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江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期月考数学试卷(10月份) Word版含解析

江苏省扬州中学 2014-2015 学年高二上学期月考数学试卷(10 月份)
一、填空题:本大题共 14 个小题;每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)若直线 y=kx+1 与直线 2x+y﹣4=0 垂直,则 k=. 2. (5 分)若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,则 a 的值为. 3. (5 分)设 AA1 是正方体的一条棱,则这个正方体中与 AA1 垂直的棱共有条. 4. (5 分)直线 x+2y﹣1=0 右上方(不含边界)的平面区域用不等式表示. 5. (5 分)若一个球的体积为 ,则它的表面积为.
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6. (5 分)直线 a,b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则 a,b 位置关系是. 7. (5 分)将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的高 为. 8. (5 分)过点 C(3,4)且与 x 轴,y 轴都相切的两个圆的半径分别为 r1,r2,则 r1r2=. 9. (5 分)已知直线 kx﹣y+1=0 与圆 C:x +y =4 相交于 A,B 两点,若点 M 在圆 C 上,且 有 (O 为坐标原点) ,则实数 k=.
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10. (5 分)设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β.其中所有真命题的序号是. 11. (5 分)正三棱锥 P﹣ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45°,则点 A 到侧面 PBC 的距 离是. 12. (5 分)过圆 x +y =4 内一点 P(1,1)作两条相互垂直的弦 AC,BD,当 AC=BD 时, 四边形 ABCD 的面积为. 13. (5 分)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣1) =1 相 切,则 m+n 的取值范围是.
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14. (5 分)平面直角坐标系中,已知点 A(1,﹣2) ,B(4,0) ,P(a,1) ,N(a+1,1) , 当四边形 PABN 的周长最小时,过三点 A、P、N 的圆的圆心坐标是.

二、解答题:本大题共 6 小题,14+14+14+16+16+16=90 分. 15. (14 分)如图,在四面体 ABCD 中,AB=AC=DB=DC,点 E 是 BC 的中点,点 F 在线 段 AC 上,且 .

(1)若 EF∥平面 ABD,求实数 λ 的值; (2)求证:平面 BCD⊥平面 AED.

16. (14 分)已知:无论 a 取何值,直线(a+2)x+(a+1)y+a=0 始终平分半径为 2 的圆 C. (1)求圆 C 的标准方程; (2)过点 A(﹣1,4)作圆 C 的切线 l,求切线 l 的方程. 17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,BC∥平面 PAD, ∠PBC=90°,∠PBA≠90°.求证: (1)AD∥平面 PBC; (2)平面 PBC⊥平面 PAB.

18. (16 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

19. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x ﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1. (1)若过点 C1(﹣1,0)的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; (2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
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江苏省扬州中学 2014-2015 学年高二上学期月考数学试 卷(10 月份)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 个小题;每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)若直线 y=kx+1 与直线 2x+y﹣4=0 垂直,则 k= .

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 直线 y=kx+1 的斜率是 k, 直线 2x+y﹣4=0 的斜率是﹣2, 利用直线与直线垂直的关 系,能够求出 k. 解答: 解:直线 y=kx+1 的斜率是 k,直线 2x+y﹣4=0 的斜率是﹣2,

