
+

1

-11

13

95 27

4

? f (x) 在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11。 …………12 分
13.(2009 枣庄一模)设函数 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2x 2 ? b( x ? R, )其中a, b ? R. (1)当 a ? ?

10 时, 讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x)仅有x ? 0处有极值 求a 的取值范围; , (3)若对于任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立,求 b 的取值范围。 解: (1) f ?( x) ? 4x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4).
3 2 2

10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2). 3 1 令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 2. 2
当a ? ? 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)
f (x)

(??,0)
单调递减

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ 单调递增

1 2
0 极大值

1 ( ,2) 2
单调递减

2 0 极小值

(2,??)
+ 单调递增

所以 f ( x)在(0, )和(2,?? ) 上是增函数, 在区间 (?? ,0)和( ,2) 上是减函数 (2) f ?( x) ? x(4x 2 ? 3ax ? 4),显然x ? 0不是方程 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根。 4

1 2

1 2

? f ( x)仅在x ? 0 处有极值。
则方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根,
2

? ? 9a 2 ? 4 ? 16 ? 0.
解此不等式,得 ?

8 8 ?a? , 3 3

这时, f (0) ? b 是唯一极值。 因此满足条件的 a的取值范围是 [? , ]
2 注:若未考虑 ? ? 9a ? 4 ? 0.进而得到 a的范围为 [? , ] ,扣 2 分。

8 8 3 3

8 8 3 3

(3)由(2)知,当 a ? [?2,2]时,4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。 当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间 ??,0]上是减函数, ( 因此函数 f ( x)在[?1,0]上的最大值是 (?1). f 12 分

又? 对任意的 ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立。 a

? f (?1) ? 1,即3 ? a ? b ? 1.
于是 b ? a ? 2在a ? [?2,2] 上恒成立。

? b ? ?2 ? 2,即b ? ?4. ( 因此满足条件的 b的取值范围是 ??,?4).

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 泉州市)函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 ( )
1 1 A. ? , ? ? ? ?8 4? 1 1 B. ? , ? ? ? ? 4 2?

C. ? ,1? ? ?
1 ?2 ?

D.(1,2)

答案 C 2.(2009 厦门二中) lg x ? ( ) A. (0, 1] 答案 B 3. (2009 莆田一中) 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范 B. (1, 10] C. (10, 100] D. (100, ? ?)

1 ? 0 有解的区域是 x

围是 A. ? ?2, 2 ?
答案 A

( B. ? ?2, 2? C. ? ??, ?1? D. ?1, ?? ?



4. ( 沈 阳 市 回 民 中 学 2008-2009 学 年 度 上 学 期 高 三 第 二 次 阶 段 测 试 文 科 ) 函 数

f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为
w..

( B. (0,1) D. (1,e)



A. (-1,0) C. (1,2)

答案 B 二、填空题 5.(北京市石景山区 2009 年 4 月高三一模理)已知函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 在 [?2,2] 的图 象如下所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 答案 ①③④ 6. (2009 龙岩一中) 我市某旅行社组团参加香山文化一日游, 预测每天游客人数在 50 至 130 人之间,游客人数 x (人)与游客的消费总额 y (元)之间近似地满足关系: ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

y ? ? x2 ? 240x ? 10000 .那么游客的人均消费额最高为_________元.
答案 40 7.(安徽省合肥市 2009 届高三上学期第一次教学质量检测)函数 f ( x) ? ? x ? log 2 x 的零点 所在区间为 A. [0, ] 答案 三、解答题 8. ( 2009 福 州 八 中 ) 某 造 船 公 司 年 造 船 量 是 20 艘 , 已 知 造 船
2 3

1 8

B. [ , ]

1 1 8 4

C. [ , ]

1 1 4 2

D. [ ,1]

1 2

C

x 艘的产值函数为

R(x)=3700x+45x -10x (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (Ⅰ)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际 意义是什么? 解 ( Ⅰ ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3240x-5000,(x ? N , 且 1 ≤ x ≤ 20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3275,(x ? N ,且 1≤x≤19) (Ⅱ) P?( x) ? ?30 x 2 ? 90 x ? 3240 ? ?30( x ? 12)(x ? 9) . ∴当 0<x<12 时 P?(x) >0,当 x<12 时, P?(x) <0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (Ⅲ)∵MP(x)=-30x +60x+3275=-30(x-1) +3305,
2 2 2 * 3 2 *

所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,x 的取值范围为[1,19],且 x ? N

*

MP( x) 是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.
9.(2009 福建省)已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对 国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出 一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年 给每位待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时, 留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-

81 )万元; 当待岗员工人数 x 超过原有员工 1% 100 x

时,留岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员 工待岗? 解 设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2000×1%=20,∴当 0<x≤20 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1∵x≤2000×5%

81 324 )-0.5x=-5(x+ )+9000.81. 100 x x

∴x≤100,∴当 20<x≤100 且 x∈N 时,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. ∴y??
324 ? ) ? 9000.81, (0 ? x ? 20且x ? N), ?? 5( x ? x ?? 4.9595 x ? 8919, (20 ? x ? 100且x ? N). ?

当 0<x≤20 时,有

324 )+9000.81≤-5×2 324 +9000.81=8820.81, x 324 当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x
y=-5(x+ 当 20<x≤100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 所以 y<-4.9595×20+8919=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.

