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江苏省海门市四校高三联考数学试卷


江苏省海门市四校高三联考数学试卷
2012.11 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) .

第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.设集合 A ? {0,1,3}, B ? {a ? 1, a ? 2} ,若 A∩B= {1} ,则实数 a 的值是____.
2

b 2.设 a , ? R , a ? bi ?
3.函数 f ( x) ?
2

11 ? 7i (i 为虚数单位 ),则 a ? b 的值为____.. 1 ? 2i


log 1 (3x ? 5) 的定义域为

4.当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? _____. 5.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1在点(0,1)处的切线方程为 . .

1 6.已知函数 f ( x) ? ? 2 tan x
2

7. 二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? c( x ? R) 的值域为[0, ? ), + 则

a ?1 c ?1 ? 的最小值为 . c a 8.在平行四边形 ABCD中, AB ? 2, AD ? 1, ?DAB ? 60? ,点 M为AB 的中点,点 P 已知
在 BC与CD 上运动(包括端点) ,则 AP? DM 的取值范围是 9.已知 cos .

x x sin cos 2 2 则f ( ? ) 的值为 x 8 2 cos2 ? 1 2



?
3

?

1 ? 2? 1 ? 2? 3? 1 , cos cos ? , cos cos cos ? , ?,根据这些结果,猜想 2 5 5 4 7 7 7 8

出的一般结论是 . 2 2 10.若关于 x 的不等式 (2 x ? 1) ≤ax 的解集中的整数恰有 2 个,则实数 a 的取值范围是
+ 11.已知下列两个命题: p : ?x ? R ,不等式 x ? a x ?1 恒成立;

q : y ? loga ( x2 ? ax ?1) (a ? 0, a ? 1) 有最小值.
若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是 12.已知数列{ an }满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 项的和为 . . .

n? n? ? (1 ? cos 2 )a n ? sin 2 ,则该数列的前 20 2 2

13. x ? R,f ( x ) ? ( ) , 设 若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立, 则实数 k
x

1 2

的取值范围是 14.给出定义:若 m ?



1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2 记作{x},即 {x} ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:

① 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 是 R , 值 域 是 ?0, ? ; ② 函 数 y ? f (x) 的 图 像 关 于 直 线 2

? 1? ? ?

k (k ? Z ) 对称;③函数 y ? f (x) 是周期函数,最小正周期是 1;④函数 y ? f (x) 在 2 ? 1 1? . ?? 2 , 2 ? 上是增函数.则其中真命题是 ? ? x?
二、解答题: (本大题共 6 道题计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2 2 15.(本小题满分 14 分) 设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 足? 2 . ? x ? 2 x ? 8 ? 0. ?
(Ⅰ)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? , ? 3? (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间;
(Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

?0, B ?上的值域.

17.(本小题满分14分) 某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况,得到如下数据: 季 度 第一季度 42.6 第二季度 38.3 第三季度 37 .7 第四季度 41.4 进货资金(单位:万元)

试求该商场去年冰箱的“季拟合进货资金 m ”的值( m 是这样的一个量 : 它与各个季度 进货资金差的平方和最小); 该商场今年第一个季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长25%.经 调研发现,销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润 P (万元)和 Q (万元)与进 货资金 t (万元)分别近似地满足公式 度应如何分配进货资金,才能使销售冰箱获得的利润最大?最大利润是多少万元?

P?

1 20t t Q? 4 和 t ? 20 ,那么该商场今年第一个季

18.(本小题满分 14 分) 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x ? 1比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3) 已知函数 f ( x ) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D ,f ( x ) 等于 1 ? sin x 和

?

?

1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、
最小值和单调性(结论不要求证明).

19. (本小题共 16 分)已知数列

?an ? 和 ?bn ? 满足

a1 ? m, an?1 ? ?an ? n, bn ? an ?

(Ⅰ)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 ? ,?an ? 一定不是等差数列;

?bn ?的前 n 项和为 Tn .

2n 4 ? , 3 9

1 (Ⅱ) 当 ? ? ? 时,试判断 ?bn ? 是否为等比数列; 2 * (Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若 1 ? Tn ? 2 对任意的 n ? N 恒成立,求实数 m 的范围.

2 (其中常数 a >0,且 a ≠1) . ax (Ⅰ)当 a ? 10 时,解关于 x 的方程 f ( x) ? m (其中常数 m ? 2 2 ) ; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 (??,2] 上的最小值是一个与 a 无关的常数,求实数 a 的取值范围.
20. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? a
x

?

