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天津市河北区2015届高三数学第二次模拟考试试题 文


河北区 2014-2015 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学(文史类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位 置粘贴考试用条形码。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: · 如果事件 A,B 互斥,那么 · 球的表面积公式 S= 4?R 2 P(A∪B)=P(A)+P(B) 4 球的体积公式 V= ?R3 · 如果事件 A,B 相互独立,那么 3 P(AB)=P(A) ? P(B) 其中 R 表示球的半径

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知 a,b ? R ,i 是虚数单位,若 (a+i)(1+i)=bi ,则 a +bi= (A) ?1 + 2i (B) 1+ 2i (C) 1 ? 2i (D) 1 ? i

? (2)函数 f ( x) ? tan(2 x ? ) 的单调递增区间是 3

? k ? ? k ? ?? ? ? , ? (k ? Z). ? 2 12 2 12 ? ? ? ?? ? ? (C) ?k ? ? , k ? ? ?(k ? Z). 12 12 ? ?
(A) ?

? k ? ? k ? ?? ? ? , ? ?(k ? Z). ? 2 12 2 12 ? ? ?? ? ? (D) ? k ? ? , k? ? ?(k ? Z). 6 3 ? ?
(B) ?

(3)已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得的弦的长度为 4,则实数

a 的值为
(A) ? 2 (B) ? 4 (C) ? 6 (D) ? 8

(4)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,公差 d ? 0 ,若 S11 ? 132 , a3 ? ak ? 24 , 则正整数 k 的值为 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

-1-

? x ? 0, ? (5)已知变量 x,y 满足的不等式组 ? y ? 2 x, 表示的是一个直角三角形围成的 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
平面区域,则实数 k 的值为 (A) ?2 (B)0 或 ?2 (C) ?
1 2

(D)0 或 ?

1 2

(6)下列说法中错误的是 (A)命题“若 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2 ,则 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ”
x? y? (B)若 x,y ? R, 则“ x ? y ”是“ xy ? ? ? ? ”的充要条件 ? 2 ? (C)已知命题 p 和 q,若 p ? q 为假命题,则 p 与 q 中必一真一假
2

(D)若命题 p: ?x0 ? R,x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0

(7)已知双曲线

a2 x2 y 2 x ? 的右焦点为 ,直线 与一条渐近线 F ( c , 0 ) ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) c a 2 b2

4a a2 2 x 的准线方程为 交于点 A,若 ?OAF 的面积为 (O 为原点),则抛物线 y ? 2 b
(A) x ? ?1 (B) x ? ?2 (C) y ? ?1 (D) y ? ?2

(8)如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中, E,F 分别为边 AB,AC 上的动点,且满足

AE ? m AB , AF ? n AC ,其中 m,n ? ?0, 1?,m ? n ? 1 , M,N 分别是 EF,BC 的
中点,则 MN 的最小值为

(A)

2 4 3 4

(B)

3 3
5 3
质量检测(二)

(C)

(D)

河北区 2014-2015 学年度高三年级总复习 数 学(文史类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔答在答题纸 上。 ... 3. 本卷共 12 小题,共 110 分。

题 号



(15)

(16)

(17)

三 (18)

(19)

(20)

总 分

-2-

分 数

得 分

评卷人

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填 在题中横线上.

(9)以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加 11 场比赛的得分(单位:分) 若甲运动员的中位数为 a,乙运动员的众数为 b,则 a ? b 的值是______________. (10)某程序框图如图所示,则输出的 S 的值是______________.

( 第 9 题 图 ) ( 第 10 题 图 )

(第 11 题图) (11)如图,已知 PA 是圆 O 的切线, A 是切点,直线 PO 交圆

O 于 B,C 两点, D 是 OC
的中点, 连接 AD 并 延 长 交 圆 O 于 点 E , 若
PA ? 2 3,?APB ? 30? ,

则 ( 12 ) 已 知 集 合

AE ?



A ? x x2 ? x ? 0

?

?
, .

