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陕西省西安市高新一中2013届高三下学期第十一次大练习数学试题Word版含答案


2013 届高三第十一次大练习数学试题
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1. (理)复数 z ? A. 1 (文) sin A. 1
2009 ? 等于 4

1? i 等于 1? i

B. ?1

C. ?i

D. i

B. ?1

C.

2 2

D. ?

2 2

2.满足条件 {1, 2} M ? {1, 2,3} 的所有集合 M 的个数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

3.(理)函数 y ? ln x ? 1( x ? 0) 的反函数为 A. y ? ex ?1 ( x ? R) C. y ? e x ?1 ( x ? 1) B. y ? ex ?1 ( x ? R) D. y ? e x ?1 ( x ? 1)

(文)过点 P(?1, 2) 且方向向量是 a ? (?1, 2) 的直线方程是 A. 2 x ? y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

4.若 x ? (0,1), 则下列结论正确的是 A. 2 x ? x 2 ? lg x
1

B. 2 x ? lg x ? x 2

1

C. x 2 ? 2 x ? lg x

1

D. lg x ? x 2 ? 2 x

1

( x ? ? ) ( x ? R ,? ? 0, 0? ? ? 2 ? 的部分图 ) 5. 函 数 y ? s i n ?

象如图,则 A. ? ? , ? ?
2

?

?
4


?
4

B. ? ? ,? ?
3

?

?
6



C. ? ? ,? ?
4

?



D. ? ? , ? ?
2

?

5? 。 4

6.过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面,如果截面是等腰三角形,则侧面与底 面所成角的余弦值是 A.
1 3

B.

6 6

C.

3 2

D. 或

1 3

6 6

7.过点 P(4, 4) 且与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 只有一个交点的直线有 16 9

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

8.点 O 在 ?ABC 内,满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,那么 ?AOB 与 ?AOC 的面积之比是 A. 2 :1 B. 3: 2 C. 3:1 D. 5 : 3

9.从单词“education”中选取 5 个不同的字母排成一排,则含“at” ( “at”相连 且顺序不变)的概率为 A.
1 18 1 x

B.

1 378

C.

1 432

D.

1 756

10.设二项式 (33 x ? )n 的展开式的各项系数和为 p ,所有二项式系数的和是 s ,若
p ? s ? 272 ,则 n ?

A.6 11.已知函数 f ( x) ? ?

B.5
?a x ( x ? 0), ?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0)

C.4 满足对任意 x1 ? x2 ,都有

D.8
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立, x1 ? x2

则 a 的取值范围是 A. (0, ]
1 4

B. (0,1)

C. [ ,1)

1 4

D. (0,3)

12.集合 P 中的元素都是整数,并且满足条件:① P 中有正数,也有负数;② P 中 有奇数,也有偶数;③ ?1? P ;④若 x, y ? P ,则 x ? y ? P 。下面判断正确的是 A.
0 ? P, 2 ? P

B.

0 ? P, 2 ? P

C.

0 ? P, 2 ? P

D. 0 ? P , 2 ? P 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13.方程
| x| | y| ? ? 1 表示的曲线所围成区域的面积是 4 3



14 .对 2×2 数表定义平方运算如下:
? a b ? ? a b ? ? a b ? ? a 2 ? bc ab ? bd ? . ? ? ?? ??? ??? 2 ? ? c d ? ? c d ? ? c d ? ? ac ? cd bc ? d ?
2

则?

? ?1 2 ? ? ? ? 0 1?

2


y
P M

15.如图,从点 M ( x0 , 2) 发出的光线沿平行于抛物线 y 2 ? 4 x 对称 轴的方向射向此抛物线上的点 P ,反射后经焦点 F 又射向抛 物线上的点 Q ,再反射后沿平行于抛物线的对称轴的方向射 向直线 l : x ? 2 y ? 7 ? 0上的点 N ,再反射后又射回点 M ,则
o

x
Q N

l

x0 =

.
a1 ? a2 ? n ? an

16.若数列 {an } (n ? N ? ) 是等差数列,则数列 bn ?