第二部分(加试部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 注意事项: 答卷前, 请考生务必将自己的学校、 姓名、 考试号等信息填写在答题卷上规定的位置. 解 答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效. 21. (本题满分 10 分)已知定义域为 {x ? R | x ? 0} 的函数 f ( x ) 满足; ①对于 (x) f 定义域内的任意实数 x, 都有 f (? x) ? f ( x) ? 0; ②当 x ? 0时, f ( x) ? x2 ? 2. (I)求 f ( x ) 定义域上的解析式; (II)解不等式: f ( x) ? x.

22 . ( 本 小 题 满分 10 分) 已 知 e1 , e2 是 夹 角 为 60°的 单 位 向 量 ,且 a ? 2e1 ? e2 ,

??

?? ?

?

? ?? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? (1)求 a ? b ; (2)求 a 与 b 的夹角 ? a, b ? 。 b ? ?3e1 ? 2e2 。

23. (本题满分 10 分)设函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) . (1)若 a1 ? 2 ,试比较 a2 与 a3 的大小; (2)若 0 ? a1 ? 1,求证: 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立.
*

24. (本题满分 10 分)设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

江苏省海门市四校高三联考数学试卷
参考答案与评分标准 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) .

第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.设集合 A ? {0,1,3}, B ? {a ? 1, a ? 2} ,若 A∩B= {1} ,则实数 a 的值是__0__.
2

b 2.设 a , ? R , a ? bi ?
3.函数 f ( x) ?

11 ? 7i (i 为虚数单位 ),则 a ? b 的值为__8__.. 1 ? 2i

log 1 (3x ? 5) 的定义域为
2

?5 ? ? , 2? ?3 ?



4.当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? __ 5.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1在点(0,1)处的切线方程为
x

5? ___. 6
. .

1 6.已知函数 f ( x) ? ? 2 tan x

x x sin cos 2 2 则f ( ? ) 的值为 x 8 2 cos2 ? 1 2

2



7.二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? c( x? R 的值域为[0,+ ? ),则 ) 4 .

a ?1 c ?1 ? 的最小值为 c a

8.在平行四边形 ABCD中, AB ? 2, AD ? 1, ?DAB ? 60? ,点 M为AB 的中点,点 P 已知 在 BC与CD 上运动(包括端点) ,则 AP? DM 的取值范围是 9.已知 cos

1 [ ? ,1] 2



?
3

?

1 ? 2? 1 ? 2? 3? 1 , cos cos ? , cos cos cos ? , ?,根据这些结果,猜想 2 5 5 4 7 7 7 8
cos π 2π nπ 1 cos ?cos ? n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2


出的一般结论是

10.若关于 x 的不等式 (2 x ? 1)2 ≤ax2 的解集中的整数恰有 2 个,则实数 a 的取值范围是
9 25 [ , ) 4 9

+ 11.已知下列两个命题: p : ?x ? R ,不等式 x ? a x ?1 恒成立;

q : y ? loga ( x2 ? ax ?1) (a ? 0, a ? 1) 有最小值.
若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是 12.已知数列{ an }满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? (1 ? cos 项的和为 2101 .
2

(2, 4)

. .

n? n? )a n ? sin 2 ,则该数列的前 20 2 2

1 x 2 k?2 的取值范围是 . 1 1 14.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2
13. x ? R,f ( x ) ? ( ) , 设 若不等式 f ( x) ? f (2 x) ? k 对于任意的 x ? R 恒成立, 则实数 k 记作{x},即 {x} ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题: ① 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 是 R , 值 域 是 ?0, ? ; ② 函 数 y ? f (x) 的 图 像 关 于 直 线 2

? 1? ? ?

x?

k (k ? Z ) 对称;③函数 y ? f (x) 是周期函数,最小正周期是 1;④函数 y ? f (x) 在 2


? 1 1? ?? 2 , 2 ? 上是增函数.则其中真命题是 ? ?

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤)
2 2 15.(本小题满分 14 分) 设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 足? 2 . ? x ? 2 x ? 8 ? 0. ?
(Ⅰ)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解: 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,
2 2

又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

?????????????2 分

当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ?x ? 2x ? 8 ? 0 ?
若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ?????8 分 (Ⅱ) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

? ?p , ?

