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山东省临沂市兰山区高三上学期期末四校联考数学(理)试题

高三教学质量阶段性检测考试 2010.02 数 学 试 题(理科)
时间 120 分钟 满分 150 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,A= { x | 2 影部分表示的集合为 A.{ x | x ? 1} B.{ x |1 ? x ? 2} C.{ x | 0 ? x ? 1} D.{ x | x ? 1} (第 1 题图)
2
x ( x ? 2)

? 1}, B ? { x | y ? ln(1 ? x )} ,则右图中阴

2.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” . 2 B. x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 3.设函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (

?
3

对称

?
4

, 0) 对称

C.把 f ( x ) 的图像向左平移

?
12

个单位,得到一个偶函数的图像

D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [0,

?
6

] 上为增函数
2 1

4.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何 体的表面积是 A. (20 ? 4 2 )cm C. (24 ? 4 2 )cm
2

B.21 cm

2

2 主视图 2 左视图

2

D. 24 cm

2

5.函数 y ?

lg | x | x

(第 4 题图)

的图象大致是

俯 视 视 视 图

第 1 页 共 9 页

6.设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 P (0 ? ? ? 1) ? 0.4 ,则 P (? ? 2) 等于
2

A.0.8

B.0.5

C.0.2

D.0.1

7.已知在平面直角坐标系 xOy 中, O (0,0), A(1,?2), B (1,1), C ( 2,?1), 动点 M ( x, y ) 满足条件

?

????? ???? - 2? O M? O A 2 ? ????? ???? 1? O M? O B 2 , 则 OM ? OC 的最大值为 ?
A.-1 B.0 C.4 D.3

8.已知 P 为抛物线 y ?

1 2

x 2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 ( 6,

17 2

),

则 PA ? PM 的最小值是 A.

49 8

B.

19 2

C .10

D.

21 2

9. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 有两个动点 E、F,且 EF ? (A) AC ? BE (B) EF / / 平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 (D)异面直线 AE , BF 所成的角为定值 (第 9 题图)

2 2

,则下列结论中错误的是

10.为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡 片,集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为 A.

50 81

B.

33 81

C.

48 81

D.

31 81
An Bn ? 7 n ? 45 n?3
,则使得

11.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

an bn

为整数的正整数 n 的个数是

第 2 页 共 9 页

A.2

B.3

C.4

D.5

? ? n 2 , n ? 2 k ( k ? Z) ? 12.已知函数 f ( n ) ? ? 2 , an ? f ( n ) ? f ( n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? ? n , n ? 2 k ? 1( k ? Z) ?
A. 0 B. ?100 C. 100 D. 10200

高三教学质量阶段性检测考试 2010.02 数 学 试 题(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

14.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 圆的离心率 e ?
2

7 18

.若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭

. 。

15.已知函数 f ( x ) ? x ? x ,若 f ? log 3 ? m ? 1? ? ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是 16.某同学在研究函数 f ( x ) ?

x 1? | x |

( x ? R ) 时,分别给出下面几个结论:

①等式 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 对 x ? R 恒成立; ②函数 f ( x ) 的值域为 ( ?1, 1) ; ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x 在 R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有________________。 (请将你认为正确的结论的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

3 sin x cos x ? cos 2 x ? a 。

(1)写出函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (2)当 x ? ? ?

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x ) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x ) 的图象、y 2 ? 6 3?

轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。

第 3 页 共 9 页

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 则面 PAD⊥底面 ABCD, 侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (1)求证:PO⊥平面 ABCD; (2)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (3)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距 离为

(第 18 题图)

3 2

?若存在,求出

AQ QD

的值;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 某科技公司遇到一个技术难题,紧急成立甲、乙两个攻关小组,按要求各自单独进行为 期一个月的技术攻关, 同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励. 已知此技术难 题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为

2 3

,被乙小组攻克的概率为

3 4



(1)设 ? 为攻关期满时获奖的攻关小组数,求 ? 的分布列及 E? ; (2)设? 为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方,记“函数

f ( x) ? ? ?

7 2

x

在定义域内单调递减”为事件 C ,求事件 C 的概率.

20. (本小题满分 12 分)

的等比数列 ,设 4 4 bn ? 2 ? 3 log 1 a n ( n ? N *) ,数列 {c n }满足 c n ? a n ? bn 。
4

已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1

, 公比 q ?

1

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn; (3)若 c n ?

