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北京101中2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年北京 101 中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,共 40 分. 1.下列四个选项表示的集合中,有一个集合不同于另三个集合,这个集合是( A.{x|x=0} B.{a|a2=0} C.{a=0} D.{0} 2.函数 y=f(x)的定义域为[1,5],则函数 y=f(2x﹣1)的定义域是( ) A.[1,5] B.[2,10] C.[1,9] D.[1,3] 3.下列四组函数,表示同一函数的是( ) A.f(x)= ,g(x)=x



B.f(x)=x,g(x)= C.f(x)= ,g(x)=

D. (x)=|x+1|,g(x)= 4.如图是函数 y=f(x)的图象,f(f(2) )的值为( )

A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知函数 f(x)=3x+x﹣5,用二分法求方程 3x+x﹣5=0 在 x∈(0,2)内近似解的过程中, 取区间中点 x0=1,那么下一个有根区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2)或(0,1)都可以 D.不能确定 6.函数 f(x)=4x2﹣ax﹣8 在区间(4,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤32 B.a≥32 C.a≥16 D.a≤16 7.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, ,则 f(﹣1)=( )

A.﹣2 B.0 C.1 D.2 8.定义区间(a,b) 、[a,b) 、 (a,b]、[a,b]的长度均为 d=b﹣a,用[x]表示不超过 x 的最 [3.2 =3 [ 2.3 = 大整数,例如 ] , ﹣ ] ﹣3.记{x}=x﹣[x],设 f(x)=[x]?{x},g(x)=x﹣1,若 用 d 表示不等式 f(x)<g(x)解集区间长度,则当 0≤x≤3 时有( ) A.d=1 B.d=2 C.d=3 D.d=4 二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分.
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9.若 f(2x)=3x2+1,则函数 f(4)= 10.求值:2 ﹣( ) +lg +(

. ﹣1)lg1= . .

11.设函数 y=f(x+2)是奇函数,且 x∈(0,2)时,f(x)=2x,则 f(3.5)= 12.函数 f(x)=3x 的值域是 .

13.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x﹣1)<f(1)的 x 的取 值范围是 . 14.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x) 为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,A 中至多有一个元素与之对应; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中正确的是 . (写出所有正确的编号) 三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分. 15.已知集合 A={x|3≤x<7},B={2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; 2 C A ( )若 ?( ∪B) ,求 a 的取值范围. 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,已知 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. (1)画出偶函数 f(x)的图象的草图,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当直线 y=k(k∈R)与函数 y=f(x)恰有 4 个交点时,求 k 的取值范围.

17.已知 g(x)=﹣x2﹣3,f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,函数 h(x)=g(x)+f(x)是奇函数. (1)求 a,c 的值; (2)当 x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值是 1,求 f(x)的解析式. 18.已知定义在 R 上的函数 是奇函数

(1)求 a,b 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用单调性定义证明; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t﹣2t2)+f(﹣k)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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2015-2016 学年北京 101 中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,共 40 分. 1.下列四个选项表示的集合中,有一个集合不同于另三个集合,这个集合是( ) 2 A.{x|x=0} B.{a|a =0} C.{a=0} D.{0} 【考点】集合的表示法. 【分析】对于 A,B,D 的元素都是实数,而 C 的元素是等式 a=0,不是实数,所以选 C. 【解答】解:通过观察得到:A,B,D 中的集合元素都是实数,而 C 中集合的元素不是实 数,是等式 a=0; ∴C 中的集合不同于另外 3 个集合. 故选:C. 2.函数 y=f(x)的定义域为[1,5],则函数 y=f(2x﹣1)的定义域是( A.[1,5] B.[2,10] C.[1,9] D.[1,3] )

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据 y=f(x)的定义域,得出 y=f(2x﹣1)中 2x﹣1 的取值范围,从而求出 x 的 取值范围即可. 【解答】解:∵y=f(x)的定义域为[1,5], ∴1≤x≤5, ∴1≤2x﹣1≤5, 即 1≤x≤3, ∴y=f(2x﹣1)的定义域是[1,3]. 故选:D. 3.下列四组函数,表示同一函数的是( A.f(x)= ,g(x)=x )