, 则

B ? ?x f ( x) ? lg(1 ? x )?
A? B ?

(13)某几何体的三视图都是边长为 2 的正方形,且此几何体的顶点都在球面上,则球 的体积为 .

x ? ?2 ? 1, 0 ? x ? 2, 2 ? , ?x2 ? ? ?2, 2? , (14)已知函数 g(x) ? ax ? 1, f ( x) ? ? 2 对 ?x1 ? ? ?2, ? ?- x , ? 2 ? x ? 0,

使 g( x1 ) = f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是______________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人

(15) (本小题满分 13 分)

-3-

用分层抽样的方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关 数据见下表:(单位:人)

(Ⅰ)求 x,y 的值; (Ⅱ)若从高二、高三年级抽取的人中选 2 人,求这二人都来自高二年级的概率.

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 b ? 4 2 , a ? c ,求 sin(A ? ) 的值.

cos C 3a ? c ? . cos B b

? 6

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

-4-

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD, AD ∥ BC , ?DAB ? 90? ,

PA ? AB ? BC ? 3 , AD ? 1 .
(Ⅰ)求证: BC ⊥平面 PAB ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正切值; (Ⅲ)设点 E 在线段 PC 上,若
PE EC ? 1 2

,求证: DE ∥平面 PAB .

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

已知椭圆

2 x2 y 2 ,以椭圆上任一点与左,右焦点 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

F1,F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

???? (Ⅱ)若直线 l1 过原点 O ,直线 l 2 与直线 l1 相交于点 Q , OQ ? 1 ,且 l 2 ⊥ l1 ,
直线 l 2 与椭圆交于 A, B 两点,问是否存在这样的直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立. 若存在,求出直线 l 2 的方程;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

-5-

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? nan ? 3n ( n ? 1) (n∈N ),且 a2 ? 11 .
*

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)设数列 {bn } 满足 bn ?

n Sn

,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ?

2 3

3n ? 2 .

请将答案写在答题纸上

-6-

得 分

评卷人

(20) (本小题满分 14 分)

设函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值.

请将答案写在答题纸上 河北区 2014-2015 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学 答 案(文) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)8;
1) (12) [0,

(10)

25 ; 12

(11)

(13) 4 3? ;

10 7 ; 7 (14) ? ?1, 1? .
-7-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) x y 2 ,y ? 3 . 解: (Ⅰ)由题意可得 ? ? ,∴ x ? 11 99 27 18

?? 4 分

(Ⅱ)记从高二年级抽取的 3 人为 b1,b2,b3 ,从高三年级抽取的 2 人为 c1,c2 , 则从这两个年级中抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有:

?b1,b2 ? ,?b1, b3 ? ,?b2,b3 ? ,?b1,c1? ,?b1, c2 ? ,?b2, c1? ,?b2,c2 ? ,?b3, c1? , ?? 8 分 ?b3,c2 ? , ?c1, c2 ? 共 10 种,
设选中的 2 人都来自高二年级的事件为 A, 则 A 包含的基本事件有: ?b1,b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2,b3 ? 共 3 种.?? 10 分 ∴ P( A) ?
3 3 ,即选中的 2 人都来自高二年级的概率为 . 10 10

?? 13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由正弦定理可得

cos C 3sinA ? sinC ? , cos B sinB 即 sinB cos C ? 3sinA cos B ? sinC cos B ,
∴ sin(B ? C ) ? 3sinA cos B . ?? 4 分 又 B ? C ? ? ? A ,∴ sin(B ? C ) ? sinA . ∴ sinA ? 3sinAcos B . ∵ sinA ? 0 ,∴ cos B ? ?? 5 分

?? 2 分

1 . 3

??6 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中,由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,

1 2 2 2 代入得 a ? c ? ac ? 32 , 3 3 2 又 a ? c ,∴ a ? 24 . ??8 分
将 b ? 4 2 , cos B ?