2007—2008 年联考题
一、选择题 1.(广东省惠州市 2008 届高三第三次调研考试)若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零

点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f (1) = -2 f (1.375) = -0.260

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054
( D.1.5 )

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为 A.1.2 答案 解析 C B.1.3 C.1.4

f(1.40625)=-0.054< 0,f(1.4375)=0.162> 0 且都接近 0,由二分法可知其根

近似于 1.4。 2.(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)如果二次方程 x -px-q=0(p,q∈N ) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 ( ) B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
2 *

A. 5 个 答案 C

3.(2008 年全国百校月考) 用二分法研究函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 的零点时,第一次经计算
f (0) ? 0,f (0.5) ? 0 ,可得其中一个零点 x0 ?

, 第二次应计算

. 以上横线上

应填的内容为 A. (0,0.5) f (0.25) , C. (0.5,1) f (0.75) , 答案 A B. (0,1) f (0.25) , D. (0,0.5) f (0.125 , )

4.(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)在股票买卖过程中,经常用到两种曲线, 一种是即时价格曲线 y=f(x), 一种是平均价格曲线 y=g(x)(如 f(2)=3 表示开始交易 后第 2 小时的即时价格为 3 元; (2)=4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平 g 均价格为 4 元).下面所给出的四个图象中,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其 中可能正确的是 ( )

y

y

y

y

x

x

x

x

A 答案 解析 C

B

C

D

刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,A 错误;开始交易后,平均价格

应该跟随即使价格变动,在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度,B、D 均 错误. 二、解答题 5.(2007 年岳阳市一中训练)某工厂统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 n (件)(n ? N*, 且 1≤n≤98)的关系表如下: N P 1 2 3 4 ┅ ┅ 98 1

2 99

1 49

2 97

1 48

又知每生产一件正品盈利 a 元,每生产一件次品损失

a 元( a ? 0 ). 2

(1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 n (件)的一种函数关系式; (2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件? ( 3 ? 1.73) 解 (1)由题意可知 P ? 利额 T (n) ? a(n ? pn ) ?
2 (1 ? n ? 98, n ? N * ) 日产量 n 件中,正品(n-pn)件,日盈 100 ? n

a 3n pn ? a(n ? )(1 ? n ? 98, n ? N * ) . 2 100 ? n T ( n) 300 300 ? 3? n ? (a ? 0) ? 103 ? [(100 ? n) ? ] ? 103 ? 2 300 ? 68.4 (2) a 100 ? n 100 ? n 300 T (82 ) T (83) , 即 n=100-10 3 ? 82.7, 而 n ? N * ,且 ? , 当且仅当 100-n= a a 100 ? n T 故 n ? 83 时 取最大值,即 T 取最大值. a

6.( 2008 年高考数学各校月考试题)某公司以每吨 10 万元的价格销售某种化工产品,每 年可售出该产品 1000 吨, 若将该产品每吨的价格上涨 x%, 则每年的销售数量将减少 mx%, 其中 m 为正常数.

(1)当 m ?

1 时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大? 2

(2)如果涨价能使销售总金额增加,求 m 的取值范围. 解(1)由题设,当价格上涨 x%时,销售总金额为: (2) y ? 10 ? 1000? (1 ? x%) ? (1 ? mx%) (万元) 即 y ? ?mx ? 100(1 ? m) x ? 1000。
2

当m ?

1 1 时, y ? [?( x ? 50) 2 ? 22500 ], 2 2

当 x=50 时, y max ? 11250万元. 即该吨产品每吨的价格上涨 50%时,销售总最大.
2 (2)由(1) y ? ? mx ? 100 (1 ? m) x ? 10 000 , (0 ? x ?

100 ) m

如果上涨价格能使销假售总金额增加, 则有 x ? 0时y ? 10?1 000 即 x>0 时, ? mx ? 100(1 ? m) x ? 10 000 ? 10 000
2

∴ ? mx ? 100(1 ? m) ? 0 注意到 m>0 ∴

100 (1 ? m) ? x, m



100 (1 ? m) ?0 m

∴ 0 ? m ? 1,

∴m 的取值范围是(0,1) 7.(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)某机床厂今年年初用 98 万元购进一 台 数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元,从第二年开始, 每年所需维修、 保养费用比上一年增加 4 万元, 该机床使用后, 每年的总收入为 50 万元, 设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.

解 (1)依题得: y ? 50?12x ?

? ?

x( x ? 1) ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. (x? N*) 2 ?

(2)解不等式 ?2x2 ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51 ∵x ? N ,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。
*

(3) (Ⅰ)?

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 当且仅当 2x ? 时,即 x=7 时等号成立. x
2 2

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(Ⅱ)y=-2x +40x-98=-(x-10) +102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 8.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)为了保护环境, 实现城市绿化, 某房地 产公司要在拆迁地长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建造公园,公园一边落在 CD 上,但不得越过文物保护区 ?AEF 的 EF.问如何设计才能使公园占地面积最大,并求这 最大面积( 其中 AB=200 m,BC=160 m,AE=60 m,AF=40 m.) 解 设 CG=x,矩形 CGPH 面积为 y, 如图作 EN⊥PH 于点 N,则 ∴HC=160 ?
EN x ? 140 2 x ? 280 ? ? EN ? 40 60 3

2 x ? 280 760 ? 2 x ? 3 3
2

72200 760 ? 2 x 1 1 ? 760? y ? x? ? ? 2 x(760 ? 2 x) ? ? ? ? 3 3 6 6? 2 ?
当 2 x ? 760 ? 2 x ? x ? 190 (m)即CG长为190m时,最大面积为

72200 2 (m ) 3


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