也为等差数列,类比

上述性质,若数列 {cn } 是等比数列,且 cn ? 0(n ? N ? ) ,则有 dn ? ________也是等 比数列. 三、解答题 17. (本小题满 分 12 分) 已知向量 a ? ( 3sin? x, cos ? x), b ? (cos ? x, cos ? x) ,其中 ? ? 0 ,记函数 f ( x) ? a ? b ,已 知 f ( x) 的 最小正周期为 ? . (Ⅰ) 求 ? ; (Ⅱ)当 0 ? x ?
?
3

时,试求 f ( x) 的值域.

18. (本小题满分 12 分) 袋中装着标有数字 1,2,3 的小球各两个,从袋中任取两个小球,每个小球被取 出的可能性都相等. (Ⅰ)求取出的两个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ) (理)用 ? 表示取出的两个小球上的数字之和,求随机变量 ? 的分布列与数 学期望. (文)求取出的两个小球上的数字之和为 4 的概率;

19. (本小题满分 12 分) 如右图,将一副三角板拼接,使它们有公共边 BC ,且使两个三角板所在平面互 相垂直,若 ?BAC ? ?CBD ? 90? , AB ? AC , ?BDC ? 60? , BC ? 6 . (Ⅰ)求证:平面 ABD ? 平面 ACD . (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? B 的平面角的余弦值. (Ⅲ)求 B 到平面 ACD 的距离.
C B A

D

20(本小题满分 12 分) 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点分别是 F1 , F2 , P 是椭圆在第一象限的点,且满足 2 4

PF1 ? PF2 ? 1 ,过点 P 作倾斜角互补的两条直 PA, PB ,分别交椭圆于 A, B 两点.

(Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)求直线 AB 的斜率;

21. (本小题满分 12 分) (理)已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? kx(k ? R) (Ⅰ)若 k ? e 2 ,试确定函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,对于任意的 x ? R , f (| x |) ? g (| x |) 恒成立,求 k 的取值范围; (文)已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ? 时都取得极值. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若 f (?1) ? ,求 f ( x) 的单调区间和极值;
22. (本小题满分 14 分,文科只做Ⅰ,Ⅱ问,理科全做) 设对于任意 的实数 x, y ,函数 f ( x) , g ( x) 满足 f ( x ? 1) ?
g ( x ? y ) ? g ( x) ? 2 y , g (5) ? 13 , n ? N *

2 3

3 2

1 f ( x) ,且 f (0) ? 3 3

(Ⅰ)求数列 { f (n)} 和 {g (n)} 的通项公式;
n (Ⅱ)设 cn ? g[ f (n)] ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n 2

(Ⅲ)已知 lim
n ??

2n ? 3 ? 0 ,设 F (n) ? Sn ? 3n ,是否存在整数 m 和 M 。使得对任意正整数 n , 3n ?1

不等式 m ? F (n) ? M 恒成立?若存在,分别求出 m 和 M 的集合,并求出 M ? m 的最小值;若 不存在,请说明理由.

2013 届高三第十一次大练习数学试题答卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. , 14. . 15. . 16. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 1 2 分)已知向量 a ? ( 3sin? x, cos ? x), b ? (cos ? x, cos ? x) ,其中
? ? 0 ,记函数 f ( x) ? a ? b ,已知 f ( x) 的最小正周期为 ? .

(Ⅰ) 求 ? ; (Ⅱ)当 0 ? x ?

?
3

时,试求 f ( x) 的值域.

18. (本小题满分 12 分)袋中装着标有数字 1,2,3 的小球各两个,从袋中任取 两个小球,每个小球被取出的可能性都相等. (Ⅰ)求取出的两个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ) (理)用 ? 表示取出的两个小球上的数字之和,求随机变量 ? 的分布列与数 学期望. (文)求取出的两个小球上的数字之和为 4 的概率;

19. (本小题满分 12 分)如右图,将一副三角板拼接,使它们有公共边 BC ,且 使两个三角板所在平面互相垂直,若 ?BAC ? ?CBD ? 90? , AB ? AC , ?BDC ? 60? ,
BC ? 6 .

