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山东省菏泽市2014-2015学年高一下期中考试数学试题及答案


2014—2015 学年度第二学期期中考试

高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 页至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若 cos ? ? 0 ,且 sin 2? ? 0 ,则角 ? 的终边所在象限是 A.一象限 B.二象限 C.三象限 D.四象限

2. 某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 l00 分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为 A.7 B.8 C .9 D.10
7? 4 3? 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 A. 0 ? x ? ? C. B. D.

?
4

?x? ?x?

?
4

?x?

5? 4

?
2

1? x ? ? 4 . 已知集合 A ? { x | 2x2 ? x? 3? 0}, B ? ? x | y? lg ? ,在区间 ( ? 3, 3) 上任取一 实数 x ,则 x ? 3? ?

“ x ? A B ”的概率为 A.
1 4

B.

1 8

C.

1 3

D.

1 12

5.若函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象(部分)如图 所示,则 ? 和 ? 的取值是 A. ? ? 1,? ?

?
3

B. ? ? 1,? ? ?

?
3

1 ? C. ? ? , ? ? 2 6

1 ? D. ? ? , ? ? ? 2 6

6. 对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表:

x y

2 20

4 40

5 60

6 70

8 80

根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.5 x ? a ,据此模型来预测当 x=20 时,y 的估计值为

A.210

B.210.5

C.211.5

D.212.5

7.总体编号为 01,02,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取 方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出 来的第 5 个个体的编号为 7816 3205 A.08 6572 9234 0802 4935 B.07 6314 8200 0702 3623 C.02 4369 4869 9728 6938 0198 7481

D.01

? ? 8.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), (| ? |? ) 向 左平移 个单位后是奇函数,则 6 2
? ?? 函数 f ( x) 在 ?0, ? 上的最小值为 ( ? 2?



3 3 1 1 B. ? C. D. 2 2 2 2 9.执行如图所示的程序框图.若输出 S=15, 则框图中

A. ?

① 处可以填入( A. k ? 2

) C. k ? 4 D. k ? 5

B. k ? 3

10. 函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1—50 号,并分组,第一组 1—5 号,第二组 6—10 号, ,第十组 46—50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为_______________的 学生.

? 1 12.已知 sin( ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) 的值为 2 3

.

13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数 是 .
5? 5? ,cos ) ,则角 ? 的 6 6

14.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 最小正值为_____________. 15.已知 sin ?

? ? 1 cos ? ? ,且 ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值 4 2 8

为___________ 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)化简
1 ? 2sin 40 cos 40 sin 40 ? 1 ? sin 40
2



(Ⅱ)求证:

1 ? sin 2? 1 ? tan ? . ? cos 2? 1 ? tan ?

17. (本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生, 将他 们的期中考试数学成绩(满分 100 分, 成绩均为不 低于 40 分的整数)分成六段:[40,50) ,[50,60) , …,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成 绩不低于 60 分的人数; (Ⅱ)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随 机抽取的 50 名学生中成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100]中选两位同学,共同帮 助[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分, 求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
2 ? cos(2 x ? ) 2 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的单调递减区间.

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A、B、C、D 四所需要面试的院 校,这四所院校 的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位 同学选择各个院校是等可能的,试求: (Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率; (Ⅱ)院校 A、B 至少有一所被选择的概率.

20. (本小题满分 13 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕 业生的测试成绩如茎叶图所示 (单位:分 ),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工 作;180 分以下者到“乙部门”工作. (Ⅰ)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“甲部门” 人选和“乙部门”人 选中共选取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有 一人是“甲部门”人选的概率是多少?

? ? 21.已知函数 ( ,其最小正周期为 . f x) ? sin (2? x ? ) 2 6
(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 8

? ?? (纵坐标不变) , 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 , 在区间 ?0, ? ? 2?

上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

2014—2015 学年度第二学期期中考试

高一数学试题参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分 DBCCC CDACA 二、填空题:每小题 5 分,共 25 分 11、37 12.
7 9

13、2 或 ?2 2
sin 40? ? cos 40? sin 40? ? cos 40?

14.

2? 3

15. ?

3 2

[来源:学科网 ZXXK]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.解: (Ⅰ)原式 ? ………………………………3 分

?

cos 40? ? sin 40? ……………………………………5 分 sin 40? ? cos 40? ? ?1 …………………………………… 6 分

(Ⅱ)证明:左 ?
? ?

(sin ? ? cos ? )2 ………………9 分 cos2 ? ? sin 2 ?
cos ? ? sin ? ………………………11 分 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? 右…… ……12 分 1 ? tan ?

17.解:(Ⅰ)根据频率分布直方图,

成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 ……………………3 分 由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计 该校高一年级数学 成绩不低于 60 分的人数为 1000 ? 0.86 ? 860 人 ………………………….6 分 (Ⅱ)成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人 ………………7 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人, …………………8 分 [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办 法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,ABE , AC D, ACE, ADE …………………………10 分 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E 所 以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ? 18. (本小题 12 分)
[来源:Zxxk.Com]

4 1 ? 20 5

…………12 分

?? 解:f(x)= ? 2 cos ? ? 2x ? ? 2 4? ?
函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? , …………………2 分

函数 f ( x) 的最大值为 (Ⅱ)由 2k? ? 2 x ?

2 2

……………………4 分 …………………… 6 分

? 2k ? ? ? , k ? z 4 ? 3? 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ? z 8 8
函数 f ( x) 的单调递减区间 [k? ? 又 19.

?

3? ], k ? z ……………………9 分 8 8 3? 7? x ? [0, ? ] ,则 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间为 [0, ] , [ , ? ] ………12 分 8 8 , k? ?

?

20.(本小题 13 分)

21. (本小题 14 分) 解:答案: (1)由题意知 f ( x) 的最小正周期 T ? 所以 ? ? 2 …………………3 分

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

? ?

??
? 6?

…………………6 分

(Ⅱ )将 f ( x) 的图象向右平移个

?
8

个单位后,得到 y ? sin( 4 x ?

?
3

) 的图象,再将所得图象所

有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?

?
3

) 的图象.

?
3

) …………………8 分

?
2

,所以 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? ………………10 分 3

? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解 , 即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2? ? ?? 上 有 且 只 有 一 个 交 点 , 由 正 弦 函 数 的 图 象 可 知 ? 3 ? ?k ? 3 或 0, ? ? 2? ? 2 2

?k ? 1 ……………………12 分
所以 ?

3 3 或 k ? ?1 ………………………14 分 ?k? 2 2


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