∵直线 y=kx+1 与直线 2x+y﹣4=0 垂直, ∴﹣2k=﹣1,k= . 故答案为: . 点评: 本题考查直线的一般方程与直线的垂直关系,是基础题.解题时要认真审题,仔细 解答. 2. (5 分)若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心,则 a 的值为 1. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的圆的一般式方程,求出圆的圆心,根据圆心在直线 3x+y+a=0 上,把圆 心的坐标代入直线的方程,得到关于 a 的方程,解方程即可. 2 2 解答: 解:∵圆 x +y +2x﹣4y=0 的圆心是(﹣1,2) 圆心在直线 3x+2y+a=0 上, ∴﹣3+2+a=0, ∴a=1 故答案为:1 点评: 本题考查圆的一般方程与点与直线的位置关系, 本题解题的关键是表示出圆心, 根 据圆心的位置,即可求解 3. (5 分)设 AA1 是正方体的一条棱,则这个正方体中与 AA1 垂直的棱共有 8 条. 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据正方体的性质,判定线面垂直,再根据线面垂直判断线线垂直. 解答: 解:∵AA1 垂直于上、下两底面, ∴位于上、下两底面中的 8 条棱都与 AA1 垂直,其余的棱与 AA1 平行, 故答案是 8. 点评: 本题考查空间中直线与直线的垂直关系的判定. 4. (5 分)直线 x+2y﹣1=0 右上方(不含边界)的平面区域用不等式 x+2y﹣1>0 表示. 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直线 ax+by+c=0(b≠0)两侧的区域用不等式 ax+by+c<0 或 ax+by+c>0 表示. 只看 b 的值,b>0 时“>”为上侧、“<”为下侧.而 b<0 时“>”为下侧、“<”为上侧. 解答: 解:∵y 的系数大于零, ∴要表示直线 x+2y﹣1=0 右上方(不含边界)的平面区域,需用“>”的不等式表示, ∴x+2y﹣1>0 故答案为:x+2y﹣1>0 点评: 本题主要考查用不等式表示平面区域,关键是记住 y 的系数与上下两侧的关系.
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5. (5 分)若一个球的体积为

,则它的表面积为 12π.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 有球的体积,就可以利用公式得到半径,再求解其面积即可. 解答: 解:由 得 ,所以 S=4πR =12π.
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点评: 本题考查学生对公式的利用,是基础题. 6. (5 分)直线 a,b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则 a,b 位置关系是相 交或异面. 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: a,b 对角线开始于同一个顶点时相交;a,b 不是开始于同一个顶点时异面;a,b 没有平行的可能. 解答: 解:∵直线 a,b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线, ∴a,b 可能是相交线,a,b 对角线开始于同一个顶点时相交; a,b 也可以是异面,两个对角线 a,b 不是 开始于同一个顶点时异面; a,b 没有平行的可能. 故答案为:相交或异面. 点评: 本题考查两条直线的位置关系的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养. 7. (5 分)将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 的半圆,则该圆锥的高 为 . 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径, 再根据圆锥的轴截面图 形求高即可. 解答: 解:设圆锥的底面圆半径为 r,则 2πr=2π?r=1, ∴h= = .

故答案是 . 点评: 本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面,比较基础. 8. (5 分)过点 C(3,4)且与 x 轴,y 轴都相切的两个圆的半径分别为 r1,r2,则 r1r2=25. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由题意得:满足与 x 轴,y 轴都相切的圆的圆心在第一象限,设出圆心(a,a) , 根据切线的性质得到半径 r=a,表示出圆的标准方程,由 C 在此圆上,将 C 的坐标代入圆的

方程中,得到关于 a 的一元二次方程,根据 r1,r2 为此一元二次方程的两个解,利用根与系 数的关系即可得出 r1r2 的值. 解答: 解:由题意得:满足与 x 轴,y 轴都相切的圆的圆心在第一象限, 设圆心坐标为(a,a) ,则半径 r=a, 2 2 2 ∴圆的方程为(x﹣a) +(y﹣a) =a , 又 C(3,4)在此圆上, ∴将 C 的坐标代入得: (3﹣a) +(4﹣a) =a , 2 整理得:a ﹣14a+25=0, 2 ∵r1,r2 分别为 a ﹣14a+25=0 的两个解, ∴r1r2=25. 故答案为:25 点评 : 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:切线的性质,以及韦达定理,根据题意 满足与 x 轴,y 轴都相切的圆的圆心在第一象限,进而设出相应圆的标准方程是解本题的关 键. 9. (5 分)已知直线 kx﹣y+1=0 与圆 C:x +y =4 相交于 A,B 两点,若点 M 在圆 C 上,且 有 (O 为坐标原点) ,则实数 k=0.
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考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 设 AB 的中点为 D,有 由点到直线的距离公式列方程 解出实数 k 的值. 解答: 解:设 AB 的中点为 D,有 ∴| |=1. ,解得 k=0, =2 ,| |=2| |=R=2, =2 ,即圆心到直线的距离等于半径的一半,

