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河北省正定中学2016届高三数学上学期第六次月考(期末)试题


2015—2016 学年高三第一学期期末考试 数 学 试 题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x ? 3} , N ? {x | x ? ?1} ,全集 U ? R ,则 ?U (M ? N ) ? A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | x ? ?1或x ? 3}

2.已知

z ? 1 ? i ,则复数 z 在复平面上对应点位于 3?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

4.等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 40, a3 ? a4 ? 60, a7 ? a8 ? A.135 5 . 设 B.100 函 数 C.95 D.80 , 则
2
正视图

5

5

5

?1 ? lg(2 ? x), x ? 1 f ( x) ? ? x?1 ?10 , x ? 1

2 4

侧视图

2

f (?98) ? f (lg30) ?
A.5 B.6 C.9 D.22

2 2
俯视图

6.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 A.4 B. 4 2 C. 4 3 D.8

7.过三点 A(1, 2) , B (3, ?2) , C (11, 2) 的圆交 x 轴于 M , N 两点,则 | MN |? A. 3 6 B. 4 6 C. 21 D. 2 21

1

8. 根据如图所示程序框图,若输入 m ? 42 , n ? 30 ,则输出 m 的值为 A.0 B.3 C.6 D.12

9 .球 O 半径为 R ? 13 ,球面上有三点 A 、 B 、 C , AB ? 12 3 ,

AC ? BC ? 12 ,则四面体 OABC 的体积是
A. 60 3 B. 50 3 C. 60 6 D. 50 6

10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中 正确的是

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 11.已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右顶点为 A, B ,点 M 在 E 上,?ABM 为等 a 2 b2
2

腰三角形,且顶角 ? 满足 cos ? ? ? ,则 E 的离心率为 A. 5 B. 2 C. 3 D. 2

1 3

12.设函数 f '( x) 是偶函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的唯一零点为 2 , 并且当 x ? (?1,1) 时, xf '( x) ? f ( x) ? 0 .则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 A. (?2, 0) ? (0, 2) B. (??, ?2) ? (2, ??) C.(-1,1) D. (?2, 2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设向量 a , b 是相互垂直的单位向量,向量 ? a ? b 与 a -2b 垂直,则实数 ? ? ______.

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为_______. ?x ? y ? 2 ? 0 ?
15.已知对任意实数 x ,有 (m ? x)(1 ? x)6 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? a7 x7 . 若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? 32 ,则 m ? _______.

2Sn 2 16 . 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1,an ? , 其 中 Sn 为 {an } 的 前 n 项 和 , 则 ( n ? 2) 2Sn ? 1
S2016 ? _______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a sin A sin B ? b cos A ?
2

5 a. 3

(I)求

b ; a
2 2

(II)若 c ? a ? b ,求角 C .
2

8 5

3

18.(本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , AC ? BC ? 中点, DC1 ? BD . (I)证明: DC1 ? BC ;
A1

1 AA1 , D 是棱 AA1 的 2
C1 B1

P ,求点 P 到平面 BDC1 的距 ( II )设 AA 1B 1 的中点为 1 ?2, A
离.

D

C

B

A

19. (本小题满分 12 分) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中随 机抽取一个容量为 8 的样本进行分析. (Ⅰ) 如果按性别比例分层抽样, 可以得到多少个不同的样本? (只要求写出计算式即可, 不必计算出结果) (Ⅱ)随机抽取 8 位,他们的数学分数从小到大排序是:60,65,70,75,80,85,90,95,物 理分数从小到大排序是:72,77,80,84,88,90,93,95. (i)若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀,求这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物 理分数均为优秀的概率; (ii)若这 8 位同学的数学、物理分数事实上对应如下表: 学生编号 数学分数 x 物理分数 y 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

4

根据上表数据, 用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关 关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如 果不具有线性相关性,请说明理由.

参考公式:相关系数 r ?

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? (x
i ?1
n

n

;回归直线的方程是: ? y ? bx ? a ,

i

? x)2 ? ( yi ? y) 2
i ?1

其中对应的回归估计值 b ?

? (x
i ?1 n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x
i ?1

? x)

2

, a ? y ? bx , ? yi 是与 xi 对应的回归估计值.

参考数据: x ? 77.5, y ? 84.875,
8

?(x
i ?1

8

i

? x) ? 1050, ? ( yi ? y) ? 457,
i ?1

2

8

2

? (x
i ?1

i

? x)( yi ? y) ? 688, 1050 ? 32.4, 457 ? 21.4, 550 ? 23.5.

20.(本小题满分 12 分) 已知 P 是圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 上的动点, P 在 x 轴上的射影为 P ' ,点 M 满足 PM ? MP ' , 当 P 在圆 C 上运动时,点 M 形成的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)经过点 A(0, 2) 的直线 l 与曲线 E 相交于点 C , D ,并且 AC ? 程.

