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江苏省淮安市涟水中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试卷


2014-2015 学年江苏省淮安市涟水中学高二(下)期中数学试卷 (文科)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A={﹣2,﹣1,0,1},集合 B={x|﹣1,1,2,3},则 A∩B= . 2.抛物线 y= x 的准线方程是
2



3.已知复数

(i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为



4.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=

2



5.已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为



6.已知幂函数 y=f(x)的图象过点

,则函数 f(x)=



7.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)



8.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在 2 2 平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 x +2y =1 的左顶点为 A,过点 A 作两条斜率之积为 2 的 射线与椭圆交于 B,C,…” ②解:设 AB 的斜率为 k,…点 B( 直线 CD 的斜率为 , ) ,D(﹣ ,0) ,…据此,请你写出

. (用 k 表示)

9.已知 A(3,1) 、B(﹣1,2) ,若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上,则 AC 所在直线方程 是 . 10.设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β.其中所有真命题的序号是 .

11.如图所示,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 条曲线的交点连线也过焦点 F,则该椭圆的离心率为 .

2

的右焦点 F,且两

12.已知 围是 .

是(﹣∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范

13.若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N 坐标为(3,3) ,则线段 MN 长度的最小值是 . 14.已知函数 f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(e )<0 的 x 的取值范围为 .
x

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?淮安校级期中)已知命题 P:函数 y=loga(2x+1)在定义域上单调递 2 增;命题 Q:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立,若 P、Q 都是真 命题,求实数 a 的取值范围. 16. (14 分) (2013?越秀区校级模拟)如图,在四棱锥 P‐ABCD 中,四边形 ABCD 为正方 形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.求证: (1)PB∥平面 AEC; (2)平面 PCD⊥平面 PAD.

17. (15 分) (2015 春?淮安校级期中)已知圆 M 的方程为 x +(y﹣2) =1,直线 l 的方程 为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 时,求直线 CD 的方程;

2

2

(3)经过 A,P,M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标; 若不经过,请说明理由. 18. (15 分) (2015 春?淮安校级期中)现有一个以 OA、OB 为半径的扇形池塘,在 OA、 OB 上分别取点 C、D,作 DE∥OA、 CF∥OB 交弧 AB 于点 E、F,且 BD=AC,现用渔网沿着 DE、EO、OF、FC 将池塘分成 如图所示的三种的养殖区域.若 OA=1km, , .

(1)求区域Ⅱ的总面积; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是 15 万元、20 万元、10 万元,记 年总收入为 y 万元. 试问当 θ 为多少时,年总收入最大?

19. (16 分) (2015 春?淮安校级期中)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

+

=1

(a>b>0)过点(1,

) ,其左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为



(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 A、B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,动点 M 满足 MB⊥AB,且 MA 交椭圆 E 于点 P. (i)求证: ? 为定值;

(ii)设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q,问:直线 MQ 是否过定点,并说明理由. 20. (16 分) (2014?徐州模拟)已知函数 f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0. (1)当 a=﹣ ,c= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 c= +1 时,若 f(x)≥ 对 x∈(c,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 f(x)的图象在点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) )两处的切线分别为 l1、l2.若 x1= ,x2=c,且 l1⊥l2,求实数 c 的最小值.

2014-2015 学年江苏省淮安市涟水中学高二(下)期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A={﹣2,﹣1,0,1},集合 B={x|﹣1,1,2,3},则 A∩B= {﹣1,1} . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={﹣2,﹣1,0,1},B={﹣1,1,2,3}, ∴A∩B={﹣1,1}, 故答案为:{﹣1,1} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

2.抛物线 y= x 的准线方程是

y=﹣1 .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先将抛物线方程化为标准方程,进而可求抛物线的准线方程. 解答: 解:由题意,抛物线的标准方程为 x =4y, ∴p=2,开口朝上, ∴准线方程为 y=﹣1, 故答案为:y=﹣1. 点评: 本题的考点是抛物线的简单性质,主要考查抛物线的标准方程,属于基础题.
2

3.已知复数

(i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 ﹣1 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简已知复数,由复数的基本概念易得复数的虚部. 解答: 解:化简可得 =

=

=

=1﹣i

∴复数 z 的虚部为:﹣1 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题.