由点到直线的距离公式得 1=

故答案为 0. 点评: 本题考查向量加减法的意义,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用. 10. (5 分)设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β.其中所有真命题的序号是④. 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β,由面面平行的判定定理判断;

②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直,由线线的位置关系判断; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β,由线面垂直的条件进行判断; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β,由线面垂直的条件进行判断. 解答: 解:①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β,是一个错误命题,因为 m,n 不一 定相交; ②若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直,是错误命题,因为两个不垂直 的平面中也存在互相垂直的两条直线; ③若 α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则 n⊥β,是错误命题,因为对比面面垂直的性质定理知,少 了一个条件即 n?α; ④若 m∥n,n⊥α,α∥β,则 m⊥β 是一个正确命题,因为两条平行线中的一条垂直于一个 平面,则它也垂直于另一个平面,再有两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直,则另一 个平面也与这条直线垂直. 故答案为④ 点评: 本题考查平面与平面之间的位置关系, 解题的关键是有着较好的空间想像能力以及 对命题相关的定义与定理掌握得比较熟练. 11. (5 分)正三棱锥 P﹣ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45°,则点 A 到侧面 PBC 的距 离是 .

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、 平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题采用的是“找垂面 法”:即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得 点到平面的垂线段.设 P 在底面 ABC 上的射影为 O,则 PO= 2,且 O 是三角形 ABC 的中 心,设底面边长为 a, 设侧棱为 b,则 斜高 .由面积法

求 A 到侧面 PBC 的距离



解答: 解:如图所示:设 P 在底面 ABC 上的射影为 O, 则 PO⊥平面 ABC,PO=2,且 O 是三角形 ABC 的中心, ∴BC⊥AM,BC⊥PO,PO∩AM=0 ∴BC⊥平面 APM 又∵BC?平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 APM, 又∵平面 ABC∩平面 APM=PM, ∴A 到侧面 PBC 的距离即为△ APM 的高 设底面边长为 a, 则 设侧棱为 b,则 斜高 .

由面积法求 A 到侧面 PBC 的距离 故答案为:

点评: 本小题主要考查棱锥, 线面关系、 直线与平面所成的角、 点到面的距离等基本知识, 同时考查空间想象能力和推理、运算能力. 12. (5 分)过圆 x +y =4 内一点 P(1,1)作两条相互垂直的弦 AC,BD,当 AC=BD 时, 四边形 ABCD 的面积为 6. 考点: 直线与圆相交的性质;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据题意画出相应的图形,连接 OP,OA,过 O 作 OE⊥AC,OF⊥BD,利用垂径 定理得到 E、 F 分别为 AC、 BD 的中点, 由 AC=BD 得到弦心距 OE=OF, 可得出四边形 PEOF 为正方形, 由 P 与 O 的坐标, 利用两点间的距离公式求出|OP|的长, 即为正方形的对角线长, 求出正方形的边长 OE,由圆的方程找出半径 r,得到 OA 的长,在直角三角形 AOE 中,由 OA 与 OE 的长,利用勾股定理求出 AE 的长,进而求出 AC 与 BD 的长,再利用对角线互 相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半,即可求出四边形 ABCD 的面积. 解答: 解:根据题意画出相应的图形,连接 OP,OA,过 O 作 OE⊥AC,OF⊥BD, ∴E 为 AC 的中点,F 为 BD 的中点, 又 AC⊥BD,AC=BD, ∴四边形 EPOF 为正方形, 由圆的方程得到圆心 O(0,0) ,半径 r=2, 又 P(1,1) ,∴|OP|= ∴OE= × = ,
2 2