6 b2 ? c2 ? a2 3 ? , sin A ? . ??11 分 3 2bc 3 ? 3 2? 3 ∴ sin(A ? ) ? . ??13 分 6 6
∴ cos A ? (17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)∵ AD ∥ BC ,且 ?DAB ? 90? , ∴ BC ⊥ AB . ?? 1 分 又 PA ⊥底面 ABCD, BC ? 平面 ABCD ∴ PA ⊥ BC . ?? 2 分

-8-

又 PA ∩ AB ? A , ∴ BC ⊥平面 PAB . ???4 分 解: (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ⊥平面 PAB ∴ ?CPB 是 PC 与平面 PAB 所成的角. 由已知得 PB ? 3 2 , ∴ tan ?CPB ? ???6 分

BC 2 ? . 2 PB
2 . 2
???9 分

∴ PC 与平面 PAB 所成角的正切值为

(Ⅲ)在平面 PBC 内过点 E 作 BC 的平行线交 PB 于点 F ,连接 AF , ∵

PE 1 EF 1 ? , ∴ ? . EC 2 BC 3

∴ EF ? AD ,又 EF ∥ AD , ∴ ADEF 是平行四边形. ∴ AF ∥ DE . ???10 分

???11 分

又 AF ? 平面 PAB , DE ? 平面 PAB , ∴ DE ∥平面 PAB . ???13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意,得 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) , ∴ a ? 2 2,c ? 2,b ? 2 . ∴椭圆的标准方程为

c 2 ? , a 2

?? 2 分

x2 y 2 ? ?1. 8 4

??4 分

(Ⅱ)假设存在直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立.
2 2 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),Q(m,n) ,且 m ? n ? 1 ,

则直线 l1 的方程为 nx ? my ? 0 ,直线 l 2 的方程为 mx ? ny ? 1 . (1)当 n ? 0 时,此时直线 l 2 的方程为 x ? ?1,可得 A(1, 或 A(?1,
14 14 ? ), ) , B(1, 2 2

14 14 ? ), 代入 AQ ? BQ ? ?1 ,不符题意; ?? 5 分 ) , B ( ?1, 2 2

(2)当 n ? 0 时,将直线 l 2 的方程 mx ? ny ? 1 与椭圆方程
2 2 2 2 2 又 m ? n ? 1 ,得 (1 ? m ) x ? 4mx ? 2 ? 8n ? 0 .

x2 y 2 ? ? 1 联立, 8 4

?? 6 分

-9-

∴ x1 ? x2 ?

4m 2 ? 8n 2 x x ? , . 1 2 1 ? m2 1 ? m2

?? 7 分

又∵ AQ ? BQ ? ?1 , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? m( x1 ? x2 ) ? n( y1 ? y2 ) . 又 mx1 ? ny1 ? 1,mx2 ? ny2 ? 1, ∴ m( x1 ? x2 ) ? n( y1 ? y2 ) ? 2 . ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又∵ y1y2= ?? 9 分 ?? 10 分

1 ? mx1 1 ? mx2 1 ? m 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? ? , n n n2
?? 11 分

2 2 ∴ n x1 x2 ? 1 ? m x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? 0 .

∴ x1 x2 ? 1 ? m( x1 ? x2 ) ? 0 .
2 ∴ ? 5n ? 0 .

∴ n ? 0, 这与 n ? 0 矛盾.

?? 12 分 ?? 13 分

综上可知,不存在这样的直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立. 法 2 :假设存在直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立.

(1)当直线 l 2 的斜率不存在时,此时直线 l 2 的方程为 x ? ?1 ,可得 A(1,
B(1, ? 14 14 14 ),或 A(?1, ) , B ( ?1, ? ), 代入 AQ ? BQ ? ?1 , 2 2 2

14 ), 2

不符题意; ??5 分 (2)当直线 l 2 的斜率存在时,设直线 l 2 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m, ? 联立 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 . ? ? 1 ? 4 ?8 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),

??6 分

∴ x1 ? x2 ?