B.f(x)=x,g(x)= C.f(x)= ,g(x)=

D. (x)=|x+1|,g(x)= 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【分析】观察 A 选项两者的定义域相同,但是对应法则不同,B 选项两个函数的定义域不 同,C 选项两个函数的定义域不同,这样只有 D 选项是同一函数. 【解答】解:A 选项两者的定义域相同,但是 f(x)=|x|,对应法则不同, B 选项两个函数的定义域不同,f(x)的定义域是 R,g(x)的定义域是{x|x≠0} C 选项两个函数的定义域不同,f(x)的定义域是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) g(x)的定义域是(2,+∞)
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D 选项根据绝对值的意义,把函数 f(x)整理成 g(x) ,两个函数的三个要素都相同, 故选 D. 4.如图是函数 y=f(x)的图象,f(f(2) )的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】函数的值. 【分析】当 0≤x≤3 时,根据 y=f(x)=2x 求得 f(2)=4.当 3<x≤9 时,根据 f(x)=9﹣x, 求得 f( f(2) )=f(4)的值. 【解答】解:由图象可得,当 0≤x≤3 时,y=f(x)=2x,∴f(2)=4. 当 3<x≤9 时,由 y﹣0= ﹣4=5, 故选 C. 5.已知函数 f(x)=3x+x﹣5,用二分法求方程 3x+x﹣5=0 在 x∈(0,2)内近似解的过程中, 取区间中点 x0=1,那么下一个有根区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2)或(0,1)都可以 D.不能确定 【考点】二分法的定义. 【分析】方程的实根就是对应函数 f(x)的零点,由 f(2)>0,f(1)<0 知,f(x)零 点所在的区间为(1,2) . f x =3 【解答】解:∵ ( ) x+x﹣5, ∴f(1)=3+1﹣5<0,f(2)=9+2﹣5>0, ∴f(x)零点所在的区间为(1,2) ∴方程 3x+x﹣5=0 有根的区间是(1,2) , 故选:B. 6.函数 f(x)=4x2﹣ax﹣8 在区间(4,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≤32 B.a≥32 C.a≥16 D.a≤16 【考点】二次函数的性质. 【分析】先求出函数的对称轴,结合二次函数的性质得到不等式,解出即可. 【解答】解:∵f(x)=4x2﹣ax﹣8 在区间(4,+∞)上为增函数, ∴对称轴 x= ≤4,解得:a≤32, 故选:A. ) (x﹣9) ,可得 y=f(x)=9﹣x,故 f( f(2) )=f(4)=9

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7.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B.0 C.1 D.2

,则 f(﹣1)=(



【考点】函数的值. 【分析】利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1) ,即可求得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)=x2+ , ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 故选 A. 8.定义区间(a,b) 、[a,b) 、 (a,b]、[a,b]的长度均为 d=b﹣a,用[x]表示不超过 x 的最 大整数,例如[3.2]=3,[﹣2.3]=﹣3.记{x}=x﹣[x],设 f(x)=[x]?{x},g(x)=x﹣1,若 用 d 表示不等式 f(x)<g(x)解集区间长度,则当 0≤x≤3 时有( ) A.d=1 B.d=2 C.d=3 D.d=4 【考点】其他不等式的解法. 【分析】先化简 f(x)=[x]?{x}=[x]?(x﹣[x])=[x]x﹣[x]2,再化简 f(x)<(x) ,再分类 讨论:①当 x∈[0,1)时,②当 x∈[1,2)时③当 x∈[2,3]时,求出 f(x)<g(x)在 0≤x≤3 时的解集的长度. 【解答】解:f(x)=[x]?{x}=[x]?(x﹣[x])=[x]x﹣[x]2,g(x)=x﹣1 f(x)<g(x)?[x]x﹣[x]2<x﹣1 即([x]﹣1)x<[x]2﹣1 当 x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为 x>1,∴x∈?; 当 x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为 0>0,∴x∈?; 当 x∈[2,3]时,[x]﹣1>0,上式可化为 x<[x]+1,∴x∈[2,3]; ∴f(x)<g(x)在 0≤x≤3 时的解集为[2,3],故 d=1, 故选:A. 二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分. 9.若 f(2x)=3x2+1,则函数 f(4)= 13 . 【考点】函数的值. 【分析】由 2x=4 得 x=2,代入解析式即可得到结论. 【解答】解:∵f(2x)=3x2+1, ∴由 2x=4 得 x=2, 即 f(4)=f(2×2)=3×22+1=12+1=13, 故答案为:13. ﹣1)lg1= ﹣3 .

