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2017-2018学年高中数学苏教版必修三教学案:第3章 3.4 互斥事件 Word版含答案

2016 年春节前夕,南京市某超市进行有奖促销活动,有一等奖与二等奖奖项,其中中一等奖 的概率为 0.1,中二等奖的概率是 0.25,假设每位顾客只有一次机会. 问题 1:假设顾客甲获奖,说明什么? 提示:说明顾客甲中一等奖或二等奖. 问题 2:通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生? 提示:不能同时发生. 问题 3:在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗? 提示:必有一个发生. 1.互斥事件 (1)定义:不能同时发生的两个事件称为互斥事件. (2)如果事件 A1,A2,?,An 中的任何两个都是互斥事件,就说事件 A1,A2,?,An 彼此互斥. (3)规定:设 A,B 为互斥事件,若事件 A、B 至少有一个发生,我们把这个事件记作 A+B. 2.互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率等于事件 A,B 分别发生的概率的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B). (2)如果事件 A1,A2,?,An 两两互斥,则 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 3.对立事件 (1)定义:两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件,事件 A 的对立事件记 为 A. (2)性质:P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A). -1- 1.从集合的角度理解互斥事件与对立事件.设两个事件分别为 A 和 B,则 (1)事件 A 和 B 互斥可用图(1)表示. (2)事件 A 和 B 对立可用图(2)表示. 2.运用互斥事件的概率公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分 别发生的概率,再求和. [例 1] 判断下列各对事件是否是互斥事件,是否为对立事件.并说明道理. 某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛,其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生; (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生; (3)至少有 1 名男生和全是男生; (4)至少有 1 名男生和全是女生. [思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断. [精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件. 道理是:在所选的两名同学中, “恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”, 它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以 不是对立事件. (2)不可能是互斥事件.从而也不是对立事件. 道理是: “至少有 1 名男生”包括“1 名男生、 1 名女生”和“两名都是男生”两种结果. “至 少有 1 名女生”包括“1 名女生、1 名男生”和“两名都是女生”两种结果,它们可同时发生. -2- (3)不可能是互斥事件.也不是对立事件. 道理是:“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”,这与“全 是男生”可同时发生. (4)是互斥事件.也是对立事件. 道理是:“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果, 它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件. [一点通] 对立事件一定是互斥事件,也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件,在确定了两个事 件互斥的情况下,就要看这两个事件的和是不是必然事件,这是判断两个事件对立的基本方法. 1.下列说法: ①将一枚硬币抛两次,设事件 A:“两次正面朝上”,事件 B:“只有一次反面朝上”,则 事件 A 与 B 是对立事件 ②若事件 A 与 B 为对立事件,则事件 A 与 B 为互斥事件 ③若事件 A 与 B 为互斥事件,则事件 A 与 B 为对立事件 ④若事件 A 与 B 为对立事件,则事件 A+B 为必然事件 其中,正确的个数是________. 解析:由对立事件与互斥事件的定义知,只有②④正确. 答案:2 2.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环. 事件 B:命中环数为 10 环. 事件 C:命中环数小于 6 环. 事件 D:命中环数为 6,7,8,9,10 环. 解:事件 A 与 C 互斥(不可能同时发生),B 与 C 互斥,C 与 D 互斥.又因为事件 C 与事件 D 至少有一个发生,所以 C 与 D 也是对立事件. [例 2] (12 分)某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖 券为一个开奖单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、 -3- 二等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)事件 A、B、C 的概率; (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. [思路点拨] 明确事件的特征,利用互斥事件或对立事件求解. [精解详析] P(A)= 1 10 1 ,P(B)= = , 1 000 1 000 100 P(C)= 50 1 = .?(3 分) 1 000 20 1 1 1 , , .?(4 分) 1 000 100 20 故事件 A,B,C 的概率分别为 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A+B+C.?(5 分) ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)?(6 分) = 1+10+50 61 = . 1 000 1 000 61 .?(7 分) 1 000 故 1 张奖券的中奖概率为 (3)法一:设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等 奖或中一等奖”为对立事件,?(9 分) 1 1 989 ∴P(N)=1-P(A+B)=1-( + )= .?(11 分) 1 000 100 1 000 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .?(12

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