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2016高三数学第二轮专题复习系列(1)——集合与简易逻辑


2016 高三数学第二轮专题复习系列(1)--集合与简易逻辑
一、 【重点知识结构】 集合及元素 集合的基本概念 集合分类及表示 子集、包含与相等 交集、并集、补集 集合的应用 解含绝对值符号、 一元 二次、 简单分式不等式 逻辑联结词 命题 简单命题与复合命题

集合

集合与集合的关系

简易逻辑 性

四种命题及其关系 充分必要条件

二、 【高考要求】 1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意 义,能掌握有关的述语和符号,能正确地表示一些较简单的集合. 2. 理解|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的概念, 并掌握它们的解法.了解二次函数、 一元二次不等式及一 元二次方程三者之间的关系,掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法. 3. 理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的意义和判 定. 4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题,形成良好的思维品质;学会判断 和推理,解决简易逻辑问题,培养逻辑思维能力. 三、 【高考热点分析】 集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识,是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两 个方面: 一是集合的运算、 集合的有关述语和符号、 集合的简单应用、 判断命题的真假、 四种命题的关系、 充要条件的判定等作基础性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等 式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和 数学能力,题型常以解答题的形式出现. 四、 【高考复习建议】 概念多是本章内容的一大特点,一是要抓好基本概念的过关,一些重点知识(如子、交、并、补集及充要 条件等)要深刻理解和掌握;二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现,特别是数形结合 思想,要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题. 五、 【例 题】 【例1】 设 x, y ? R, A ? {a | a ? x 2 ? 3x ? 1}, B ? {b | b ? y 2 ? 3 y ? 1} ,求集合 A 与 B 之间的 第 1 页 共 8 页

关系。
3 5 5 5 解:由 a ? x 2 ? 3x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? ,得 A= {x | x ? ? } 2 4 4 4 3 5 5 b ? y 2 ? 3 y ? 1 ? ( y ? ) 2 ? ? ? ∴A=B 2 4 4

【例2】 已知集合 A= {x | x 2 ? 3x ? 10 ? 0} ,集合 B= {x | p ? 1 ? x ? 2 p ? 1} ,若 B ? A,求实 数 p 的取值范围。 解:若 B=Φ 时, p ? 1 ? 2 p ? 1 ? p ? 2
? p ?1 ? 2 p ?1 ? 若 B≠Φ 时,则 ?? 2 ? p ? 1 ? 2 ? p ? 3 ?2 p ? 1 ? 5 ?

综上得知: p ? 3 时,B ? A。

【例3】 已知集合 A ? {( x, y) |

y ?3 ? a ? 1} ,集合 B= {( x, y) | (a 2 ? 1) x ? (a ? 1) y ? 30} 。如 x?2

果 A ? B ? ? ,试求实数 a 的值。 解:注意集合 A、B 的几何意义,先看集合 B; 当 a=1 时,B=Φ ,A∩B=Φ 当 a=-1 时,集合 B 为直线 y=-15,A∩B=Φ 当 a≠±1 时,集合 A: y ? 3 ? (a ? 1)( x ? 2) , (2,3) ? A ,只有 (2,3) ? B 才满足条件。 故 (a 2 ?1) ? 2 ? (a ?1) ? 3 ? 30 ;解得:a=-5 或 a=
7 7 ∴a=1 或 a= 或 a=-1 或 a=-5。 2 2

【例4】 若集合 A= {3 ? 2 x,1,3} ,B= {1, x 2 } ,且 A ? B ? {3 ? 2 x,1,3} ,求实数 x。 解:由题设知 A ? B ? A ,∴ B ? A ,故 x 2 ? 3 或 x 2 ? 3 ? 2 x 即 x ? ? 3 或 x ? 1 或 x ? ?3 ,但当 x ? 1 时, 3 ? 2x ? 1 不满足集合 A 的条件。∴实数 x 的值为 ?3 或 ? 3 。 【例5】 已知集合 A= {x | 10 ? 3x ? x 2 ? 0} ,B= {x | x 2 ? 2x ? 2m ? 0} ,若 A ? B ? B ,求实数 m 的值。 解:不难求出 A= {x | ?2 ? x ? 5} ,由 A ? B ? B ? B ? A ,又 x 2 ? 2 x ? 2m ? 0 , ? ? 4 ? 8m ①若 4 ? 8m ? 0 ,即 m ? ②若 4 ? 8m ? 0 ,即 m ?
1 ,则 B ? ? ? A 2