B,

?????10 分

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . ?????14分 16.(本小题满分 14 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos ?
2

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? , ? 3? (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间;
(Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

?0, B ?上的值域.
2 2 解:(Ⅰ) f ( x) ? a sin x cos x ? cos x ? sin x ?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 ? 因此 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). ?????4 分 6 ? ? ? ? ? 令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 6 2 6 3 ? ? ? ? 故函数 f (x) 的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?(k ? Z ) ?????7 分 3 ? 6 ?
由 f (?

?

) ? f (0)得 ?

(Ⅱ)由余弦定理知:

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2ab cosC b cosC 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C , ?????9 分 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A
即 cos B ?

1 ? ,所以 B ? 2 3

当 x ? ? 0,

? ? ? ?? ? ?? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , f ?x ? ? ?? 1,2? ? 6 ? 6 2? ? 3?
?????14 分

故 f (x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2?

17.(本小题满分14分) 某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况,得到如下数据: 季 度 第一季度 42.6 第二季度 38.3 第三季度 37 .7 第四季度 41.4

进货资金(单位:万元)

试求该商场去年冰箱的“季拟合进货资金 m ”的值( m 是这样的一个量 : 它与各个季度 进货资金差的平方和最小); 该商场今年第一个季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长25%.经 调研发现,销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润 P (万元)和 Q (万元)与进

货资金 t (万元)分别近似地满足公式

P?

1 20t t Q? 4 和 t ? 20 ,那么该商场今年第一个季

度应如何分配进货资金,才能使销售冰箱获得的利润最大?最大利润是多少万元? 解: (1) 设四个季度的进货资金分别为 则 =

a1 , a2 , a3 , a4 ,

M ? (m ? a1 )2 ? (m ? a2 )2 ? (m ? a3 )2 ? (m ? a4 )2

4m2 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 )m ? (a12 ? a22 ? a32 ? a42 ) ?????????????3分
m? a1 ? a2 ? a3 ? a4 4 时, M 最小???????????????? 5分 m? 42.6 ? 38.3 ? 37.7 ? 41.4 ? 40 4 万元??? ????7分

所以当

故所求的季拟合进货资金

(2) 因为今年第一季度的进货资金为 40 ? (1 ? 25%) ? 50 万元,设用于普通冰箱的进货资金 为 x 万元,则用于节能冰箱的进货资金为 (50 ? x) 万元,

y ? P?Q ?
从而销售冰箱获得的利润为

1 20 x (50 ? x) ? 4 x ? 20 ( 0 ? x ? 50 )????10分

令 s ? x ? 20 ?[20,70] ,则

y?

75 s 400 75 s 400 35 ?( ? )? ?2 ? ? 2 4 s 2 4 s 2 ???12分
y 取得最大值为17.5,

当且仅当 s ? 40 ,即 x ? 20 时,

所以 当用于节能冰箱的进货资金为30万元,用于普通冰箱的进货资金为20万元时,可使销 售冰箱的利润最大,最大为17.5万元????????????????14分 (说明:第(2)小题用导数方法 求解的,类似给分)

18.(本小题满分 15 分) 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x ? 1比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3) 已知函数 f ( x ) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D ,f ( x ) 等于 1 ? sin x 和

?

?

1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、
最小值和单调性(结论不要求证明). 解:(1) x?(?2,2);?????3 分 (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a2b ? ab2 ? 2ab ab , a3 ? b3 ? 2ab ab , 因为 | a2b ? ab2 ? 2ab ab | ? | a 3 ? b 3 ? 2ab ab |? ?(a ? b )(a ?b ) 2 ? 0 , 所 以 | a2 b a 2b? 2 ?
2a b a ;?????9 分 b

a b |? |b3 ? a3 ? 2 a b

, b a a2b?ab2 比 a3?b3 接 近 a |即 b

?1 ? sin x, x ? (2k? ? ? , 2k? ) ? 1? | sin x |, x ? k? ,k?Z, (3) f ( x) ? ? ?1 ? sin x, x ? (2k? , 2k? ? ? )

f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T??,函数 f(x)的最小值为 0, 函 数 f(x) 在 区 间 [k? ? k?Z.?????16 分

?

, k? ) 单 调 递 增 , 在 区 间 (k? , k? ? ] 单 调 递 减 , 2 2

?

