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2019-2020学年高中数学 2.1第1课时 正弦定理教学设计 北师大版必修5.doc

2019-2020 学年高中数学 2.1 第 1 课时 正弦定理教学设计 北师大版 必修 5
教学目标: 1.让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索,共同探究在任 意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,实验,猜想,验证,证明,由特殊到 一般归纳出正弦定理,掌握正弦定理的内容及其证明方法,理解三角形面积公式,并学会运 用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。 2.通过对实际问题的探索,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养创造性思维的能力。 3.通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,培养学生勇于探索、善 于发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数学的兴趣。 4.培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法,通过平面几何、三角形函数、正 弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 五、教学重点与难点 教学重点:正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。 教学难点:正弦定理的猜想提出过程。 教学准备:制作多媒体课件,学生准备计算器,直尺,量角器。 六、教学过程: (一)结合实例,激发动机 师生活动: 师:每天我们都在科技楼里学习 ,对科技楼熟悉吗? 生:当然熟悉。 师:那大家知道科技楼有多高吗? 学生不知道。激起学生兴趣! 师:给大家一个皮尺和测角仪,你能测出楼的高度吗? 学生思考片刻,教师引导。 生 1:在楼的旁边取一个观测点 C,再用一个标杆,利用三角形相似。 师:方法可行吗? 生 2:B 点位置在楼内不确定,故 BC 长度无法测量,一次测量不行。 师:你有什么想法? 生 2:可以再取一个观测点 D. 师:多次测量取得数据,为了能与上次数据联系,我们应把 D 点取在什么位置? 生 2:向前或向后 师:好,模型如图(2) :我们设 ?ACB ? 60? , ?ADB ? 45? ,CD=10m,那么我们能计 算出 AB 吗?
? ?

生 3:由 AB tan 45 ? AB tan 30 ?10 求出 AB。 师: 很好, 我们可否换个角度, 在 Rt ?ABD 中, 能求出 AD,也就求出了 AB。 在 ?ACD 中, 已知两角,也就相当于知道了三个角,和其中一个角的对边,要求出 AD,就需要我们来研 究三角形中的边角关系。 师:探究一般三角形中的边角关系,我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手!

生 4:直角三角形。 师:直角三角形的边与角之间存在怎样的关系? 生 5:思考交流得出,如图 4,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,

a b c , sin B ? ,又 sinC ? 1 ? , c c c a b c ? ? ?c 则 sin A sin B sin C a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C
则有 sin A ?

A b C c

a

B

(三)证明猜想,得出定理 (图 4) 师生活动: 教师:那么,在斜三角形中也成立吗? 用几何画板演示,用多媒体的手段对结论加以验证! 但特殊不能代替一般,具体不能代替抽象,这个结果还需要严格的证明才能成立,如何 证明哪?前面探索过程对我们有没有启发? 学生分组讨论,每组派一个代表总结。 (以下证明过程,根据学生回答情况进行叙述) 学生 6:思考得出 ①在 Rt ?ABC 中,成立,如前面检验。 ②在锐角三角形中,如图 5 设 BC ? a , CA ? b , AB ? c 作: AD ? BC ,垂足为 D

AD AB ? AD ? AB ? sin B ? c ? sin B AD 在 Rt ?ADC 中, sin C ? AC ? AD ? AC ? sin C ? b ? sin C ? c sin B ? b sin C c b ? ? sin C sin B a c ? 同理,在 ?ABC 中, sin A sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C ③在钝角三角形中,如图 6 设 ?C 为钝角, BC ? a , CA ? b , AB ? c 作 AD ? BC 交 BC 的延长线于 D AD 在 Rt ?ADB 中, sin B ? AB ? AD ? AB ? sin B ? c ? sin B AD 在 Rt ?ADC 中, sin ?ACD ? AC ? AD ? AC ? sin ?ACD ? b ? sin ?ACB ? c ? sin B ? b ? sin ?ACB
在 Rt ?ABD 中, sin B ?