=1,又 OA=r=2, = ,

∴根据勾股定理得:AE= ∴AC=BD=2AE=2 ,

则 S 四边形 ABCD= AC?BD=6. 故答案为:6

点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,正方形的 判定与性质,两点间的距离公式,以及对角线互相垂直的四边形面积求法,当直线与圆相交 时,常常由垂径定理根据垂直得中点,然后由弦心距,弦长的一半及圆的半径构造直角三角 形,利用勾股定理来解决问题. 13. (5 分)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣1) =1 相 切,则 m+n 的取值范围是(﹣∞,2﹣2 ]∪∪∪ 14. (5 分)平面直角坐标系中,已知点 A(1,﹣2) ,B(4,0) ,P(a,1) ,N(a+1,1) , 当四边形 PABN 的周长最小时,过三点 A、P、N 的圆的圆心坐标是 .
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考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据两点之间的距离公式, 列出四边形 PABN 的周长关于 a 的表达式, 得到 x 轴上 的点(a,0)与(1,3)和(3,1)距离之和最小时,四边形 PABN 的周长也最小.利用对 称思想结合直线方程的求法,可得 a 值为 时,四边形 PABN 的周长最小.从而得到 P、N 的坐标,再用直线方程的一般式,求出经过三点 A、P、N 的圆方程,从而得到圆心的坐标. 解答: 解:四边形 PABN 的周长为 C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|= +1 = 只需求出 由于 + , 表示 x 轴上的点(a,0)与(1,3)和(3,1)距离之和,只需该距离之和最小即可. 利用对称的思想,可得 该距离之和的最小值为(1,﹣3)与(3,1)间的距离, 且取得最小的 a 值为 E(1,﹣3)与 F(3,1)确定的直线与 x 轴交点的横坐标, = + + + + +1, 的最小值时的 a 值. + +

∵直线 EF 的斜率 k=

=2,∴直线 EF 方程为 y+3=2(x﹣1) ,化简得 y=2x﹣5,

令 y=0,得 x= ,所以此时 a 值为 由以上的讨论,得四边形 PABN 的周长最小时,P( ,1) ,N( ,1) 设过三点 A、P、N 的圆方程为 x +y +Dx+Ey+F=0
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可得

,解之得 D=﹣6,E= ,F=

∴过三点 A、P、N 的圆方程为 x +y ﹣6x+ y+ 故答案为: (3,﹣ )

2

2

=0,可得圆 坐标为(3,﹣ )

点评: 本题以四边形周长取最小值为载体, 求经过三点圆的圆心坐标, 着重考查了直线的 方程、圆方程求法等知识,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,14+14+14+16+16+16=90 分. 15. (14 分)如图,在四面体 ABCD 中,AB=AC=DB=DC,点 E 是 BC 的中点,点 F 在线 段 AC 上,且 .

(1)若 EF∥平面 ABD,求实数 λ 的值; (2)求证:平面 BCD⊥平面 AED.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: (1)因为 EF∥平面 ABD,所以 EF?平面 ABC,EF∥AB,由此能够求出实数 λ 的值. (2)因为 AB=AC=DB=DC,点 E 是 BC 的中点,所以 BC⊥AE,BC⊥DE,由此能够证明 平面 BCD⊥平面 AED. 解答: 解: (1)因为 EF∥平面 ABD,易得 EF?平面 ABC, 平面 ABC∩平面 ABD=AB, 所以 EF∥AB,

又点 E 是 BC 的中点,点 F 在线段 AC 上, 所以点 F 为 AC 的中点, 由 得 ;

(2)因为 AB=AC=DB=DC,点 E 是 BC 的中点, 所以 BC⊥AE,BC⊥DE, 又 AE∩DE=E,AE、DE?平面 AED, 所以 BC⊥平面 AED, 而 BC?平面 BCD, 所以平面 BCD⊥平面 AED.