???? ?

?????

????

3 ???? AD ,求直线 l 的方 5

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) . x

(I)求函数 f ( x ) 的图象在点 x ? 1 处的切线的斜率;
5

(II)若当 x ? 0 时, f ( x ) ?

k 恒成立,求正整数 k 的最大值. x ?1

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 22. (本小题满分 10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABDC 内接于圆,过 B 作腰 AC 的平行线 BE 交圆于 F ,过 A 点的切线 交 DC 的延长线于 P, PC ? ED ? 1, PA ? 2 . (I)求 AC 的长; (II)求证: BE ? EF .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos? (t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? 1 ? t sin?

? sin 2 ? ? 4cos? .
(I)求曲线 C 的直角坐标方程; ( II ) 设 点 P 的 直 角 坐 标 为 P(2,1) , 直 线 l 与 曲 线 C 相 交 于 A 、 B 两 点 , 并 且

| PA | ? | PB |?

28 ,求 tan ? 的值. 3

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

5 | ? | x ? a |, x ? R . 2
1 时,不等式 ln f ( x) ? 1 成立. 2
6

(I)求证:当 a ? ?

(II)关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值. 数学期末答案 一、选择题:DDDAB 二、填空题: 13.2 三、解答题: 17. 【解析】 (I)由正弦定理得, sin A sin B ? sin B cos A ?
2 2

ADCAD 14.2

CD 15.0 16.

1 4031

5 sin A ??????3 分 3

5 sin A 3 5 b 5 故 sin B ? sin A, 所以 ? . ??????6 分 3 a 3 8 2 8 2 2 2 2 2 (II)设 b ? 5t (t ? 0) ,则 a ? 3t ,于是 c ? a ? b ? 9t ? ? 25t ? 49t . 5 5 即 c ? 7t .??????9 分
即 sin B(sin A ? cos A) ?
2 2

由余弦定理得 cos C ? 所以 C ?

a 2 ? b2 ? c 2 9t 2 ? 25t 2 ? 49t 2 1 ? ?? . 2ab 2 ? 3t ? 5t 2

2? . ????..12 分 3

18. 【解析】 (1) 证明: 由题设知, 三棱柱的侧面为矩形.由于 D 为 AA1 的中点, 故 DC ? DC1 . 又 AC ?

1 AA1 ,可得 DC12 ? DC 2 ? CC12 ,所以 DC1 ? DC . 2

而 DC1 ? BD , DC ? BD ? D ,所以 DC1 ? 平面 BCD . 因为 BC ? 平面 BCD ,所以 DC1 ? BC. ??????4 分 (2)解:由(1)知 BC ? DC 1 ,且 BC ?CC 1 ,则 BC ? 平面 ACC1 A 1 ,所以 CA, CB, CC1 两 两垂直 . 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

??? ?

C ? xyz

.









z
C1 P A1 B1

1 1 B(0,1,0), D(1,0,1), C1 (0,0, 2), B1 (0,1, 2), P( , , 2) ,. 2 2 ???? ? ???? ? ???? 1 1 则 BD ? (1, ?1,1) , DC1 ? (?1,0,1) , PC1 ? (? , ? ,0) . 2 2

D C A

B

y7

x

设 m ? ( x, y, z ) 是平面 BDC1 的法向量,则

?? ?

?? ? ???? ?? ? ? ?x ? y ? z ? 0 ?m ? BD ? 0 ,即 ? ,可取 m ? (1,2,1) . ? ????? ? ?? ?? x ? z ? 0 ? ?m ? DC1 ? 0 ???? ? ?? ? PC1 ? m 6 设点 P 到平面 BDC1 的距离为 d ,则 d ?| .??????12 分 ?? ? |? 4 |m|
19. 【解析】 (1)应选女生 25 ?
5 3 .??????3 分 C25 C15

8 8 ? 5 位,男生 15 ? ? 3 位,可以得到不同的样本个数是 40 40

(2) (i)这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀,则需要先从物理的 4 个优
3 3 3 秀分数中选 3 个与数学优秀分数对应,种数是 C4 ) ,然后将剩下的 5 个数学分数和 A3 (或 A4 5 3 3 5 物理分数任意对应,种数是 A5 ,根据乘法原理,满足条件的种数是 C4 A3 A5 .这 8 位同学的物 8 理分数和数学分数分别对应的种数共有 A8 种.
3 3 5 C4 A3 A5 1 故所求的概率 P ? ? .??????6 分 8 14 A8

688 ? 0.99 .可以看出, 物理与数学成绩高度正相关. 32.4 ? 21.4 也可以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标做散点图如下:
(ii) 变量 y 与 x 的相关系数 r ? 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,故物理与数学成绩高度 正相关. ??????9 分 设 y 与 x 的线性回归方程是 y ? bx ? a ,根据所给数 据,可以计算出 b ?