A

(Ⅰ)求证:平面 ABD ? 平面 ACD . (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? B 的平面角的余弦值.
C B

(Ⅲ)求 B 到平面 ACD 的距离.
D

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点分别是 F1 , F2 , P 是椭圆 2 4

在第一象限的点,且满足 PF1 ? PF2 ? 1 ,过点 P 作倾斜角互补的两条直 PA, PB ,分别 交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)求直线 AB 的斜率.

21. (本小题满分 12 分) (理)已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? kx(k ? R) (Ⅰ)若 k ? e 2 ,试确定函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,对于任意的 x ? R , f (| x |) ? g (| x |) 恒成立,求 k 的取值范围; (文)已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ? 时都取得极值. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若 f (?1) ? ,求 f ( x) 的单调区间和极值;
3 2

2 3

22. (本小题满分 14 分,文科只做Ⅰ,Ⅱ问,理科全做) 设对于任意的实数 x, y ,函数 f ( x) , g ( x) 满足 f ( x ? 1) ?
g ( x ? y ) ? g ( x) ? 2 y , g (5) ? 13 , n ? N *

1 f ( x) ,且 f (0) ? 3 3

(Ⅰ)求数列 { f (n)} 和 {g (n)} 的通项公式;
n (Ⅱ)设 cn ? g[ f (n)] ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n 2

(Ⅲ)已知 lim
n ??

2n ? 3 ? 0 ,设 F (n) ? Sn ? 3n ,是否存在整数 m 和 M 。使得对任意正整数 n , 3n ?1

不等式 m ? F (n) ? M 恒成立?若存在,分别求出 m 和 M 的集合,并求出 M ? m 的最小值;若 不存在,请说明理由.

2013 届高三第十一次大练习数学试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分)
题号 答案

1

2

3

4

5 C

6 D

7 D

8 B

9 A

10 C

11 A

12 C

D C D

B A A

二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13.24; 14. ?
?1 0? ?; ?0 1?

15.6;

17. n c1c2c3 cn

三、解答题(满分 74 分) 17(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)
f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x =

? 1 3 1 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) = sin(2? x ? ) ? . 6 2 2 2



? ? 0 ,∴

T ?? ?

2? 2? 2



∴ ? =1;
0? x?

(Ⅱ) 由(1),得 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 1 , ∵
6

?
3

, ∴

? ? 5? ? 2x ? ? 6 6 6

.



f ( x) 的值域 [1,

3 ] 2



18(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”为事件 A ,
2 从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C6 种, 其中取出的 2 个小球上的数

2 1 1 C2C2 种,∴ 字互不相同的方法有 C3

P ? A? ?

2 1 1 C3 C2C2 3 ? 2 ? 2 4 ? ? 2 C6 15 5


2

(Ⅱ) (理)由题意,? 所有可能的取值为:2,3,4,5,6. P ?? ? 2? ? C2 ? 2
C6 P ?? ? 3? ? CC 4 C ?C C 5 ? , P ?? ? 4 ? ? ? , 2 2 C6 15 C6 15
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

1 15

P ?? ? 5 ? ?

CC 4 C 1 ? , P ?? ? 6 ? ? ? . 2 C6 15 C 15

1 2

1 2

2 2 2 6

随机变量 ? 的概率分布列为
?

2
P
1 15

3
4 15

4
5 15

5
4 15

6
1 15

?

的数学期望 E? ? 2 ? 1

15

? 3?
2

4 5 4 1 ? 4? ? 5? ? 6? ? 4 . 15 15 15 15
1 1

2C2 (文) P ?? ? 4? ? C2 ? C ? 2

C6

5 , 15

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由于平面 ABC ? 平面 BCD ,且 BD ?BC ,那么 BD ? 平面 ABC ,而 AC ? 平面 则B ABC , D ? A C ???①, 又 AC ? AB ???②, BD 所以 AC ? 平 AB ? B ???③,

面 ABD ,又因为 AC ? 平面 ACD ,所以平面 ABD ? 平面 ACD ; (Ⅱ)取 BC 中点 E ,作 EF ? CD 于 F ,连 AE , AF ,则 AE ? 平面 BCD , ?AFE 为二面 角 A ? CD ? B 的平面角。
3 Rt?ABC 中, BC ? 6 ,则 AB ? AC ? 3 2 , AE ? 3 , EC ? 3 , EF ? 2

A



Rt?EFA 中, tan ?AFE ?