19. (本小题共 16 分)已知数列

?an ? 和 ?bn ? 满足

a1 ? m, an?1 ? ?an ? n, bn ? an ?

2n 4 ? , 3 9

?bn ?的前 n 项和为 Tn .
(Ⅰ)当 m=1 时,求证:对于任意的实数 ? ,?an ? 一定不是等差数列;

1 (Ⅱ) 当 ? ? ? 时,试判断 ?bn ? 是否为等比数列; 2
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,若 1 ? Tn ? 2 对任意的 n ? N 恒成立,求实数 m 的范围.
*

.解:(1) 当m ? 1时,a1 ? 1.a2 ? ? ? 1, a3 ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ……………2 分

假设?an ?是等差数列,由a1 ? a3 ? 2a2,得? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? 1?

即? 2 ? ? ? 1 ? 0,? ? ?3 ? 0,方程无实根。 故对于任意的实数?, n ?一定不是等差数列 ………………5 分 ?a

1 1 2n 4 (2) 当? ? ? 时,an?1 ? ? an ? n, bn ? an ? ? 2 2 3 9 2 ? n ? 1? 4 ? 1 1 n 2 ? 2 ? n ? 1? 4 bn ?1 ? an ?1 ? ? ? ? ? an ? n ? ? ? ? ? an ? ? 3 9 ? 2 3 9 2 3 9 ?
1? 2n 4 ? 1 ? ? ? an ? ? ? ? - bn 2? 3 9? 2 2 4 2 又b1 ? m ? ? ? m ? 3 9 9 2 2 1 ?当m ? 时, n ?是以m ? 为首项, 为公比的等比数列 ……………9 分 ? ?b 9 9 2 2 当m ? 时, n ?不是等比数列 ……………………10 分 ?b 9 2 (3) 当m ? , Tn ? 0 ,不成立………………………………………………11 分 9

2 2 2 1 n 时 Tn ? ( m ? )[1 ? (? ) ] 9 3 9 2 1 n 3 1 n 3 当 n 为奇数时 [1 ? (? ) ] ? (1, ] ,当 n 为偶数 [1 ? (? ) ] ? [ ,1) …………14 分 2 2 2 4 20 从而求得 m ? …………………………………………………16 分 9
当m ? 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? a
x

?

2 (其中常数 a >0,且 a ≠1) . ax

(Ⅰ)当 a ? 10 时,解关于 x 的方程 f ( x) ? m (其中常数 m ? 2 2 ) ; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 (??,2] 上的最小值是一个与 a 无关的常数,求实数 a 的取值范围.
2 ? x ?10 ? 10 x , x ≥ 0, ? 解 (Ⅰ)f(x)= ? ? 3 , x ? 0. ?10 x ?

① 当 x<0 时,f(x)=

3 >3.因为 m>2 2.则当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 无解; 10 x
???????? 1 分

3 3 当 m>3,由 10x= ,得 x=lg . m m ② 当 x≥0 时,10x≥1.由 f(x)=m 得 10x+

2 =m,∴(10x)2-m10x+2=0. x 10

m± m2-8 因为 m>2 2,判别式 ? =m -8>0,解得 10 = . ???????? 3 分 2
2 x

m+ m2-8 m+ m2-8 m+ m2-8 因为 m>2 2,所以 > 2>1.所以由 10x= ,解得 x=lg . 2 2 2 令 m- m2-8 =1,得 m=3. 2 ???????? 4 分

m- m2-8 4 4 所以当 m>3 时, = < =1, 2 2 m+ m -8 3+ 32-8 m- m2-8 4 4 = > = 1 , 解 得 x = lg 2 2 m+ m -8 3+ 32-8

当 2

2<m≤3 时,

m- m2-8 .????? 5 分 2 综上,当 m>3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg 当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg m+ m2-8 3 和 x=lg ; m 2 m± m2-8 .???????? 6 分 2

3 2 (2) (Ⅰ)若 0<a<1,当 x<0 时,0<f(x)= x<3;当 0≤x≤2 时,f(x)=ax+ x.? 7 分 a a 2 令 t=ax,则 t∈[a2,1],g(t)=t+ 在[a2,1]上单调递减,所以当 t=1,即 x=0 时 f(x) t 取得最小值为 3.

