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2017届高考数学(理)一轮复习课件:第3章+第1节+变化率与导数、导数的计算(新人教A版)


考纲要求: 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2,y 1 =x ,y=x的导数.
3

4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求 简单函数的导数, 能求简单复合函数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复 合函数)的导数.

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 liΔm x→ 0 Δy = Δx
f?x0+Δx?-f?x0? liΔm x→ 0 Δx

为函数 y=f(x)在 x=x0

Δy 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)=liΔm x→0 Δx=
f?x0+Δx?-f?x0? liΔm x→ 0 Δx

.

(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x) 上点 P(x0,y0) 处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t)对 时间 t 的导数). 相应地, 切线方程为 (3)函数 f(x)的导函数
y-y0=f′(x0)· (x-x0)



f?x0+Δx?-f?x0? x→ 0 称函数 f′(x)= liΔm 为 f(x)的导函数. Δx

2.导数公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数

f(x)=c(c 为常数) f′(x)= f(x)=xn(n∈Q) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x f′(x)= f′(x)=

0
nxn-1

cos x

f′(x)= -sin x f′(x)= axlna f′(x)= f′(x)= f′(x)=
ex 1 xln a

1 x

(2)导数的运算法则 ①[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′ ( x) ; ②[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? ③? (g(x)≠0). ?′= [g?x?]2 ?g?x??

(3)复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间 的关系为 yx′=yu′· ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

[自我查验] 1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( ) ) )

(2)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值.( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
? (4)?sin ?

π? π ?′=cos .( 3? 3

) ) ) )
(7)√

?1? 1 (5)若(ln x)′=x,则?x?′=ln x.( ? ?

(6)函数 f(x)=sin (-x)的导数为 f′(x)=cos x.( (7)y=cos 3x 由函数 y=cos u,u=3x 复合而成.(
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)×

2.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

)

解析:选 C

∵y=sin x+ex,∴y′=cos x+ex,∴y′x

=0=cos 0+e0=2, ∴曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x- 0),即 2x-y+1=0.故选 C.

3.求下列函数的导数:
3 x -1 n x (1)y=x e ;(2)y= . sin x

答案:(1)y′=ex(nxn-1+xn). 3x2sin x-?x3-1?cos x (2)y′= . sin2x

[典题 1]

求下列函数的导数:
? ? x)?1+ ?

(1)y=(1-

1? ln x ? ; (2)y= x ; x? ?
x x x

ln?2x+3? (3)y=tan x; (4)y=3 e -2 +e; (5)y= 2 . x +1

1 x-ln x ?ln x? ?ln x?′x-x′ln x x· (2)y′ = ? x ? ′ = = = x2 x2 ? ? 1-ln x . x2
? sin x ? ?sin ? ? (3)y′= cos x ′= ? ?

x?′cos x-sin x?cos x?′ cos2x

cos xcos x-sin x?-sin x? 1 = = 2 . cos2x cos x

(4)y′ = (3xex)′ - (2x)′ + e′ = (3x)′ex + 3x(ex)′ - (2x)′ =3x(ln 3)· ex+3xex-2xln 2=(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. ?ln?2x+3??′?x2+1?-ln?2x+3??x2+1?′ (5)y′= ?x2+1?2 ?2x+3?′ 2 · ?x +1?-2xln?2x+3? 2x+3 = ?x2+1?2 2?x2+1?-2x?2x+3?ln?2x+3? = . ?2x+3??x2+1?2

导数的运算方法 (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较 为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导. (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式, 再求导. (6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.

[典题 2]

(1)(2015· 天津高考)已知函数 f(x)=axln x, x∈(0, +∞),

其中 a 为实数,f′(x)为 f(x)的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为 ________. 1 (2) 已知 f(x) = x2 + 2xf′(2 016) + 2 016ln x ,则 f′(2 016) = 2 ________.

[听前试做]

? (1)f′(x)=a?ln ?

1? ? x+x· x?=a(1+ln x).由于 f′(1)

=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3. 2 016 (2)由题意得 f′(x)=x+2f′(2 016)+ x , 2 016 所以 f′(2 016)=2 016+2f′(2 016)+ , 2 016 即 f′(2 016)=-(2 016+1)=-2 017.

答案:(1)3

(2)-2 017

在求导过程中,要仔细分析函数解析式的特点,紧扣法则, 记准公式,预防运算错误.

1.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1) 等于( ) B.-2 D.0
∵f(x)=ax4+bx2+c,

A.-1 C.2
解析:选 B

∴f′(x)=4ax3+2bx.又 f′(1)=2, ∴4a+2b=2, ∴f′(-1)=-4a-2b=-2.

2.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)· (x- a2)· ?· (x-a8),则 f′(0)的值为________.