AE ?2 EF

∴二面角 A ? CD ? B 的正切值为 2; ( Ⅲ)作 BH ? AD 于 H ,则 BH ? 平面 ACD
Rt?ABD 中, BD ? 2 3 , AD ? 30

C
F

E
5 5

B

, BH ? AB ? BD ? 6
AD



D

即 B 到平面 ACD 的距离为 6 20. (本小题满分 12 分) 解:Ⅰ由于 F1 (0,

5 5



2) , F2 (0, ? 2) ,设 P ( x , y ) ,由 PF1 ? PF2 ? 1 得

(? x, 2 ? y) ? (? x, ? 2 ? y) ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 1 ,

那么 x 2 ? y 2 ? 3 ,与 x

2

2

?

y2 ? 1 联立得 P(1, 2) 4
y ? 2 ? k ( x ? 1) 代入椭圆

Ⅱ设 kPB ? k ,那么 k PA ? ? k ,其中 k ? 0 ,将直线 PB 的方程
x2 y 2 ? ? 1 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? k 2 ? 2 2k ? 2 ? 0 , 2 4

由于 xP xB ? k

2

? 2 2k ? 2 k2 ? 2

,而 xP ? 1 ,那么 xB ? k
y? 2

2

? 2 2k ? 2 k2 ? 2

将 直 线

PA

的 方 程

? k (? x 代 1? ) 入

椭 圆

x2 y 2 ? ?1 2 4



(k 2 ? 2) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? k 2 ? 2 2k ? 2 ? 0 ,

由于 xP xA ? k

2

? 2 2k ? 2 k2 ? 2
2

,而 xP ? 1 ,那么 xA ? k

2

? 2 2k ? 2 k2 ? 2

那么 xA ? xB ? k

? 2 2k ? 2 k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k ? ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k ?2
2k 2 ? 4 ?8k ? 2k ? 2 k2 ? 2 k ?2

y A ? yB ? ?k ( xA ? xB ) ? 2k ? ?k ?

,那么

k?

y A ? yb ? 2 xA ? xb

21.理(本小题满分 12 分) 解:Ⅰ当 k ? e 2 时,设 h( x) ?
h?( x) ? e x ? e 2 ? 0 ,则 x ? 2 f ( x) ? g ( x) ? e x ? xe 2 ,

当 x ? (??, 2) 时, h?( x ) ? 0 ,则函数 h ( x ) 是单调增函数 ; 当 x ? (2, ?? ) 时, h?( x ) ? 0 ,则函数 h ( x ) 是单调减函数; Ⅱ设 w( x) ?
f (| x |) ? g (| x |) ? e| x| ? | x | k ,由于函数 w( x)

是偶函数,那么要使

f (| x |) ? g (| x |) ,

只需要 w( x) ? 0 在 x ? 0 时成立即可;
ex ? 1 , 当 x ? 0 时, 若 0 ? k ?1 , 那么 w?( x) ? e x ? k ? 0 , 函数 w( x) 单调递增,w( x) ? w(0) ? 1 ? 0 ,

所以 0 ? k ? 1 ???① 当 x ? 0 时,令 w?( x) ? e x ? k ? 0 ,则 x ? ln k ( k ? e x ? 1 )
x
w?( x )
w( x) (0,ln k )

* ,列表
(ln k , ?? )

ln k

减函数

0 最小值

+ 增函数

则 w( x)min ? w(ln k ) ? k ? k ln k ,解 k ? k ln k ? 0 ,则 k ? e ,结合*式得 1 ? k ? e ???②

综上所述,当 0 ? k ? e 时, f (| x |) ? g (| x |) 恒成立。 21.文(本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 由题设 x ? 1 与 x ? ? 2 为 f ?( x ) ? 0 的解.
3 2 2 ? a ?1? 3 3

, b ? 1? (? 2 ) .∴ a ? ? 1 , b ? ?2 .
3 3 2 2 2 2

(2) f ( x) ? x3 ? 1 x 2 ? 2 x ? c ,由 f (?1) ? ?1 ? 1 ? 2 ? c ? 3 , c ? 1 . ∴ f ( x) ? x 3 ? 1 x 2 ? 2 x ? 1 .
2

x
f ?( x )
f ( x)

2 ( ??, ? ) 3

?