2 2 .此时 f(x)在(-∞,2]上的值域是(0, a 2 ? 2 ], 2 a a 没有最小值.??????????? 9 分
当 t=a2 时,f(x)取得最大值为 a 2 ? 3 2 (Ⅱ)若 a>1,当 x<0 时,f(x)= x>3;当 0≤x≤2 时 f(x)=ax+ x. a a 2 令 t=ax,g(t)=t+ ,则 t∈[1,a2]. t 2 ① 若 a2≤ 2 ,g(t)=t+ 在[1,a2]上单调递减,所以当 t=a2 即 x=2 时 f(x)取最小值 a2 t + 2 ,最小值与 a 有关;??????????? 11 分 a2

2 ② a2≥ 2 ,g(t)=t+ 在[1, 2]上单调递减,在[ 2,a2]上单调递增,????13 分 t 所以当 t= 2即 x=loga 2时 f(x)取最小值 2 2,最小值与 a 无关.?????? 15 分 综上所述,当 a≥ 4 2 时,f(x)在(-∞,2]上的最小值与 a 无关.????????? 16 分

第二部分(加试部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 注意事项: 答卷前, 请考生务必将自己的学校、 姓名、 考试号等信息填写在答题卷上规定的位置. 解 答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效. 21. (本题满分 10 分)已知定义域为 {x ? R | x ? 0} 的函数 f ( x ) 满足; ①对于 (x) f 定义域内的任意实数 x, 都有 f (? x) ? f ( x) ? 0; ②当 x ? 0时, f ( x) ? x2 ? 2. (I)求 f ( x ) 定义域上的解析式; (II)解不等式: f ( x) ? x. 解:(I)?对于f ( x) 定义域内的任意实数 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,

? f (? x) ? ? f ( x), 故f ( x) 在其定义域为 {x ? R | x ? 0} 内是奇函数 ????2 分
? x 2 ? 2( x ? 0) ? 当 x ? 0时, f ( x) ? x ? 2 可以解得 f ( x) ? ? ; ??????6 分 2 ?2 ? x ( x ? 0) ?
2

(II)?当x ? 0时, x2 ? 2 ? 0 的解为 0 ? x ? 2 ; 当 x ? 0时, 2 ? x2 ? x的解为x ? ?2 ,

?不等式f ( x) ? x 的解集为 {x | 0 ? x ? 2或者x ? ?2}.

??????10 分

22 . ( 本 小 题 满分 10 分) 已 知 e1 , e2 是 夹 角 为 60°的 单 位 向 量 ,且 a ? 2e1 ? e2 ,

??

?? ?

?

? ?? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? (1)求 a ? b ; (2)求 a 与 b 的夹角 ? a, b ? 。 b ? ?3e1 ? 2e2 。
解: (1) a ? b =( (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) =-6 e 1 + e1 ? e2 +2 e 2 = ?

? ?
?

? ?? ? ?

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?2

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?

?2

7 ???4 分 2

(2) | a |?| 2e1 ? e2 |? (2e1 ? e2 ) ? 7 ,同理得 | b |? 7 ,?????6 分
2

?? ?? ?

?? ?? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 1 所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ,又 ? a, b ? ? [0,180 ] ? ,所以 ? a, b ? =120°。 2 | a || b |
?????10 分 23. (本题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) .

(1)若 a1 ? 2 ,试比较 a2 与 a3 的大小; (2)若 0 ? a1 ? 1,求证: 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立.
*

解: (1) a1 ? 2 时, a2 ? f (2) ? 2 ? sin 2 ? (0, 2) , 所以 sin a2 ? 0 , 所以 a3 ? a2 ? ? sin a2 ? 0 , 所以 a2 ? a3 。 ·····································4 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· (2)用数学归纳证明当 0 ? a1 ? 1时, 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立,
*

① n ? 1 时,结论成立; ②设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 , 则当 n ? k ? 1 时, ··········· ·········· ·········· ·········· ak ?1 ? ak ? ? sin ak ? 0 ,即 ak ?1 ? ak ? 1 , ·····················6 分 当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 1 ? cos x ? 0 , 即 f ( x ) 是 (0,1) 上的单调递增增函数, 所以 ak ?1 ? f (ak ) ? f (0) ? 0 ,即 0 ? ak ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时,结论成立, 综上可得,当 0 ? a1 ? 1时, 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立,··········10 分 ·········· ·········
*

24. (本题满分 10 分)设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值 【答案】

?????10 分


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