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2019-2020学年高中数学最新学案 第3章 第10课时 基本不等式的证明(1)(教师版) 新人教A版必修5.doc

2019-2020 学年高中数学最新学案 第 3 章 第 10 课时 基本不等式的 证明(1) (教师版) 新人教 A 版必修 5
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算术平均数和几何平均数 内容及证法

基本不等式

几何解释

变形及证明其它不等式

学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相 等. 【课堂互动】

自学评价
1.算术平均数: 见书 2.几何平均数 见书 3.设 a≥0,b≥0 则

a+ b 与 ab 的关系为 2



4.基本不等式的证明方法: 比较法 分析法,综合法. 【精典范例】 例 1..设 a、b 为正数, 求证明:

a+ b ? 2

ab

见书(共有三个方法) .

点评: 1.不等式证明的方法:(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法 2.本题对 a≥0,b≥0时仍成立,且题中等号当且仅当 a=b 时成立. 3.把不等式

a+ b ? 2

ab (a≥0,b≥0)称为基本不等式

4.由本题可知,两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当两数相等时两者相 等 5.基本不等式的几何解释:半径不小于半弦. 例 2. 利用基本不等式证明下列不等式: (1) 已知 a>0,求证 a+

1 ? 2 a
2 2 2

(2).已知 a, b, c∈R , 求证: a +b +c ≥ab+bc+ac . (3).已知 x , y , z 是互不相等的正数, 且 x+y+z=1 , 求证: (

1 1 1 - 1)( - 1)( - 1) > 8 x y z

证明:因为题目简单,证略.

听课随笔

点评:1..基本不等式的变形公式: (1) a2 + b2 澄2ab(a, b (2) ab N

R)
R)

a 2 + b2 ( a, b 2

(3) a + b 澄2 ab (a, b (4) ab N(

R+ )
R+ )

a+ b 2 ) ( a, b 2

2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题,尤其是不等式两边均为三项,可将 一边变成六项,分成三组.对每一组用基本不等式. 【师生互动】 3.注意严格不等式的证明方法.

思维点拔:
学生质疑 1.上面两例在于:(1)揭示基本不等式的内容与证法. (2)举例说明利用基本不等式证 题的方法技巧,以让学生初步领会不等式证明的基本方法. 2.基本不等式的推广:n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.即

祝 an 若 ai≥0(i=1,2,…,n),则 n a1a2 鬃
追踪训练

a1 + a2 + 鬃 ? an 教师释疑 (n>1,n ? N) n

1.设P为正数,求下列各组数的算术平均数与几何平均数. (1)2与8 答案:5,4 (2)3与12 答案:7.5,6 (3)P与9P 答案:5p,3p (4)2与2 p
2

答案:p +1,2p

2

2.已知 a>1 求证 a+

1 ≥3 a- 1

略证.

3.已知 a+b+c=1,求证 a +b +c ≥
2 2 2

2

2

2

1 3

提示:只要证 3(a +b +c )≥1 即可.

4.已知 a , b , c 不全相等的三个正数, 且 abc=1 , 求证: 注意:利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立.

1 1 1 ? ? ? a? b? c a b c