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【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《几何概型》(知识梳理+典例讲解+习题自测,39ppt)_图文

10.10 几何概型 考纲点击 1.了解几何概型的意义和几何概型概率的计算方法. 2.会用几何概率解决实际问题.

考点梳理 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的① ______(②______或③______)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型,简称为④__________. 2.在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下: P(A)=⑤__________________________.
答案:①长度 ②面积 ③体积 ④几何概型 构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? ⑤

考点自测

1.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩 形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概 率等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3

解析:点 E 为边 CD 的中点,故所求的概率 △ABE的面积 1 P= = ,故选 C. 矩形ABCD的面积 2 答案:C

2.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正 方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( ) 1 1 A. B. 4 8 π π C.4 D.8

解析:设正方形的边长为 2,则豆子落在正方形内切圆的 1 2 π × 1 2 π 上半圆中的概率为 4 =8. 答案:D

3.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并且以线段 AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之 间的概率为( ) 1 1 4 12 A.4 B.3 C.27 D.45

解析: 正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间即 AM 的长 9-6 1 度介于 6 到 9 之间,则其概率为 = .选 A. 12 4 答案:A

4.在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 G,以 AG 为半径 作圆,则圆的面积介于 36π~64π cm2 的概率是( ) 9 16 3 1 A.25 B.25 C.10 D.5

解析: 如图, 以 AG 为半径作圆, 圆面积介于 36π~64π cm2, 则 AG 的长度应介于 6~8cm 之间.

2 1 ∴所求概率 P(A)=10=5. 答案:D

5.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC S 的面积大于4的概率是( ) 1 1 A.4 B.2 3 2 C.4 D.3

解析:如图所示,设△ABC 的 BC 边上的高为 AD,在 AB 边上任取一点 P,由点 P 作 PE⊥BC,垂足为 E,则易知当 PE 1 S BP 1 > AD 时,△PBC 的面积大于 ,即当 > 时,△PBC 的面 4 4 BA 4 S 积大于4.

S 记 A={△PBC 面积大于4}. 3 4 3 由几何概型的概率公式,得 P(A)=1=4. 答案:C

疑点清源 1.古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型, 两者的 共同点是基本事件是等可能的, 不同点是基本事件数一个是有 限的, 一个是无限的, 基本事件可以抽象为点. 对于几何概型, 这些点尽管是无限的,但它们所占据的区域是有限的,根据等 可能性,这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比, 而与该区域的位置和形状无关. 2.解决几何概型的关键是准确理解问题的 “测度”.几 何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”.

题型探究 题型一 与长度有关的几何概型 例 1 如图,A、B 两盏路灯之间长度是 30 米,由于光线较 暗,想在其间再随意安装两盏路灯 C、D,问 A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少?

解析:记 E:“A 与 C,B 与 D 之间的距离都不小于 10 1 米”,把 AB 三等分,由于中间长度为 30×3=10 米, 10 1 ∴P(E)= = . 30 3 点评:我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随 机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.

变式探究 1 在半径为 1 的圆周上任取两点,连结两点成 一条弦,则弦长超过此圆内接正三角形边长的概率为 __________.

解析:记 A={弦长超过圆内接正三角形边长}. 如图,取圆内接正三角形的顶点 B 作为弦的一个端点,当 另一个端点 E 在劣弧CD 上时,|BE|>|BC|,而 CD 劣弧长恰为 1 圆周长的3. 1 由几何概型公式有 P(A)=3. 1 答案: 3

题型二 与面积有关的几何概型 例 2ABCD 为长方形, AB=2, BC=1, O 为 AB 的中点. 在 长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的 概率为( ) π π π π A.4 B.1-4 C.8 D.1-8

解析: 如图所示, 长方形 ABCD 的面积为 2, 以 O 为圆心, π 1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)的面积为2, π π 故因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为2÷ 2=4, π 故取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1-4,选 B. 答案:B

点评:本题是一个与面积有关的几何概型问题,当事件 A 可以用面积来衡量时,我们可以利用其与整体事件所对应的面 积的比值来计算事件 A 发生的概率.

变式探究 2 如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木 板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径 a 为 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击 2 中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是 __________.