4.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)= ﹣2 .

2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x>0 时,f(x)=x + ,可得 f(1) .由于函数 f(x)为奇函数,可得 f(﹣1)= ﹣f(1) ,即可得出. 解答: 解:∵当 x>0 时,f(x)=x + , ∴f(1)=1+1=2. ∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了函数奇偶性,属于基础题. 5.已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为 3 .
2 2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,知底面的正三角形的面积为: S= =9 ,三棱锥的高为:h= = .由此能求

出此三棱锥的体积. 解答: 解:∵正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5, ∴底面的正三角形的面积为:S= 故底面的正三角形的高为 3 三棱锥的高为:h= 所以体积为:V= =3 ,其外接圆半径为 2 = . . =9 ,

故答案为:3 . 点评: 本题考查三棱锥的体积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

6.已知幂函数 y=f(x)的图象过点

,则函数 f(x)= x



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的定义即可求出.

解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象过点 ∴ 故答案为 . . ,∴ ,解得 .

α

点评: 熟练掌握幂函数的定义是解题的关键. 7.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 充分不必要 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 利用 a=1 判断两条直线是否平行;通过两条直线平行是否推出 a=1,即可得到答案. 解答: 解:因为“a=1”时,“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0” 化为 l1:x+2y﹣1=0 与 l2:x+2y+4=0,显然两条直线平行; 如果“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行” 必有 a(a+1)=2,解得 a=1 或 a=﹣2, 所以“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 点评: 本题考查充要条件的判断,能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是 解题的关键. 8.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在 平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 x +2y =1 的左顶点为 A,过点 A 作两条斜率之积为 2 的 射线与椭圆交于 B,C,…” ②解:设 AB 的斜率为 k,…点 B( 直线 CD 的斜率为 , ) ,D(﹣ ,0) ,…据此,请你写出
2 2

. (用 k 表示)

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得直线 AC 的斜率为 ,则将 k 换成 ,可得点 C( , ) ,运

用直线的斜率公式,计算即可得到. 2 2 解答: 解:椭圆 x +2y =1 的左顶点为 A(﹣1,0) ,过点 A 作两条斜率之积为 2 的射线, 设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AC 的斜率为 ,

由题意可得点 B(



) ,D(﹣ ,0) ,

则将 k 换成 ,可得点 C( 则直线 CD 的斜率为



) ,

=



故答案为:



点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算能力,属于中 档题. 9.已知 A(3,1) 、B(﹣1,2) ,若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上,则 AC 所在直线方程是 x﹣2y﹣1=0 . 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 分析: 设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点 A′(x0,y0) ,则由题条件可求出 A′(0,4) .所以 直线 A′B 的方程为 2x﹣y+4=0.由此知 C(﹣3,﹣2) .从而得到直线 AC 的方程. 解答: 解:设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点 A′(x0,y0) ,



,解得

,即 A′(0,4) .

∴直线 A′B 的方程为 2x﹣y+4=0. 由 得 ,

解得 C(﹣3,﹣2) . ∴直线 AC 的方程为 x﹣2y﹣1=0. 故答案:x﹣2y﹣1=0 点评: 本题考查直线方程的求法,解题时要结合实际情况,准确地进行求解. 10.设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β.其中所有真命题的序号是 ④ . 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β,由面面平行的判定定理判断;

②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直,由线线的位置关系判断; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β,由线面垂直的条件进行判断; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β,由线面垂直的条件进行判断. 解答: 解:①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β,是一个错误命题,因为 m,n 不一 定相交; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直,是错误命题,因为两个不垂直 的平面中也存在互相垂直的两条直线; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β,是错误命题,因为对比面面垂直的性质定理知,少 了一个条件即 n?α; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β 是一个正确命题,因为两条平行线中的一条垂直于一个 平面,则它也垂直于另一个平面,再有两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直,则另一 个平面也与这条直线垂直. 故答案为④ 点评: 本题考查平面与平面之间的位置关系,解题的关键是有着较好的空间想像能力以及 对命题相关的定义与定理掌握得比较熟练.

11.如图所示,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 条曲线的交点连线也过焦点 F,则该椭圆的离心率为 ﹣1 .