10.求值:2

﹣(



+lg

+(

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解. 【解答】解:2 = ﹣[( )3] ﹣( ﹣2+( ) )0 +lg +( ﹣1)lg1

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= ﹣ ﹣2+1 =﹣3. 故答案为:﹣3. 11.设函数 y=f(x+2)是奇函数,且 x∈(0,2)时,f(x)=2x,则 f(3.5)= ﹣1 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由 x∈(0,2)时,f(x)=2x,可得 f(0.5)=1.由于函数 y=f(x+2)是奇函数, 可得 f(﹣x+2)=﹣f(x+2) ,即可得出. x 0 2 【解答】解:∵ ∈( , )时,f(x)=2x, ∴f(0.5)=1. ∵函数 y=f(x+2)是奇函数, ∴f(﹣x+2)=﹣f(x+2) , ∴f(3.5)=﹣f(﹣1.5+2)=﹣f(0.5)=﹣1. 故答案为:﹣1.

12.函数 f(x)=3x

的值域是 [0,+∞) .

【考点】函数的值域. 【分析】化分数指数幂为根式,再由 x2≥0 求得原函数的值域. 【解答】解:f(x)=3x ∵x2≥0, ∴ , 的值域是[0,+∞) . = ,

则函数 f(x)=3x

故答案为:[0,+∞) . 13.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x﹣1)<f(1)的 x 的取 值范围是 (0,1) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】由 f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,便可由 f(2x﹣1)<f(1)得出|2x ﹣1|<1,解该绝对值不等式便可得出 x 的取值范围. 【解答】解:f(x)为偶函数; ∴由 f(2x﹣1)<f(1)得,f(|2x﹣1|)<f(1) ; 又 f(x)在[0,+∞)上单调递增; ∴|2x﹣1|<1; 解得 0<x<1; ∴x 的取值范围是(0,1) . 故答案为: (0,1) . 14.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x) 为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:
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①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,A 中至多有一个元素与之对应; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中正确的是 ②③ . (写出所有正确的编号) 【考点】命题的真假判断与应用;函数的值. 【分析】在①中,举出反例得到函数 f(x)=x2(x∈R)不是单函数;在②中,由互为逆否 命题的两个命题等价判断正误;在③中,符合唯一的函数值对应唯一的自变量;在④中, 在某一区间单调并不一定在定义域内单调. 【解答】解:在①中,函数 f(x)=x2(x∈R) ,由 f(﹣1)=f(1) ,但﹣1≠1, 2 得到函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数,故①错误; 在②中,“x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2)”的逆否命题是“若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f (x2)时总有 x1=x2”. 互为逆否命题的两个命题等价.故②的逆否命题为真,故②正确; 在③中,符合唯一的函数值对应唯一的自变量, ∴若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,A 中至多有一个元素与之对应,故③正确; 在④中,在某一区间单调并不一定在定义域内单调,∴f(x)不一定是单函数,故④错误. 故答案为:②③. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分. 15.已知集合 A={x|3≤x<7},B={2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算. 【分析】 (1)在数轴上表示出集合 A,B,从而解得; (2)由题意分类讨论,从而求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵集合 A={x|3≤x<7},B={2<x<10}在数轴上表示可得:

故 A∪B={x|2<x<10},CRA={x|x<3,或 x≥7}(CRA)∩B={2<x<3,或 7≤x<10}; (2)依题意可知 ①当 C=?时,有 5﹣a≥a,得 ;