2 a π a 解析:阴影部分的面积 S=a2-π×(2)2=a2- 4 ,正方形 2 π a a2- 4 π 2 木板的面积为 a ,故击中阴影部分的概率是 a2 =1-4. π 答案:1-4

题型三 与体积有关的几何概型 例 3 已知正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 4,高为 3,在 1 正三棱锥内任取一点 P,使得 VP-ABC<2VS-ABC 的概率是( ) 7 3 1 1 A.8 B.4 C.2 D.4

1 解析:要使 VP-ABC< VS-ABC,需使三棱锥 P-ABC 的高小 2 于三棱锥 S-ABC 的高的一半,过点 P 作底面的平行平面,将 棱锥分成上下两部分,所求概率即为下面棱台的体积与三棱锥 1 1 S - ABC 的 体 积 之 比 , 三 棱 锥 S - ABC 的 体 积 为 3 ×( 2 3 1 1 2 ×4 × 2 )×3 = 4 3 , 上 面 截 得 小 三 棱 锥 的 体 积 是 3 ×( 2 3 4 3- 2 3 3 3 7 2 ×2 × 2 )×2= 2 ,故所求概率为 =8. 4 3 答案:A

点评:解决此类问题,应先根据题意确定该试验为几何概 型,然后求出事件 A 和基本事件的几何度量,借助几何概型的 概率计算公式求出.

变式探究 3 在 2 L 高产优质小麦种子中混入了一粒带白 粉病的种子,从中随机取出 10 mL,求含有白粉病种子的概率 是多少?

解析:取出 10 mL 麦种,其中“含有病种子”这一事件记 取出种子的体积 10 1 为 A,则 P(A)= = = . 2000 200 所有种子的体积 1 答案:200

题型四 生活中的几何概型 例 4 两人约定在 20:00 到 21:00 之间相见,并且先到者必 须等迟到者 40 分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的, 在 20:00 到 21:00 各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约 定时间内相见的概率.

解析:不失一般性,设两人分别于 x 时 和 y 时到达约见地点,要使两人能在约定时 2 间内相见,当且仅当|x-y|≤3. 两人到达约见地点的所有时刻(x,y)的 可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点表示,即阴 影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围 12 1-? ? S阴影 3 8 内相遇的可能性的大小,即 P= = = . 12 9 S单位正方形

点评:解决此题的关键是将已知两个条件转化为线性约束 条件,从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题.

变式探究 4 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们 可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分 别为 4 小时与 2 小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时 间的概率.

解析:甲比乙早到 4 小时内乙须等待,甲比乙晚到 2 小时 内甲须等待. 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一艘 船停靠泊位时须等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在 如图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长 为 24 的正方形,而事件 A“有一艘船停靠泊位时须等待一段 时间”的可能结果由阴影部分表示.

1 1 2 24 -2×22 -2×202 67 由几何概型公式得:P(A)= =288. 242 67 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是288.
2

归纳总结 ?方法与技巧 1.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是 试验的可能结果不是有限个.它的特点是试验结果在一个区域 内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的 形状位置无关,只与该区域的大小有关. 2.几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技巧, 必须熟练掌握.

?失误与防范 1.计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问 题等)转化为相应类型的几何概型问题. 2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事 件之内不影响所求结果.

新题速递
? ?0≤x≤2 1.(2012· 北京卷 )设不等式组 ? ? ?0≤y≤2

表示的平面区域为

D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4

解析:设所求事件为 A,则由题意画出图形,边长为 2 的 1 正方形区域面积为 2×2=4,而阴影部分面积为 4-4×π×22 4-π =4-π.由几何概型概率公式得 P(A)= 4 .

答案:D

2.(2012· 辽宁卷)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面 积大于 20 cm2 的概率为( ) 1 1 2 4 A.6 B.3 C.3 D.5

解析:由于在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C, 因此总的几何度量为 12 cm,满足矩形面积大于 20 cm2 的 点在 C1 与 C2 之间的部分,如图,

8 2 ∴P= = . 12 3 答案:C

3.(2012· 湖北卷)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中, 分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一 点,则此点取自阴影部分的概率是( ) 1 1 A.2-π 1 B. π 2 C.1- π 2 D.π

解析:设图中阴影部分面积为 S1、S2. ?R? πR2 |OA|=R,则 S2-S1= -π·? 2 ?2=0,即 S2=S1.由图形知 4 ? ? R?2 ? ? ? πR2-2R2 ? ? ?π· R?2? = S1 = 2(S 扇 ODC - S △ ODC) = 2 ? ? 2 ? 1 ? ,∴ P = ? ? ? 8 - ·2 2? ?? ? 4 ?π-2?R2 S1+S2 4 2 = πR2 =1-π. S扇AOB 4 答案:C


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