2

的右焦点 F,且两

考点: 抛物线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设椭圆的左焦点为 F', 抛物线与椭圆在第一象限的交点为 A, 连接 AF', 可得 Rt△ AFF' 中,AF=FF'=p,从而 AF'= p,再根据椭圆的定义,可得 AF+AF'=2a=(1+ )p,最后用 椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率. 解答: 解:设椭圆的左焦点为 F',抛物线与椭圆在第一象限的交点为 A,连接 AF', ∴F( ,0) ,F'(﹣ ,0) ,可得焦距 FF'=p=2c, (c= 对抛物线方程 y =2px 令 x= ,得 y =p ,所以 AF=|yA|=p ∴Rt△ AFF'中,AF=FF'=p,可得 AF'= p 再根据椭圆的定义,可得 AF+AF'=2a=(1+ ∴该椭圆的离心率为 e= 故答案为: ﹣1 = =
2 2 2

为椭圆的半焦距)

)p, ﹣1

点评: 本题给出椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点,并且两曲线的通径合在一起,求椭圆 的离心率, 着重考查了椭圆的定义与简单几何性质和抛物线的标准方程等知识点, 属于中档 题.

12.已知

是(﹣∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范

围是 [ , ) .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题.

分析: 根据题意可得

,从而可求得 a 的取值范围.

解答: 解:∵f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的减函数,



解得 ≤a< .

故答案为:[ , ) . 点评: 本题考查函数单调性的性质,得到(3a﹣1)×1+4a≥a 是关键,也是难点,考查理解 与运算能力,属于基础题. 13.若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N 坐标为(3,3) ,则线段 MN 长度的最小值是 5﹣ . 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质得到 2b=a+c,整理后可得直线 ax+by+c=0 恒过 Q(1,﹣2) , 由条件得到 PM 与 QM 垂直得到 M 在以 PQ 为直径的圆上,利用中点坐标公式求出圆心 A 的坐标,利用两点间的距离公式求出此圆的半径 r 和|AN|,判断出点 N 与圆的位置关系,在 求出线段 MN 长度的最小值. 解答: 解:∵实数 a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c,即 a﹣2b+c=0, 可得动直线 ax+by+c=0 恒过 Q(1,﹣2) , ∵点 P(﹣1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M, ∴∠PMQ=90°,则 M 在以 PQ 为直径的圆上,
1

∴此圆的圆心 A 坐标为( 半径 r= |PQ|= = ,



) ,即 A(0,﹣1) ,

又 N(3,3) ,∴|AN|=

=5

,则点 N 在圆外,

则|MN|min=5﹣ , 故答案为:5﹣ . 点评: 本题考查了等差数列的性质,恒过定点的直线方程,圆周角定理,线段中点坐标公 式,以及两点间的距离公式,利用等差数列的性质得到 2b=a+c,即 a﹣2b+c=0 是解本题的 突破点. 14.已知函数 f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(e )<0 的 x 的取值范围为 (0,1) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求函数的导数,判断函数的单调性,求出不等式 f(x)<0 的解,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx, ∴函数的定义域为(0,+∞) , 函数的导数为 f′(x)=1﹣ = ,
x

由 f′(x)>0 得 x>e﹣1,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 0<x<e﹣1,此时函数单调递减, 在 x=e﹣1 时,函数取得极小值, ∵f(1)=0,f(e)=0, ∴不等式 f(x)<0 的解为 1<x<e, 则 f(e )<0 等价为 1<e <e, 即 0<x<1, 故答案为: (0,1) 点评: 本题主要考查不等式的求解,根据导数研究函数的单调性是解决本题的关键. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2015 春?淮安校级期中)已知命题 P:函数 y=loga(2x+1)在定义域上单调递 2 增;命题 Q:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立,若 P、Q 都是真 命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 先求出 P、Q 是真命题时,实数 a 的取值范围,结合 P、Q 都是真命题,求出两个范 围的交集,可得答案. 解答: 解∵命题 P 函数 y=loga(2x+1)在定义域上单调递增; ∴a>1…(4 分)
x x

又∵命题 Q 不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立; ∴a=2…(6 分) 或 ,…(10 分)