? 1 1 ?1 ? 1 ? 2m ? ?2 , B ? {x | 1 ? 1 ? 2m ? x ? 1 ? 1 ? 2m} ,∴ ? ? ?4 ? m ? 2 2 ? ?1 ? 1 ? 2m ? 5

故由①②知:m 的取值范围是 m ? [?4,??) 注:不要忽略空集是任何集合的子集。 【例6】 已知集合 A={ x | x 2 ? ax ? a 2 ?19 ? 0 },B= {x | log2 ( x 2 ? 5x ? 8) ? 1} ,C= {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} , 若 A ? B ? ? 与 A ? C ? ? 同时成立,求实数 a 的值。 解:易求得 B= {2,3} ,C= {2,?4} ,由 A ? B ? ? 知 A 与 B 的交集为非空集。故 2,3 两数中至少有一适合方 程 x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 第 2 页 共 8 页

又 A ? C ? ? ,∴ 2 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 得,a=5 或 a=-2 当 a=5 时,A= {2,3} ,于是 A ? C ? {2} ? ? ,故 a=5 舍去。 当 a=-2 时,A= {2,5} ,于是 A ? B ? {3} ? ? ,∴a=-2。 【例7】 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | 2x 2 ? ax ? 2 ? 0} ,A∪B=A,求 a 的取值构成的集合。 解:∵A∪B=A,∴ B ? A ,当 B ? ? 时 a 2 ? 16 ? 0 ,∴-4<a<4,
A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ? {1,2} ,当 1∈B 时,将 x=1 代入 B 中方程得 a=4,此时 B={1},当 2∈B 时,将

x=2 代入 B 中方程得 a=5,此时 B ? { ,2}?A ,a=5 舍去,∴-4<a≤4。 【例8】 已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | ax ? 2 ? 0} 且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C。 解:由 A={1,2},由 A∪B=A,即 B ? A ,只需 a×1-2=0,a=2 或 a×2-2=0,a=1。 另外显然有当 a=0 时, B ? ? 也符合。所以 C={0,1,2}。 【例9】 某车间有 120 人,其中乘电车上班的 84 人,乘汽车上班的 32 人,两车都乘的 18 人,求: (1)只乘电车的人数; (2)不乘电车的人数; (3)乘车的人数; (4)不乘车的人数; (5)只乘一种车的人数。 解:本题是已知全集中元素的个数,求各部分元素的个数,可用图解 法。设只乘电车的人数为 x 人,不乘电车的人数为 y 人,乘车的人数为 z 人,不乘车的人数为 u 人,只乘一种车的人数为 v 人 如图所示(1)x=66 人, (2)y=36 人, (3)z=98 人, (4)u=22 人, (5) v=80 人。 【例10】 ( 2004 届 湖 北 省 黄 冈 中 学 高 三 数 学 综 合 训 练 题 ) 已 知 M 是 关 于 x 的 不 等 式

1 2

2x 2 ? (3a ? 7) x ? (3 ? a ? 2a 2 ) ? 0 的解集,且 M 中的一个元素是 0,求实数 a 的取值范围,并用 a 表
示出该不等式的解集. 解:原不等式即 (2 x ? a ? 1)(x ? 2a ? 3) ? 0 ,

3 . 2 a ?1 a ?1 5 ? (?a ? 1) ? 5 , ∴ 3 ? 2a ? 若 a ? ?1 , 则 ? 2 a ? 3 ? ,此时不等式的解集是 2 2 2 a ?1 {x | ? x ? 3 ? 2a} ; 2 a ?1 3 a ?1 5 5 ? (?a ? 1) ? ? ,∴ 3 ? 2a ? 若 a ? ,由 ? 2a ? 3 ? , 2 2 2 2 4 a ?1 }. 此时不等式的解集是 {x | 3 ? 2a ? x ? 2
由 x ? 0 适合不等式故得 (a ? 1)(2a ? 3) ? 0 ,所以 a ? ?1 ,或 a ?
2 【例11】 已知 a ? 1 , 设命题 P : a( x ? 2) ? 1 ? 0 , 命题 Q : ( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 1 .试寻求使得 P、Q

都是真命题的 x 的集合. 第 3 页 共 8 页

解:设 A ? {x | a( x ? 2) ? 1 ? 0} ,B ? {x | ( x ? 1) 2 ? a( x ? 2) ? 1} , 依题意,求使得 P、Q 都是真命题的 x 的集合即是求集合 A ? B ,

1 1 ? ? ?a( x ? 2) ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? 2 ? ∵? ?? ?? a a 2 ?( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 1 ? x 2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 ?( x ? a)( x ? 2) ? 0 ? ? 1 ? ?x ? 2 ? ∴若 1 ? a ? 2 时,则有 ? , a ? ? x ? 2或x ? a
而 a ? (2 ?