1 4

m 2 ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? ax ( a ? R ) .
2 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,证明函数 f ( x ) 只有一个零点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ?1,?? ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 22、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 3

,直线 l:y=x+2 与以原点为圆

心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。
第 4 页 共 9 页

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1,且垂直于椭圆的长轴,动 直线 l2 垂直于 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨 迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R、S 在 C2 上,且 满足 QR ? RS ? 0 , 求 | QS | 的取值范围。

高三教学质量阶段性检测考试 2010.02
理科数学参考答案及评分标准
一、BDCAD 二、13. 8 DCBDA DC 14.

3 8

15. ( ? ,8)

8 9

16. ①②③

三、17、解(1) f ( x ) ?

3 2

sin 2 x ?

1 ? cos 2 x 2

? a ? sin( 2 x ?

?
6

)?a?

1 2

, ??(2 分)

?T ? ? .


?????????(3 分)

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

3? 2

? 2 k? , 得

?
6

? kx ? x ?

2? 3

? k? .

故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? (2)? ?

2? ?? ? ? k? , ? k? ? ( k ? Z ) 。 ????? (5 分) 3 ?6 ?

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

.? ?

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1.

1 1 1 ? ? ?? ?当 x ? ? ? , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? ( ? ? a ? ) 2 2 2 ? 6 3? ? 3 2 ,? a ? 0,? f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2

.

?????????(8 分)

f ( x ) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( ,0) 2
第 5 页 共 9 页

?

????????(9 分)

所以 f ( x ) 的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积

S?

?

?
2 0

? ? ?sin( 2 x ? 6 ) ? ?

1? ? x? 2 2 3 ?? ? 1 . ????(12 分) ? dx ? ? ? 2 cos(2 x ? 6 ) ? 2 ? | 0 ? 2? 4 ? ?

?

18、 (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD,所以 PO⊥平面 ABCD. ??3 分 (Ⅱ)解 以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x OD OP

???? ???? ??? ?

轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz,依 题意,易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以

??? ? ??? ? CD=( ? 11, PB=(1, 1, 1 ,0), ? ? ).
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是余弦值为

???????5 分

6 3



??????7 分

(Ⅲ)解

假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为

3 2



由(Ⅱ)知 CP ? ( ?1, 0,1), CD ? ( ?1,1, 0). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).

??? ?

??? ?

??? ? ? n ?CP ? 0, ? ? x0 ? z 0 ? 0, ? 则 ? ??? 所以 ? 即 x0 ? y 0 ? z 0 , ? ? ? x 0 ? y0 ? 0, ? n ?CD ? 0, ?
取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). 设 Q (0, y , 0)( ?1 ? y ? 1), CQ ? ( ?1, y , 0), 由

??? ?

?????? CQ ?n n

???????9 分

?

3 2

,得

?1 ? y 3

?

3 2

, 解 y=-

1 2



y=

5 2

(舍去),

???????11 分

此时 AQ ?

1 2

, QD ?

3 2

,所以存在点 Q 满足题意,此时
2 3

AQ QD

?

1 3

。?12 分
3 4

19、 记 解: “甲攻关小组获奖” 为事件 A, P ( A ) ? , “乙攻关小组获奖” 则 记 为事件 B, P ( B ) ? . 则 (1)由题意,ξ 的所有可能取值为 0,1,2. ????????1 分
2 3 1 P (? ? 0) ? P ( A ? B ) ? (1 ? )(1 ? ) ? , 3 4 12 2 3 2 3 5 2 3 1 P (? ? 1) ? P ( A ? B ) ? ( A ? B ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? , P (? ? 2) ? P ( A ? B ) ? ? ? , 3 4 2 3 4 3 4 12

∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2

第 6 页 共 9 页

P

1 12

5 12

1 2

?????4 分 ∴ E?
? 0? 1 12 ? 1? 5 12 ? 2? 1 2 ? 17 12



????????6 分

(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为 0,1,2,相对应没有获奖的攻关小组的取值为 2,1, 0.∴η 的可能取值为 0,4. ??????8 分 当 η=0 时, 当 η=4 时,
7 | x ? ( ) x 在定义域内是增函数. 2 1 x f ( x ) ?| ? ? |? ( ) 在定义域内是减函数. 2 2 f ( x ) ?| ? ? 2 7 1 2 ? 1 12 ? 7 12 7

??????10 分 ??????12 分

∴ P (C ) ? P (? ? 4) ? P ( A ? B ) ? P ( A ? B ) ?