②当 C≠?时,有

,解得



综上所述,所求实数 a 的取值范围为(﹣∞,3]. 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,已知 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. (1)画出偶函数 f(x)的图象的草图,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当直线 y=k(k∈R)与函数 y=f(x)恰有 4 个交点时,求 k 的取值范围.
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【考点】二次函数的性质;函数奇偶性的性质. 【分析】 (1)根据已知条件画出函数 f(x)的图象,根据图象即可得到 f(x)的单调递增 区间; (2)通过图象即可得到 k 的取值范围. 【解答】解: (1)画出 f(x)的图象如下图:

由图象知,函数 f(x)单调递增区间为[﹣1,0],[1,+∞) ; 2 1 k 0 y=f x ( )由图象可知,当﹣ < < 时,直线与函数 ( )的图象的交点个数为 4; ∴k 的取值范围为(﹣1,0) . 17.已知 g(x)=﹣x2﹣3,f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,函数 h(x)=g(x)+f(x)是奇函数. (1)求 a,c 的值; (2)当 x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值是 1,求 f(x)的解析式. 【考点】函数奇偶性的性质;函数的最值及其几何意义. 【分析】 (1)法一:化简 h(x)=g(x)+f(x)=(a﹣1)x2+bx+c﹣3,由(a﹣1)x2﹣bx+c ﹣3=﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣c+3 对 x∈R 恒成立得到 ,从而求解,

法二:化简 h(x)=g(x)+f(x)=(a﹣1)x2+bx+c﹣3,由奇函数可得 a﹣1=0,c﹣3=0, 从而求解; (2)根据二次函数的性质,讨论对称轴所在的位置,从而确定 f(x)的最小值在何时取得, 从而求 f(x)的解析式.
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【解答】解: (1) (法一) :f(x)+g(x)=(a﹣1)x2+bx+c﹣3, 又 f(x)+g(x)为奇函数, ∴h(x)=﹣h(﹣x) , 2 ∴(a﹣1)x ﹣bx+c﹣3=﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣c+3 对 x∈R 恒成立, ∴ ,

解得



(法二) :h(x)=f(x)+g(x)=(a﹣1)x2+bx+c﹣3, ∵h(x)为奇函数, ∴a﹣1=0,c﹣3=0, ∴a=1,c=3. (2)f(x)=x2+bx+3,其图象对称轴为 当 ,即 b≥2 时, ,

f(x)min=f(﹣1)=4﹣b=1,∴b=3; 当 ,即﹣4≤b<2 时, , 解得 当 或 (舍) ;

,即 b<﹣4 时,

f(x)min=f(2)=7+2b=1,∴b=﹣3(舍) , ∴f(x)=x2+3x+3 或∴ .

18.已知定义在 R 上的函数

是奇函数

(1)求 a,b 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用单调性定义证明; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t﹣2t2)+f(﹣k)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. f x) 【分析】 (1) 由( 是定义在 R 上的奇函数, 知 , 故 b=1, ,

,由此能求出 a=b=1.

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(2)

,f(x)在 R 上是减函数.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,

=﹣

f x) , 由此能够证明 (

在 R 上是减函数. (3)不等式 f(t﹣2t2)+f(﹣k)>0,等价于 f(t﹣2t2)>f(k) ,由 f(x)是 R 上的减函 2 数,知 t﹣2t <k,由此能求出实数 k 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴ 解得 b=1, ∴ , ,

∴ ∴a?2x+1=a+2x,即 a(2x﹣1)=2x﹣1 对一切实数 x 都成立, ∴a=1, 故 a=b=1. (2)∵a=b=1, ∴ f(x)在 R 上是减函数. 证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2 则 ,

=﹣ ∵x1<x2, ∴ ,







∴f(x1)﹣f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) , ∴f(x)在 R 上是减函数, (3)∵不等式 f(t﹣2t2)+f(﹣k)>0, ∴f(t﹣2t2)>﹣f(﹣k) , 2 ∴f(t﹣2t )>f(k) , ∵f(x)是 R 上的减函数,
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∴t﹣2t2<k ∴ ∴ . 对 t∈R 恒成立,

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2016 年 5 月 7 日

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