1 1 1 ) ? a ? ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 ? , a a a 1 ? x ? a} ; a

即当 1 ? a ? 2 时使 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? 2或2 ?

1 ? 3 ?x ? 2 ? 当 a ? 2 时易得使 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? , 且x ? 2} ;若 a ? 2 ,则有 ? , a 2 ? ? x ? a或x ? 2
此时使得 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? a或2 ? 综合略.

1 ? x ? 2} . a

1 ? 0 ,请选取适当的实数 a 的值,分别利用所 2 x ? 3x ? 1 给的两个条件作为 A、B 构造命题: “若 A 则 B” ,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题. 则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 分析:本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一,使得本题的求解没有固定的模式,考生既能
【例12】 已知条件 p :| 5 x ? 1 |? a 和条件 q :
2

在一般性的推导中找到一个满足条件的 a ,也能先猜后证,所找到的实数 a 只需满足

1? a ? 1 即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性,同时也是对于四个命题考查的一种新尝试,如此命 5
题可以考查学生探究问题、解决问题的能力,符合当今倡导研究性学习的教学方向. 解:已知条件 p 即 5 x ? 1 ? ? a ,或 5 x ? 1 ? a ,∴ x ? 已知条件 q 即 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 令 a ? 4 ,则 p 即 x ? ?

1? a 1 ? ,且 5 2

1? a 1? a ,或 x ? , 5 5

1 ,或 x ? 1 ; 2

3 ,或 x ? 1 ,此时必有 p ? q 成立,反之不然. 5 故可以选取的一个实数是 a ? 4 ,A 为 p ,B 为 q ,对应的命题是若 p 则 q ,
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 【例13】 已知 p :|1 ?

x ?1 |? 2,q : x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ;? p 是? q 的必要不充分条件,求实数 3

m 的取值范围.
第 4 页 共 8 页

x ?1 得 ? 2 ? x ? 10 ,由 x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) , |? 2, 3 ∴? p 即 x ? ?2 ,或 x ? 10 ,而? q 即 x ? 1 ? m ,或 x ? 1 ? m ( m ? 0) ; 由? p 是? q 的必要不充分条件,知? q ? ? p ,
解:由 | 1 ? 设 A= {x | x ? ?2,或x ? 10} ,B= {x | x ? 1 ? m,或x ? 1 ? m(m ? 0)} ,

?1 ? m ? ?1, ? 则有 A ? B ,故 ?1 ? m ? 10, 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号, ? ?m ? 0, ?
解得 0 ? m ? 3 ,此即为“? p 是? q 的必要不充分条件”时实数 m 的取值范围. 【例14】 已知函数 f ( x) ? loga x ,其中 a ?{a | 20 ? 12a ? a 2 } . (1)判断函数 f ( x) ? loga x 的增减性; (2) (文)若命题 p : | f ( x ) |? 1 ? f (2 x ) 为真命题,求实数 x 的取值范围. (2) (理)若命题 p : | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 为真命题,求实数 x 的取值范围.
2 解: (1)∵ a ?{a | 20 ? 12a ? a 2 } ,∴ a ? 12a ? 20 ? 0 ,

即 2 ? a ? 10 ,∴函数 y ? loga x 是增函数; (2) (文) | f ( x ) |? 1 ? f (2 x ) 即 | loga 当 0 ? x ? 1 , loga

x | ? loga 2 x ? 1 ,必有 x ? 0 ,

x ? 0 ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1 ,

∴ loga 2 ? 1 ,这显然成立,此时 0 ? x ? 1 ; 当 x ? 1 时, loga

x ? 0 ,不等式化为 loga x ? loga 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 a }. 2

∴ loga 2 x ? 1 ,故 x ?