A

(图 5)

B

D

CA

(图 6)

B

C

D

?

c b ? sin ?ACB sin B

a c ? sin A sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin ?ACB
同锐角三角形证明可知 教师:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相 等,即

a b c ? ? sin A sin B sin C

C F c b A
(图 7) (图7 )

E

a B

D

师: 我们在前面学习了平面向量, 向量是解决数学问题的有力工具, 而且和向量的联系紧密, 那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理? 学生要思考一下。 师:观察式子结构,里面有边及其边的夹角,与向量的哪一部分知识有关? 生 7: 向量的数量积 师:那向量的数量积的表达式是什么? 生 8: a ? b ? a b cos ? a , b ? 师:表达式里是角的余弦,我们要证明的式子里是角的正弦。 生:利用诱导公式。 师:式子变形为: CB cos(

?

? A) ? CA cos( ? B ) ,再 2 2

?

师:很好,那我们就用向量来证明正弦定理,同学们请试一试! 学生讨论合作,就可以解决这个问题 教师:由于时间有限,对正弦定理的证明到此为止,有兴趣的同学下去再探索。 设计意图:经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想, 力图让学生体验数学的学习过程。 (三)利用定理,解决引例 师生活动: 教师:现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生:马上得出 在 ?ABC 中, ?B ? 180 ? ?A ? ?C ? 60 ,

?c ?

b ? sin C 600 ? sin 45? ? ? 200 6m sin B sin 60?

c b ? sin C sin B

(四)了解解三角形概念 设计意图:让学生了解解三角形概念,形成知识的完整性 教师:一般地,把三角形的三个角 A 、 B 、 C 和它们的对边 a 、 b 、 c 叫做三角形的 元素,已知,三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形。 设计意图:利用正弦定理,重新解决引例,让学生体会用新的知识,新的定理,解决问 题更方便,更简单,激发学生不断探索新知识的欲望。 (五)运用定理,解决例题 师生活动: 教师:引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生:讨论正弦定理可以解决的问题类型: ①如果已知三角形的任意两个角与一边,求三角形的另一角和另两边,如

a?

b sin A ; sin B
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角,求另一边与另两角,如

sin A ? sin B 。
师生:例 1 的处理,先让学生思考回答解题思路,教师板书,让学生思考主要是突出主体, 教师板书的目的是规范解题步骤。 例 1:在 ?ABC 中,已知 A ? 30? , B ? 45? , a ? 6cm ,解三角形。 分析“已知三角形中两角及一边,求其他元素” ,第一步可由三角形内角和 为 180 ? 求出第三个角∠C,再由正弦定理求其他两边。 例 2:在 ?ABC 中,已知 a ? 2 2 , b ? 2 3 , A ? 45? ,解三角形。 例 2 的处理,目的是让学生掌握分类讨论的数学思想,可先让中等学生讲解解题思路,其他 同学补充交流 例3 老师:台风中心位于某沿海城市正东方向 处,正以 的速度向 北偏西 的方向移动。距离台风中心范围内将会受其影响。如果台风风速不 变(1)该市会受台风影响吗?

a b

D C

(2)从何时起遭受台风影响? 有办法解决吗?

A

B

学生:从 A 向台风的中心轨迹作垂线,垂足为 D,AD=

250 3 ? 250 2

所以,城市受台风影响。 教师:那么,从何时遭受台风影响哪? 分析:在 BD 上总存在一点 C,使得 AC=250,所以,只需要计算出 BC 的距离即可,如何 计算哪? 学生:反馈练习(教科书第 5 页的练习) 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。 设计意图:自己解决问题,提高学生学习的热情和动力,使学生体验到成功的愉悦感, 变“要我学”为“我要学” , “我要研究”的主动学习。 (七)尝试小结: 教师:提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生:思考交流,归纳总结。 师生:让学生尝试小结,教师及时补充,要体现: (1)正弦定理的内容(

a b c ? ? ? 2 R )及其证明思想方法。 sin A sin B sin C

(2)正弦定理的应用范围:①已知三角形中两角及一边,求其他元素;②已知三角形 中两边和其中一边所对的角,求其他元素。 (3)分类讨论的数学思想。 设计意图:通过学生的总结,培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 (八)作业设计 作业:第 10 页[习题 1.1]A 组第 1、2 题。 思考题: 例 2: 在 ?ABC 中, 已知 a ? 2 2 ,b ? 2 3 ,A ? 45? , 解三角形。 例 2 中b ? 2 3 分别改为 b ? 2 6 , b ? 5 并解三角形,观察解的情况并解释出现一解,两解,无解的原 因。