?4km 2m 2 ? 8 x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

(? )

??7 分

? AQ ? BQ ? (OQ ? OA) ? (OQ ? OB) ? OQ ? OA ? OQ ? OB ? OQ ? OA ? OB ? ?1 ,
?OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ??9 分
即 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 将( ? )代入,化简可得 3m 2 ? 8k 2 ? 8 . ??10 分 m 2 2 又d ? ?? 11 分 ? 1 ,即 m ? k ? 1 , 2 k ?1

? k ? ?1 不成立.
2

??12 分 ?? 13 分

综上可知,不存在这样的直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立. (19) (本小题满分 14 分)

- 10 -

解: (Ⅰ)由 S 2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3 ? 2(2 ? 1) 和 a2 ? 11 ,可得 a1 ? 5 . (Ⅱ)法 1:当 n ? 2 时,由 an ? S n ? S n ?1 , 得 an ? nan ? 3n(n ? 1) ? ?(n ? 1)an?1 ? 3(n ? 1)(n ? 2)? , 即 (n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 ? 6(n ? 1) . ∴ an ? an?1 ? 6(n ? N?,n ? 2) ?? 6 分

?? 2 分

∴数列 {an } 是首项 a1 ? 5 ,公差为 6 的等差数列. ∴ an ? a1 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 1 . ∴ Sn ? ?? 9 分 ?? 10 分

?? 8 分

n(a1 ? an ) ? 3n 2 ? 2n . 2

法 2:当 n ? 2 时,由 S n ? nan ? 3n(n ? 1) ? n( S n ? S n ?1 ) ? 3n(n ? 1) (n ? 2) 可得 (n ? 1) S n ? nS n ?1 ? 3n(n ? 1) ∴数列 ?
? S n S n ?1 ? ? 3 (n ? 2) . n n ?1

???? 8 分

? Sn ? S1 ? 是首项 ? 5 ,公差为 3 的等差数列. 1 ?n?

???? 9 分

?

Sn 2 ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 S n ? 3n ? 2n . n

???? 10 分

(Ⅲ)? bn ?

n 1 2 2 ? ? ? Sn 3n ? 2 2 3n ? 2 3n ? 1 ? 3n ? 2

???? 12 分

( 2 3n ? 2 ? 3n ? 1) 2 ? = ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) , ( 3n ? 2+ 3n ? 1)( 3n ? 2 ? 3n ? 1) 3

2 ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? [( 5 ? 2) ? ( 8 ? 5) ? ? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1)] 3
? 2 2 ( 3n ? 2 ? 2) ? 3n ? 2 . 3 3

∴ 命题得证. ???? 14 分

(20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (0, +?) .

?? 1 分

a 2x2 ? (a ? 2) x ? a ? x x (2 x ? a)( x ? 1) ?? 4 分 ? ( x ? 0) . x 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, +?) 上单调递增,
由已知得, f ?( x) ? 2x ? (a ? 2) ?
- 11 -

?? 5 分 +?) ; ? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, a a 当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ;由 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? , 2 2 a a +?) . ?? 7 分 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,若函数有两个零点, a 则 a ? 0 ,且 f ( x) 的最小值 f ( ) ? 0 , ??9 分 2 a 即 ?a 2 ? 4a ? 4a ln ? 0. ??10 分 2 a ? a ? 0 ? a ? 4 ? 4 ln ? 0. 2 a 令 h(a) ? a ? 4 ? 4ln ,显然 h(a) 在 (0, +?) 上为增函数, 2 3 81 且 h(2) ? ?2 ? 0,h(3) ? 4ln ? 1=ln ? 1 ? 0, 2 16 ? ? a ? 2 , 3 h ( a ) ? 0 ∴存在 0 ,且 . ??12 分 0
当0 < a < a0时,h(a) < 0 ; 当a > a0时,h(a) > 0.

? 满足条件的最小正整数 a ? 3.

又当 a ? 3 时, f (3) ? 3(2 ? ln 3) ? 0,f (1) ? 0, 综上所述,满足条件的最小正整数 a ? 3. ??14 分

- 12 -


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