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x | 0 ? x ? (2) (理) | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 即 | loga 当0 ? x ?

x | ? | loga 2 x |? 1 ,必有 x ? 0 ,

1 时, loga 4

x ? loga 2 x ? 0 ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1,
1 1 1 ?x? ; ,此时 2a 2a 4

∴ ? loga 2 x ? 1 ,故 loga 2x ? ?1 ,∴ x ? 当

1 ? x ? 1 时, loga 4

x ? 0 ? loga 2 x ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1 ,

第 5 页 共 8 页

∴ loga 2 ? 1 ,这显然成立,此时 当 x ? 1 时, 0 ? loga ∴ loga 2 x ? 1 ,故 x ?

1 ? x ?1; 4

x ? loga 2 x ,不等式化为 loga x ? loga 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 1 a ? x ? }. 2a 2

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x |

六、 【专题练习】
一、选择题 1.已知 I 为全集,集合 M、N?I,若 M?N=M,则有: (D) A.M?( C u N ) B.M?( C u N ) C. (C u M ) ? (C u N )

D. (C u M ) ? (C u N )

2.若非空集合 A、B 适合关系 A?B,I 是全集,下列集合为空集的是: (D) A. A ? B B. (Cu A) ? (Cu B) C. (CU A) ? B D. A ? (CU B) 3.已知集合 A={0,1,2,3,4},B={0,2,4,8},那么 A∩B 子集的个数是: (C) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 4.满足{a} ? X ? {a,b,c}的集合 X 的个数有 ( B ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5.已知集合 I、P、Q 适合 I=P ? Q={1,2,3,4,5} ,P ? Q={1,2}则(P ? Q) ? ( Cu P ? C u Q )为 ( C ) (A) {1,2,3} (B) {2,3,4} (C) {3,4,5} (D) {1,4,5} 6.已知 I 为全集·集合 M,N 是 I 的子集 M ? N=N,则 ( B ) (A) (C u M ) ? (C u N ) (B) (C u M ) ? (C u N ) (C)M ? ( C u N ) (D)M ? ( C u N ) 7.设 P={x| x≥-2},Q={x | x≥3} ,则 P ? Q 等于 ( D ) (A)?(B)R(C)P(D)Q 8.设集合 E={n|n=2k , k ? Z} ,F={n|n=4k , k ? Z} ,则 E、F 的关系是 ( B ) (A)E ? F (B)E ? F (C)E=F (D)E ? F=? 9.已知集合 M= {x | ?2 ? x ? 2} ,N={ x || x -1|≤2},则 M ? N 等于 (A) {x | ?2 ? x ? 3} ( B )

(B) {x | ?1 ? x ? 2} (C) {x | ?2 ? x ? ?1} (D) {x | 2 ? x ? 3}

10.已知集合 I=R,集合 M={ x | x = (A)M ? P=?

1
2
n

,n ? N},P={ x | x =

1
4n

,n ? N},则 M 与 P 的关系是

( B )

(B) (CU M ) ? P=?

(C)M ? (CU P) =?

(D) (CU M ) ? (CU P) =?

11.已知集合 A={y|y= 2 x , x ? R},B={y|y= x2 x ? R},则 A ? B 等于 ( C ) (A){2,4} (B){(2,4) , (4,16)} (C){ y|y ≥0} (D){ x| x<0} 12.设全集 I=R,集合 P= {x | ( x ? 4)(2 ? x) ? 0} ,集合 Q={ x | x+4>0},则 ( D ) (A)P ? Q=? (B)P ? Q=R (C) (CU P) ? Q= (CU P) 二、解答题 1、设 A= {x | 4x ? x 2 ? ax},B= {x | 0 ? x ? 1} ;若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 解:由图象法解得:
o y

(D) (CU P) ? (CU Q) ={-4}

x

第 6 页 共 8 页

当 a>0 时, A ? {x | 0 ? x ?

4 1? a 2

} ;当 a≤0 时, A ? {x | 0 ? x ? 4}

∴要使得 A ? B,必须且只须

4 1? a 2

? 1 ,解得 a ? 3

1 1 2、已知 A= {x | | x ? (a ? 1) 2 |? (a ? 1) 2 } ,B= {x | x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0} 。若 A ? B,求实数 a 的取值范 2 2

围。 解:易得 A ? {x | 2a ? x ? a 2 ? 1} ,由 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 得 ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0 ⑴当 3a+1>2,即 a ?
? 1 ?2a ? 2 时, B ? {x | 2 ? x ? 3a ? 1} 要使 A ? B,必须 ? 2 ?1? a ? 3, 3 ? ?a ? 1 ? 3a ? 1

⑵当 3a+1=2,即 a ? 当 3a+1<2,即 a ?