点评: 本题主要考查直线与平面、 平面与平面的位置关系, 考查空间想象与推理论证能力. 16. (14 分)已知:无论 a 取何值,直线(a+2)x+(a+1)y+a=0 始终平分半径为 2 的圆 C. (1)求圆 C 的标准方程; (2)过点 A(﹣1,4)作圆 C 的切线 l,求切线 l 的方程. 考点: 圆的切线方程;圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出动直线经过的定点,即圆 C 的圆心,然后代入圆的标准方程得答案; (2)分切线斜率存在和不存在两种情况讨论,斜率不存在时直接写出切线方程,斜率存在 时设出切线方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径求解斜率,则切线方程可求. 解答: 解: (1)由(a+2)x+(a+1)y+a=0,得 a(x+y+1)+2x+y=0, 联立 ,解得: .

∴直线(a+2)x+(a+1)y+a=0 过定点(1,﹣2) . 即圆的圆心为(1,﹣2) . 又圆的半径为 2. 2 2 ∴圆的方程为: (x﹣1) +(y+2) =4; (2)如图,

当切线 l 的斜率不存在时,切线方程为 x=﹣1; 当切线 l 的斜率存在时,设切线方程为 y﹣4=k(x+1) , 整理得:kx﹣y+k+4=0. 由圆心(1,﹣2)到切线的距离等于圆的半径得: ,解得:k=﹣ .

∴切线 l 的方程为:



整理得: 4x+3y﹣8=0. 综上,圆的切线方程为 x=﹣1 或 4x+3y﹣8=0. 点评: 本题考查圆的标准方程的求法, 训练了直线系方程的用法, 考查了利用几何法求圆 的切线方程,是中档题. 17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,BC∥平面 PAD, ∠PBC=90°,∠PBA≠90°.求证: (1)AD∥平面 PBC; (2)平面 PBC⊥平面 PAB.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由 BC∥平面 PAD,利用线面平行的性质定理即可得到 BC∥AD,再利用线 面平行的判定定理即可证明 AD∥平面 PBC; (2) 自 P 作 PH⊥AB 于 H, 由平面 PAB⊥平面 ABCD, 可得 PH⊥平面 ABCD. 于是 BC⊥PH. 又 BC⊥PB,可得 BC⊥平面 PAB,进而得到面面垂直. 解答: 证明: (1)因为 BC∥平面 PAD, 而 BC?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 PAD=AD, 所以 BC∥AD. 因为 AD?平面 PBC,BC?平面 PBC,

所以 AD∥平面 PBC. (2)自 P 作 PH⊥AB 于 H,因为平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 PH⊥平面 ABCD. 因为 BC?平面 ABCD,所以 BC⊥PH. 因为∠PBC=90°,所以 BC⊥PB, 而∠PBA≠90°,于是点 H 与 B 不重合,即 PB∩PH=P. 因为 PB,PH?平面 PAB,所以 BC⊥平面 PAB. 因为 BC?平面 PBC,故平面 PBC⊥平面 PAB. 点评: 本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理,线面平行的判定与性质定理, 需要较强的推理能力和空间想象能力. 18. (16 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)欲证 EF∥平面 ABC1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF 与 平面 ABC1D1 内一直线平行,连接 BD1,在△ DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,根 据中位线定理可知 EF∥D1B,满足定理所需条件; (2)先根据线面垂直的判定定理证出 B1C⊥平面 ABC1D1,而 BD1?平面 ABC1D1,根据线 面垂直的性质可知 B1C⊥BD1,而 EF∥BD1,根据平行的性质可得结论; (3) 可先证 CF⊥平面 EFB1, 根据勾股定理可知∠EFB1=90°, 根据等体积法可知
C﹣B1EF,即可求出所求.

=V

解答: 解: (1)证明:连接 BD1,如图,在△ DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点, 则

平面 ABC1D1.