2

解得:﹣2<a<2 综上所述:﹣2<a≤2…(12 分) ∵P、Q 都是真命题, ∴a 的取值范围是 1<a≤2…(14 分) 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档. 16. (14 分) (2013?越秀区校级模拟)如图,在四棱锥 P‐ABCD 中,四边形 ABCD 为正方 形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.求证: (1)PB∥平面 AEC; (2)平面 PCD⊥平面 PAD.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 BD,AC 交于 O,连结 EO.可证出△ PBD 中,EO 是中位线,得 EO∥PB, 结合线面平行的判定定理,即可证出 PB∥平面 AEC; (2)由线面垂直的性质,证出 CD⊥PA.正方形 ABCD 中证出 AD⊥CD,结合 PA∩AD=A, 可得 CD⊥平面 PAD,最后根据面面垂直判定定理,即可证出平面 PAD⊥平面 PCD. 解答: 解: (1)连结 BD,AC 交于 O. ∵ABCD 是正方形,∴AO=OC,OC= AC 连结 EO,则 EO 是△ PBD 的中位线,可得 EO∥PB ∵EO?平面 AEC,PB?平面 AEC,∴PB∥平面 AEC (2)∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴CD⊥PA 又∵ABCD 是正方形,可得 AD⊥CD,且 PA∩AD=A ∴CD⊥平面 PAD ∵CD?平面 PCD,∴平面 PAD⊥平面 PCD

点评: 本题在四棱锥中证明线面平行,并且证明面面垂直.着重考查了三角形的中位线定 理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 17. (15 分) (2015 春?淮安校级期中)已知圆 M 的方程为 x +(y﹣2) =1,直线 l 的方程 为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 时,求直线 CD 的方程; (3)经过 A,P,M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标; 若不经过,请说明理由. 考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)设 P(2m,m) ,代入圆方程,解得 m,进而可知点 P 的坐标. (2)设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2) ,由圆心 M 到直线 CD 的距离求得 k,则直线方 程可得. (3)设 P(2m,m) ,MP 的中点 Q(m, ) ,因为 PA 是圆 M 的切线,进而可知经过 A,
2 2

P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆,进而得到该圆的方程,根据其方程是关 于 m 的恒等式,进而可求得 x 和 y,得到经过 A,P,M 三点的圆必过定点的坐标. 解答: 解:设 P(2m,m) ,由题可知 MP=2,所以(2m) +(m﹣2) =4, 解之得:m=0 或 m= , 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P( , ) . (2)设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2) ,易知 k 存在, 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 ,所以 ,
2 2

解得,k=﹣1 或 k=﹣ ,故所求直线 CD 的方程为:x+y﹣3=0 或 x+7y﹣9=0. (3)设 P(2m,m) ,MP 的中点 Q(m, ) ,

因为 PA 是圆 M 的切线,所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: (x﹣m) +(y﹣ ﹣1) =m +( ﹣1) , 化简得:x +y ﹣2y﹣m(2x+y﹣2)=0,此式是关于 m 的恒等式, 2 2 故 x +y ﹣2y=0 且(2x+y﹣2)=0,
2 2 2 2 2 2

解得



所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或( , ) .

点评: 本题主要考查了圆方程的综合运用.解题的关键是对圆性质的熟练掌握. 18. (15 分) (2015 春?淮安校级期中)现有一个以 OA、OB 为半径的扇形池塘,在 OA、 OB 上分别取点 C、D,作 DE∥OA、 CF∥OB 交弧 AB 于点 E、F,且 BD=AC,现用渔网沿着 DE、EO、OF、FC 将池塘分成 如图所示的三种的养殖区域.若 OA=1km, , .

(1)求区域Ⅱ的总面积; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是 15 万元、20 万元、10 万元,记 年总收入为 y 万元. 试问当 θ 为多少时,年总收入最大?