1 时, B ? {2} ;要使 A ? B,a=1 3

?2a ? 3a ? 1 1 ? 时, B ? {3a ? 1 ? x ? 2} ⑶要使 A ? B,必须 ? 2 ? a ? ?1 3 ? ?a ? 1 ? 2

综上知: a ? ?1或 a ? [1,3]
2 3、已知集合 A= { y | y ? x 2 ? 2mx ? 4, x ? R} ,B= {x | log3 x ? log1 x ? 0} ,且 A ? B ? ? ,求实数 m 的值。 3

解: B ? {x | 1 ? x ? 3} , A ? {x | x ? 4 ? m 2 } ,由 4 ? m 2 ? 3 得: m ? (??,?1] ? [1,??) 4、已知集合 A= { y | y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a(a 2 ? 1) ? 0} ,B= { y | y ? 数 a 的取值范围。 解:B= {x | 2 ? x ? 4} ,由 y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a(a 2 ? 1) ? 0 得: ( y ? a)( y ? a 2 ?1) ? 0
a 2 ? 1 ? 4 或 a ? 2 所以 a ? (? 3, 3 ) ? (2,??) 因为 a 2 ? 1 ? a , 所以 A= {x | x ? a 2 ? 1或x ? a} 。 由 A ? B ? ? 得:

1 2 5 x ? x ? ,0 ? x ? 3} ;若 A ? B ? ? ,求实 2 2

5、已知集合 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | qx2 ? px ? 1 ? 0} 同时满足① A ? B ? ? ,② A ? C u B ? {?2} ,其 中 p、q 均为不等于零的实数,求 p、q 的值。 解:条件①是说集合 A、B 有相同的元素,条件②是说-2∈A 但 ? 2 ? B ,A、B 是两个方程的解集, 方程 x 2 ? px ? q ? 0 和 qx2 ? px ? 1 ? 0 的根的关系的确定是该题的突破口。
2 2 ? px0 ? q ? 0 ,两边同除以 x0 ,得 设 x0 ? A ,则 x0 ? 0 ,否则将有 q=0 与题设矛盾。于是由 x0

q(

1 2 1 1 ) ?p ? 1 ? 0 ,知 ? B ,故集合 A、B 中的元素互为倒数。 x0 x0 x0

由①知存在 x0 ? A ,使得

1 1 ,得 x0 ? 1 或 x0 ? ?1 。 ? B ,且 x0 ? x0 x0

由②知 A={1,-2}或 A={-1,-2}。 ? p ? ?(1 ? 2) ? 1; 1 若 A={1,-2},则 B ? {1,? } ,有 ? 2 ? q ? 1 ? ( ?2 ) ? ? 2 . 第 7 页 共 8 页

1 同理,若 A={-1,-2},则 B ? {?1,? } ,得 p=3,q=2。综上,p=1,q=-2 或 p=3,q=2。 2

6、 已知关于 x 的不等式 x ? 求实数 a 的取值范围。

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ,x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 的解集依次为 A、 B, 且 A? B ? φ 。 ? 2 2

解: A ? {x | 2a ? x ? a 2 ? 1} ,B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}∵ A ? B ? φ ①当 3a+1≥2 时,B={x|2≤x≤3a+1}∴3a+1<2a 或 a 2 ? 1 ? 2 ,∴
1 ? a ?1 3 1 3

②当 3a+1<2 时,B={x|3a+1≤x≤2}∴2a>2 或 3a ? 1 ? a 2 ? 1,∴ 0 ? a ?

7、已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R} ,若 B ? {x | x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0, x ? R} ,且 A ? B ? A ,求实数 a。 解:∵A∪B=A,∴ B ? A 。∵A={1,2},∴ B ? ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}。 若 B ? ? ,则由△<0 知,不存在实数 a 使原方程有解; 若 B={1},则由△=0 得,a=2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则由△=0 得,a=2,此时 2 不是方程的根,∴不存在实数 a 使原方程有解; 若 B={1,2},则由△>0,得 a∈R,且 a≠2, 此时将 x=1 代入方程得 a∈R,将 x=2 代入方程得 a=3。综上所述,实数 a 的值为 2 或 3。

第 8 页 共 8 页


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