?

688 ? 0.66 , 1050

a ? 84.875 ? 0.66 ? 77.5 ? 33.73 ,所以 y 与 x 的线
性回归方程是 y ? 0.66 x ? 33.73 .??????12 分 20. 【 解 析 】 ( I ) 设 M ( x, y ) , 则 P( x, 2 y )在 圆

?

y
P M P' O A

C : x ? y ? 4 上,所以 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,即
2 2

x

8

x2 ? y 2 ? 1 ???..4 分 4
(II)经检验,当直线 l ? x 轴时,题目条件不成立, 线 l 存 在 斜 率 . 设 直 线 l : y ? kx ? 2 . 设 所以直

y
A C O

C( x1, y1), D( x2 , y2 ) ,则

D

x

? x2 2 ? ? y ?1 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 .???6 分 ?4 ? y ? kx ? 2 ?

? ? (16k )2 ? 4(1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0 ,得 k 2 ?
x1 ? x2 ? ?

3 . 4

16k 12 ?.①, x1 x2 ? ??②. ?????8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ???? 3 ???? 3 3 2 2 又由 AC ? AD ,得 x1 ? x2 ,将它代入①,②得 k ? 1 , k ? ?1 (满足 k ? ). 5 4 5
所以直线 l 的斜率为 k ? ?1 .所以直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 ??????12 分

x -ln (x+1) 1 x+1 21. 【解析】 , ( 1) ? f ?(x)=- 2 + x x2

1 1 ? f ?(1)=-1+ - ln 2=-( + ln 2) ???3 分 2 2 k ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] ? k 对 x ? 0 恒成立. (2)当 x ? 0 时, f ( x ) ? 即 h( x ) ? x ?1 x
即 h( x) ( x ? 0 )的最小值大于 k .??5 分

h?( x) ?

x ? 1 ? ln( x ? 1) ,记 ? ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1)( x ? 0) x2
9

则 ? ?( x ) ?

x ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0,??) 上连续递增. ????7 分 x ?1

又 ? (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, ? (3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,所以 ? ( x) 存在唯一零点 x 0 ,且满足 x0 ? (2,3) ,

x0 ? 1 ? ln(x0 ? 1) .??????9 分
由 x ? x0 时, ? ( x) ? 0, h?( x) ? 0;0 ? x ? x0 时, ? ( x) ? 0 , h?( x) ? 0 知:

h( x) 的最小值为 h( x0 ) ?

( x0 ? 1)[1 ? ln(x0 ? 1)] ? x0 ? 1? (3,4) . x0

所以正整数 k 的最大值为 3. ????????12 分 22.【解析】 : (I)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 ,?2 分 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,

PC AC ,????4 分 ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 ????5 分 (II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 ????8 分 CE ? ED ? BE ? EF , 2 ?1 ????10 分 ? EF ? ? 2 ,?EF ? BE . 2

??PAC ∽?CBA,?

23.【解析】 (1)当 ? ? 0 时,将 ? ?

x 2 ? y 2 , sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ? y2
2

代入

? sin 2 ? ? 4cos? ,得 y 2 ? 4x . 经检验,极点的直角坐标 (0, 0) 也满足此式.
所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x. ??????..5 分
2

(II)将 ?

? x ? 2 ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ?

代入 y ? 4 x ,得 sin
2

2

? ? t 2 ? (2sin ? ? 4cos ? )t ? 7 ? 0 ,

7 28 ? ,?????????????????..8 分 2 sin ? 3 ? 2? 3 2 所以 sin ? ? , ? ? 或 ,即 tan ? ? 3 或 tan ? ? ? 3 .????10 分 3 3 4
所以 | t1t2 |?

10

1 ? ??2 x ? 2??????? x ? ? 2 ? 5 1 1 5 ? 24.【解析】(1)证明:由 f ( x ) ?| x ? | ? | x ? | ? ?3?????????????? ? x ? 2 2 2 2 ? 5 ? ?2 x ? 2???????? x ? 2 ?
得函数 f ( x) 的最小值为 3,从而 f ( x) ? 3 ? e ,所以 ln f ( x) ? 1 成立. ???..5 分

5 5 5 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |?| a ? | , 2 2 2 5 5 所以 f ( x) 最小值为 | ? a | ,从而 | ? a |? a , 2 2 5 5 解得 a ? ,因此 a 的最大值为 .????????????????..10 分 4 4
(2) 由绝对值的性质得 f ( x) ?| x ?

11


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