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 导数的综合应用;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积; (2)建立三角函数关系式,求函数的导数,利用导数研究函数的最值即可. 解答: 解: (1)因为 BD=AC,OB=OA,所以 OD=OC. 因为 ,DE∥OA,CF∥OB,

所以 DE⊥OB,CF⊥OA. 又因为 OE=OF,所以 Rt△ ODE≌Rt△ OCF. 所以 所以 所以 所以 (2)因为 所以 所以 = ,…(10 分) , , . . …(2 分) . , . …(6 分)

所以 令 y'=0,则 当 故当 答:当 θ 为

, . …(12 分) 时,y'>0,当 时,y 有最大值. 时,年总收入最大.…(15 分) 时,y'<0.

点评: 本题主要考查三角函数的应用问题,根据条件建立三角关系是解决本题的关键.

19. (16 分) (2015 春?淮安校级期中)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

+

=1

(a>b>0)过点(1,

) ,其左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为



(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 A、B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,动点 M 满足 MB⊥AB,且 MA 交椭圆 E 于点 P. (i)求证: ? 为定值;

(ii)设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q,问:直线 MQ 是否过定点,并说明理由. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意的离心率公式和点满足题意方程,结合椭圆的 a,b,c 的关系,可得 a, b,进而得到椭圆方程; (2) (i)设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,求得直线 MA 的方程,代入椭圆方程,解得点 P 的 坐标,再由向量的数量积的坐标表示,计算即可得证; (ii)直线 MQ 过定点 O(0,0) .先求得 PB 的斜率,再由圆的性质可得 MQ⊥PB,求出 MQ 的斜率,再求直线 MQ 的方程,即可得到定点.

解答: 解: (1)由题意可得

且 a ﹣b =c ,

2

2

2

解得 a=2,b= 即有椭圆方程为

, + =1;

(2) (i)证明:由 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,MB⊥AB, 设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,

可得 MA:y=

x+



代入椭圆方程可得, (1+

)x +

2

x+

﹣4=0,

由﹣2x1=

,可得 x1=﹣



y1═

x1+

=





?

=﹣

+

?y0=4 为定值;

(ii)直线 MQ 过定点 O(0,0) . 理由如下:由题意可得 kPB= = ?

=﹣



由 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q, 可得 MQ⊥PB,即有 kMQ= .

则直线 MQ:y﹣y0=

(x﹣2) ,

即 y=

x,

故直线 MQ 过定点 O(0,0) . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,注意联立 直线方程和椭圆方程, 运用韦达定理, 同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置 关系,属于中档题. 20. (16 分) (2014?徐州模拟)已知函数 f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0. (1)当 a=﹣ ,c= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 c= +1 时,若 f(x)≥ 对 x∈(c,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)设函数 f(x)的图象在点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) )两处的切线分别为 l1、l2.若 x1= ,x2=c,且 l1⊥l2,求实数 c 的最小值.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系,即可求 f(x)的单调区 间; (2)若 f(x)≥ 对 x∈(c,+∞)恒成立,则只需求出 f(x)的最小值即可; (3)由 l1⊥l2 知, ,得到 ,分类讨论,

再由导数与单调性的关系,即可得到实数 c 的最小值. 解答: 解:函数 ,求导得



(1)当



时,





,则

恒成立,所以 f(x)在 ,令 f′(x)=0,解得 上单调减; 上单调增. ,单调增区间是 ,而 . 或

上单调减;

若 当 当

,则 时,f′(x)<0,f(x)在 时,f′(x)>0,f(x)在

(舍) ,

所以函数 f(x)的单调减区间是 (2)当 x>c, 时,

,所以

当 c<x<1 时,f′(x)<0,f(x)在(c,1)上单调减; 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调增. 所以函数 f(x)在(c,+∞)上的最小值为 ,

所以 又由

恒成立,解得 a≤﹣1 或 a≥1, ,得 a>﹣2,所以实数 a 的取值范围是(﹣2,﹣1]. ,而 , ,则

(3)由 l1⊥l2 知,



,则

,所以



解得

,不符合题意;



,则



整理得,

,由 c>0 得,





,则

,t>2,所以



设 当 当

,则 时,g′(t)<0,g(t)在 时,g′(t)>0,g(t)在

, 上单调减; 上单调增. ,故实数 c 的最小值为 .

所以,函数 g(t)的最小值为

点评: 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及不等式恒成立问题,将不等式恒 成立转化为求函数的最值是解决本题的关键.


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