20.解: (1)由题意知, a n ? ( ) ( n ? N *)
n

1

????????1 分

4 ? bn ? 3 log 1 a n ? 2, b1 ? 3 log 1 a1 ? 2 ? 1
4 4

? bn ?1 ? bn ? 3 log 1 a n ?1 ? 3 log 1 a n ? 3 log 1
4 4 4

a n ?1 an

? 3 log 1 q ? 3
4

∴数列 {bn }是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 3 的等差数列 ???????3 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2( n ? N *)
n

1

4

??????????4 分 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , ( n ? N *) 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?1 ? ? ( 3n ? 2 ) ? ( ) . 2 4 2 12 n ? 8 1 n ?1 ????????8 分 ? Sn ? ? ? ( ) ( n ? N *) 3 3 4 1 n ?1 1 n (3)? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 1 ? 9(1 ? n ) ? ( ) n ?1 , ( n ? N *) 4 ∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ?

1

1 4,

n ? 2时, c n ?1 ? c n , 即 c1 ? c 2 ? c 3 ? c 4 ? ? ? c n

∴当 n=1 时, c n 取最大值是

1 4



????????10 分

第 7 页 共 9 页

cn ?
? 1 4

1 4

m 2 ? m ? 1对一切正整数 n恒成立
1 4,
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ????12 分
2

m2 ? m ?1 ?

21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? ln x ? x 2 ? x ,其定义域是 (0, ?? ) 又

? f ?( x ) ?

1 x

? 2x ?1 ? ?

2 x2 ? x ?1 x ? 0 ,解得 x ? ?
1 2

????2 分

令 f ?( x ) ? 0 ,即 ? ∴

2x2 ? x ?1 x

或 x ?1. Q x ? 0,

x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .

∴ 函数 f ( x ) 在区间 ? 0 ,1? 上单调递增,在区间 ?1,?? ? 上单调递减 ∴ 当 x =1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 f (1) ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0 .
2

当 x ? 1 时, f ( x ) ? f (1) ,即 f ( x ) ? 0 . ∴ 函数 f ( x ) 只有一个零点.
2 2

????????6 分

(Ⅱ)显然函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? ax 的定义域为 (0, ?? ) ∴ f ?( x ) ?

1 x

? 2a x ? a ?
2

?2 a 2 x 2 ? ax ? 1 x

?

? (2 ax ? 1)( ax ? 1) x

??7 分

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 1 ? 0,? f ( x ) 在区间 ?1,?? ? 上为增函数,不合题意??8 分
x

②当 a ? 0 时, 要使函数 f ( x ) 在区间 ?1,?? ? 上是减函数, 只需 f ? ? x ? ? 0 在区间 ?1,?? ? 上恒成 立,? x ? 0 ?只要 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,

? a ?1 1 ? 解得 a ? 1 或 a ? ? ? ? 4a 2 2 ?2a 2 ? a ? 1 ? 0 ?
综上,实数 a 的取值范围是 ( ?? , ? ] U [1, ?? )

1

????12 分

2

22.解: (1)由 e ?

3 3

,?

b2 a
2

? 1 ? e2 ?

2 3
2

????????2 分

由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆 x ? y ? b 相切 , 得
2 2

2 2

?| b | .所以, b ?

2, a ? 3

所以椭圆的方程是

x2 3

?

y2 2

? 1.

????????4 分

第 8 页 共 9 页

(2)由条件,知|MF2|=|MP|。即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距离,由抛物 线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x 。
2

?????8 分
2 y2

(3)由(2) ,知 Q(0,0) 。设 R (
2 2 y 2 ? y1

y12 4

, y1 ), S (

4

, y 2 ), 所以QR ? (

y12 4

, y1 )

RS ? (

4

, y 2 ? y1 ).
2 2 2 y1 ( y 2 ? y1 )

由QR ? RS ? 0, 得

16

? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 . 16 y1 ? ? ? ? ? ? (10 分 ) 256
2 y1

因为 y1 ? y 2 , 化简得 y 2 ? ? y1 ?
2 2 ? y 2 ? y1 ?

256 y
2 1

2 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 (当且仅当 y1 ?

,即

y1 ? ? 4时等号成立 ). ? ? ? ? ? (12 分 )

?| QS |?

(

2 y2

4

2 )2 ? y2 ?

1 4

2 2 2 ( y 2 ? 8) 2 ? 64 ,? y 2 ? 64 . 所以当 y 2 ? 64 , 即 y 2 ? ?8时, | QS | min ? 8 5 .

故 | QS | 的取值范围是 8 5 . ? ? 。

?

?

??14 分

第 9 页 共 9 页


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