解析:因为 f′(x)=x′· [(x-a1)(x-a2)· ?· (x-a8)]+[(x-a1)(x - a2)· ?· (x - a8)]′· x = (x - a1)· (x - a2)· ?· (x - a8) + [(x - a1)(x - a2)· ?· (x - a8)]′· x ,所以 f′(0) = (0 - a1)(0 - a2)· ?· (0 - a8) + 0 = a1a2· ?· a8.因为数列{an}为等比数列,所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8= 8,所以 f′(0)=84=212.
答案:212

导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选 择题、填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属 中低档题,且主要有以下几个命题角度: 角度一:求切线方程 [典题 3] (1)(2016· 唐山模拟)曲线 y=ex-ln x 在点(1,e) ) B.(1-e)x-y-1=0 D.(e-1)x-y-1=0

处的切线方程为(

A.(1-e)x-y+1=0 C.(e-1)x-y+1=0

1 (2)(2016· 雅安模拟)设曲线 y=e + ax 在点(0,1)处的切线与直线 2
x

x+2y-1=0 垂直,则实数 a=( A.3 C.2 B.1 D.0

)

(3)已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. ①求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; ②求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程.

1 [听前试做] (1)由于 y′=e-x,所以 y′x=1=e-1,故曲线 y =ex-ln x 在点(1, e)处的切线方程为 y-e=(e-1)(x-1), 即(e-1)x -y+1=0. (2)∵与直线 x+2y-1=0 垂直的直线斜率为 2, 1 ∴f′(0)=e0+ a=2,解得 a=2. 2 (3)①∵f′(x)=3x2-8x+5, ∴f′(2)=1,又 f(2)=-2, ∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2, 即 x-y-4=0.

2 ②设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4),

∵f′(x0)=3x2 0-8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),
2 又切线过点(x0,x3 - 4 x 0 0+5x0-4), 2 2 ∴x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2 =0.

答案:(1)C (2)C

角度二:求切点坐标 [典题 4] (2015· 陕西高考)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲 1 线 y=x(x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________.

[听前试做] y′=ex, 曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 1 1 k1=e =1,设 P(m,n),y=x(x>0)的导数为 y′=- 2(x>0), x
0

1 1 曲线 y=x(x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=- 2(m>0),因为两 m 切线垂直,所以 k1k2=-1,所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标 为(1,1).
答案:(1,1)

角度三:求参数的值 [典题 5] (1)若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交 )

点(0,m)处有公切线,则 a+b=( A.-1 C.1 B.0 D.2

(2)(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在 点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a=________. (3)(2015· 新课标全国卷Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切 线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________.

[听前试做] (1)∵两曲线的交点为(0,m),
? ?m=a, ∴? ? ?m=1,

即 a=1,

∴f(x)=cos x,∴f′(x)=-sin x,则 f′(0)=0,f(0)=1. 又 g′(x)=2x+b,∴g′(0)=b, ∴b=0,∴a+b=1. (2)∵f′(x)=3ax2+1,∴f′(1)=3a+1.又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1.

1 (3)法一:∵y=x+ln x,∴y′=1+x,y′x=1=2. ∴曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. ∵y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切, ∴a≠0(当 a=0 时曲线变为 y=2x+1 与已知直线平行).
? ?y=2x-1, 由? 2 ? ?y=ax +?a+2?x+1,

消去 y,得 ax2+ax+2=0.

由 Δ=a2-8a=0,解得 a=8.

法二:同法一得切线方程为 y=2x-1. 设 y=2x-1 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切于点(x0,ax2 0+ (a+2)x0+1).∵y′=2ax+(a+2), ∴y′x=x0=2ax0+(a+2).
? ?2ax0+?a+2?=2, 由? 2 ? ?ax0+?a+2?x0+1=2x0-1,

1 ? ?x0=- , 2 解得? ? ?a=8.

答案:(1)C (2)1 (3)8

(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线. 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0); 求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线 上求解.(如角度一) (2)已知斜率 k,求切点 A(x0,f(x0)),即解方程 f′(x0)=k.(如 角度二) (3) ①根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点 P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解. ②当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时, 则切线恒过 定点.(如角度三)

[方法技巧] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函 数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是一个常数,其导数一定为 0, 即(f(x0))′=0. 2. 对于函数求导, 一般要遵循先化简再求导的基本原则. 求 导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对 求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性, 避免不必要的运算失误. 3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期 函数的导数还是周期函数.

[易错防范] 1.曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0, y0)的切线”的区别:前者 P(x0,y0)为切点,而后者 P(x0,y0)不 一定为切点. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防 止与乘法公式混淆. 3.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线 只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线 的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点. 4.曲线未必在其切线的同侧,如曲线 y=x3 在其过(0,0)点的 切线 y=0 的两侧.


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