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初高中衔接教材教案(5)一元二次不等式


初、高中衔接

江苏省泰州中学数学组

宋健

一元二次不等式的解法
教学过程 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2、一元二次不等式的解法步骤
2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2

设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

2

则不等式的解的各种情况如下表:

??0
y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

??0
y ? ax2 ? bx ? c

??0
y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ?x2?

?

?

例1

解不等式:
(1)x2+2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0. (2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

1

初、高中衔接

江苏省泰州中学数学组

宋健

例 2 解关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0
2

解:原不等式可以化为: ( x ? a ? 1)( x ? a) ? 0

1 则 x ? a 或 x ? 1? a 2 1 1 1 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 ( x ? ) 2 ? 0 x ? ,x?R 2 2 2 1 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 x ? a 或 x ? 1 ? a 2
若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 例 3 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2

2

解:由不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解为 x ? 2, 或 x ? 3 ,可知
2

a ? 0 ,且方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根分别为 2 和 3, b c ∴? ?5, ? 6, a a b c 即 ? ?5 , ?6. a a 2 由于 a ? 0 ,所以不等式 bx ? ax ? c ? 0 可变为 b 2 c x ?x? ?0 , a a 2 即 - 5x ? x ? 6 ? 0 ,
整理,得

5x2 ? x ? 6 ? 0 ,
所以,不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解是 6 x<-1,或 x> . 5
2

说明:本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题. 练 习
1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0; (2)x2-x-12≤0; (4)16-8x+x2≤0.

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

2

初、高中衔接

江苏省泰州中学数学组

宋健

作业:

1.若 0<a<1,则不等式(x-a)(x- A.a<x<
1 a 1 a

C.x> 或 x<a

1 )<0 的解是 a 1 B. <x<a ? a 1 D.x< 或 x>a ? a

(

)?

2.如果方程 ax2+bx+b=0 中,a<0,它的两根 x1,x2 满足 x1<x2,那么不等式 ax2+bx+b<0 的解是______.?
3.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (2)3x2-4<0;

(3)2x-x2≥-1;

(4)4-x2≤0.

(5)4+3x-2x2≥0;?

(6)9x2-12x>-4;?

4.解关于 x 的不等式 x2-(1+a)x+a<0(a 为常数) .

5.关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解为 x ? ?2或x ? ?
2

1 2

求关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解.
2

3


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