2 3

2 ( ? ,1) 3

1

(1, ?? )

+ 增函数
3

0 最大值

- 减函数

0 最小值
3

+ 增函数

∴ f ( x) 的递增区间为 (??, ? 2 ) ,及 (1, ?? ) ,递减区间为 ( ? 2 ,1) . 当 x ? ? 2 时, f ( x) 有极大值, f (? 2 ) ? 49 ;当 x ? 1 时, f ( x) 有极小值, f (1) ? ? 1 .
3 3 27 2

22.理(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)取 x ? n ,得 f (n ? 1) ? f (n) ,取 x ? 0 , f (1) ? f (0) ? 1 故数列 { f ( n )} 是首项是 1,公比为 的等比数列,所以 f (n) ? ( )n ?1 取 x ? n , y ? 1 ,得 g (n ?1) ? g(n) ?2( n ?N )* ,即 g (n ?1) ? g( n) 差数列,又 g (5) ? 13 ,所以 g (n) ? 13 ? 2( n ? 5) ? 2 n ? 3 (Ⅱ) cn ? g[ f (n)] ? g[ ( )n ?1 ] ? n( )n ?1 ? 3
Sn ? c1 ? c2 ? 1 1 1 ? cn ? 1 ? 2( ) ? 3( )2 ? 4( )3 ? 3 3 3 1 1 ? (n ? 1)( ) n ? 2 ? n( ) n ?1 ? 3n 3 3 n 2 n 1 2 3 1 3
?2

1 3

1 3

1 3

1 3

,故数列 { g ( n )} 是公差为 2 的等

1 1 1 1 Sn ? ? 2( )2 ? 3( )3 ? 3 3 3 3

1 1 ? (n ? 1)( )n ?1 ? n( ) n ? n ,两式相减得 3 3

2 1 1 1 S n ? 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? 3 3 3 3
9 Sn ? [ ? 1 4
n

1 1 ? ( )n 1 n ?1 1 n 3 ? n( 1 )n ? 2n ? 3 [1 ? ( 1 )n ] ? n( 1 )n ? 2n ? ( ) ? n( ) ? 2n ? 1 3 3 3 2 3 3 1? 3
?1





1 n ? ( 3

3 1 n? 9 ? ) n n ?] ? n ? ( ?) 2 3 4

3

n

2 4

3

3 3

1

(

)

(Ⅲ) F (n) ? Sn ? 3n ? ?

9 4

2n ? 3 1 n ?1 2n ? 3 1 n ?1 2n ? 5 1 n 1 ? ( ) , F (n ? 1) ? F (n) ? ( ) ? ( ) ? (n ? 1)( ) n ? 0 4 3 4 3 4 3 3

所以 F (n) 是增函数,那么 F (n)min ? F (1) ? 1 由于 n lim ??
2n ? 3 9 2n ? 3 1 n ?1 9 9 ? 0 ,则 lim F (n) ? ,由于 ( ) ? 0 ,则 F ( n) ? ,所以 1 ? F (n) ? n ?? 3n ?1 4 4 3 4 4
9 4
, M ? 3, 4,5, },M

因此当 m ? 1 且 M ? 时, m ? F (n) ? M 恒成立,所 以存在正数 m ? 0, ?1, ?2,

, 的

使得对任意的正整数 n ,不等式 m ? F (n) ? M 恒成立.此时, m 的集合是 {0, ?1, ?2, } , ( M ? m) min ? 3 集合是 {3, 4,5,


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