(2)

(3)∵CF⊥平面 BDD1B1,∴CF⊥平面 EFB1 且 ∵ ,

, ,

∴EF +B1F =B1E 即∠EFB1=90°, ∴ = =

2

2

2

点评: 本题主要考查了线面平行的判定, 以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算, 同时 考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想,属于中档题. 19. (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x ﹣6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x﹣y+a=0 交与 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. 考点: 圆的标准方程;直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)法一:写出曲线与坐标轴的交点坐标,利用圆心的几何特征设出圆心坐标, 构造关于圆心坐标的方程,通过解方程确定出圆心坐标,进而算出半径, 写出圆的方程; 法二:可设出圆的一般式方程,利用曲线与方程的对应关系,根据同一性直接求出参数, (Ⅱ)利用设而不求思想设出圆 C 与直线 x﹣y+a=0 的交点 A,B 坐标,通过 OA⊥OB 建立 坐标之间的关系,结合韦达定理寻找关于 a 的方程,通过解方程确定出 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ) 法一: 曲线 y= x ﹣6x+1 与 y 轴的交点为 (0, 1) , 与 x 轴的交点为 (3+2 , 2 0) , (3﹣2 ,0) .可知圆心在直线 x=3 上,故可设该圆的圆心 C 为(3,t) ,则有 3 +(t ﹣1) =(2
2 2 2 2

) +t ,解得 t=1,故圆 C 的半径为
2

2

2

,所以圆 C 的方程

为(x﹣3) +(y﹣1) =9. 2 2 法二:圆 x +y +Dx+Ey+F=0 x=0,y=1 有 1+E+F=0 2 2 y=0,x ﹣6x+1=0 与 x +Dx+F=0 是同一方程,故有 D=﹣6,F=1,E=﹣2, 2 2 即圆方程为 x +y ﹣6x﹣2y+1=0 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足方程组 ,消去 y,得到方程 2x +(2a﹣8)x+a ﹣2a+1=0,由已 知可得判别式△ =56﹣16a﹣4a >0.
2 2 2

在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4﹣a,x1x2=

①,
2

由于 OA⊥OB 可得 x1x2+y1y2=0,又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以可得 2x1x2+a(x1+x2)+a =0② 2 由①②可得 a=﹣1,满足△ =56﹣16a﹣4a >0.故 a=﹣1. 点评: 本题考查圆的方程的求解,考查学生的待定系数法,考查学生的方程思想,直线与 圆的相交问题的解决方 法和设而不求的思想,考查垂直问题的解决思想,考查学生分析问 题解决问题的能力,属于直线与圆的方程的基本题型. 20. (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+1) +y =1,圆 C2: (x﹣3) 2 2 +(y﹣4) =1. (1)若过点 C1(﹣1,0)的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程; (2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;综合题;直线与圆. 分析: (1)设过直线 l 方程:y=k(x+1) ,根据垂直于弦的直径的性质,结合点到直线的 距离公式列式,可解出 k 的值,从而得到直线 l 的方程; (2)①由题意,圆心 C 到 C1、C2 两点的距离相等,由此结合两点间的距离公式建立关系 式,化简整理得 x+y﹣3=0,即为所求定直线方程; ②根据题意设 C(m,3﹣m) ,得到圆 C 方程关于参数 m 的一般方程形式,由此可得动圆 C 2 2 经过圆 x +y ﹣6y﹣2=0 与直线 x﹣y+1=0 的交点,最后联解方程组,即可得到动圆 C 经过 的定点坐标. 解答: 解: (1)设过点 C1(﹣1,0)的直线 l 方程:y=k(x+1) ,化成一般式 kx﹣y+k=0 ∵直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 , ∴点 C2(3,4)到直线 l 的距离为 d= = ,

解之得 k= 或 由此可得直线 l 的方程为:4x﹣3y+4=0 或 3x﹣4y+3=0. (2)①设圆心 C(x,y) ,由题意,得 CC1=CC2, 即 = ,

化简整理,得 x+y﹣3=0, 即动圆圆心 C 在定直线 x+y﹣3=0 上运动. ②设圆 C 过定点,设 C(m,3﹣m) , 则动圆 C 的半径为 =
2 2 2


2

于是动圆 C 的方程为(x﹣m) +(y﹣3+m) =1+(m+1) +(3﹣m) , 2 2 整理,得 x +y ﹣6y﹣2﹣2m(x﹣y+1)=0,







所以动圆 C 经过定点,其坐标为





点评: 本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程, 并探索动圆圆心在定直线上的问题. 考 查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.


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