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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《三角函数、平面向量》


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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练《三角函数、平面向量》 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2011· 陕西高考)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( A.若 a≠-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b B.若 a=-b,则|a|≠|b| D.若|a|=|b|,则 a=-b )

解析:只需将原命题的结论变为新命题的条件,同时将原命题的条件变成新命题的结 论即可,即“若|a|=|b|,则 a=-b” . 答案:D 2. 已知函数 y=loga(x-1)+3(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 P, 若角 α 的终边经过点 P, 则 sin2α-sin2α 的值等于( 3 A. 13 C.- 3 13 ) 5 B. 13 D.- 5 13 3 13 2 13 ,cosα= .于 13 13

解析:依题意知定点 P(2,3),又角 α 的终边经过点 P,则 sinα=

3 13 2 3 13 2 13 3 是 sin2α-sin2α=sin2α-2sinαcosα=( ) -2× × =- . 13 13 13 13 答案:C 3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c 则 λ=( 1 A. 4 C.1 1 B. 2 D.2 1 2 )

解析:可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4-3×2=0,∴λ= 答案:B

π π π 4.(2011· 山东高考)若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上 3 3 2 单调递减,则 ω=( 2 A. 3 C.2 ) 3 B. 2 D.3

π 解析:由于函数 f(x)=sinωx 的图像经过坐标原点,根据已知并结合函数图像可知, 为 3 这个函数的四分之一周期,故 答案:B π 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图像如图所示,则 ω,φ 的值分别 2
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2π 4π 3 = ,解得 ω= . ω 3 2

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为( ) A.2,0 π C.2,- 3

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π 4 π 6
[:]

B.2,

D.2,

3 11π π 2π π π 解析:由图可知 A=1, T= - ,所以 T=π,又 T= ω ,所以 ω=2;又 f( )=sin( 4 12 6 6 3 π π π +φ)=1, +φ= ,φ= ,故选 D. 3 2 6 答案:D π 1 6.(2011· 辽宁高考)设 sin( +θ)= ,则 sin2θ=( 4 3 A.- 1 C. 9 7 9 B.- 7 D. 9 1 9 )

π π 1 7 解析:sin2θ=-cos( +2θ)=2sin2( +θ)-1=2×( )2-1=- . 2 4 3 9 答案:A x 7.(2011· 山东高考)函数 y= -2sinx 的图像大致是( 2 )

1 1 解析:y′= -2cosx,令 y′=0,得 cosx= ,根据三角函数的知识知这个方程有无 2 4 x x 穷多解,即函数 y= -2sinx 有无穷多个极值点,函数 y= -2sinx 是奇函数,图像关于坐 2 2 标原点对称,故只能是选项 C 的图像. 答案:C 1 8.(2011· 东城模拟)向量 a=( , 3sinx),b=(cos2x,cosx),f(x)=a· b,为了得到函数 2 y=f(x)的图像,可将函数 y=sin2x 的图像( π A.向右平移 个单位长度 6 B.向右平移 π 个单位长度 12 )

π C.向左平移 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12
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1 1 3 π 解析:由题知,f(x)=a· cos2x+ 3sinxcosx= cos2x+ sin2x=sin(2x+ ),为了 b= 2 2 2 6 π 得到函数 y=f(x)的图像,可将 y=sin2x 的图像向左平移 个单位长度. 12 答案:D 9.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c| 的最大值是( A. 7 C. 3 ) B. 2 D. 5

解析:由题意得,|a|=|b|=1,a· b=0. 又(a-c)· (b-c)=0,所以|c|2=c· (a+b)=|c|· |a+b|cosθ,其中 θ 是 c 与 a+b 的夹角,所 以|c|=|a+b|cosθ= 2cosθ,又 θ∈[0,π],所以|c|的最大值是 2. 答案:B π π 10. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数, f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立, f( )>f(π), 若 且 6 2 则 f(x)的单调递增区间是( )

π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π B.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π 2π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π D.[kπ- ,kπ](k∈Z) 2 π π π 解析:因为当 x∈R 时,f(x)≤|f( )|恒成立,所以 f( )=sin( +φ)=± 1,可得 φ=2kπ+ 6 6 3 π 5π π 或 φ=2kπ- .因为 f( )=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ,故 sinφ<0,所以 φ 6 6 2 =2kπ- 5π 5π π 5π π ,所以 f(x)=sin(2x- ),函数的单调递增区间为- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 6 6 2 6 2

π 2π 所以 x∈[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 答案:C 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.用 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值,若函数 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于 1 直线 x=- 对称,则 t 的值为________. 2 1 解析:因为函数 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线 x=- 对称,所以函数 y=|x|与 2

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-t+0 1 1 x 轴的交点和 y=|x+t|与 x 轴的交点也关于直线 x=- 对称,即 =- ?t=1, 2 2 2 答案:1 12.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为__________. 解析: 不妨设角 A=120° c<b, a=b+4, , 则 c=b-4, 于是 cos120° = 1 1 =- ,解得 b=10,所以 S= bcsin120° =15 3. 2 2 答案:15 3 1 13.已知非零向量 a、b 满足|a|= 3|b|,若函数 f(x)= x3+|a|x2+2a· bx+1 在 x∈R 上 3 有极值,则〈a,b〉的取值范围是________. 1 解析:∵f(x)= x3+|a|x2+2a· bx+1 在 x∈R 上有极值, 3 ∴f′(x)=0 有不相等的实根. ∵f′(x)=x2+2|a|x+2a· b. ∴x2+2|a|x+2a· b=0 有两个不相等的实根, 1 ∴Δ=4|a|2-8a· b>0,即 a· |a|2. b< 2 a· b ∵cos〈a,b〉= ,|a|= 3|b|, |a||b| 1 2 |a| 2 3 ∴cos〈a,b〉< = , |a||b| 2 b2+?b-4?2-?b+4?2 2b?b-4?

[:]

π ∵0≤〈a,b〉≤π,∴ <〈a,b〉≤π. 6 π 答案:( ,π] 6 14.已知坐标平面内定点 A(-1,0),B(1,0),M(4,0),N(0, 4)和动点 P(x1,y1),Q(x2,
???? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 1 y2),若 A P · P =3, O Q =( -t) O M +( +t) O N ,其中 O 为坐标原点,则| P Q |的 B 2 2

最小值是________.
2 解析:由已知得 P 的坐标满足(x1+1,y1)· 1-1,y1)=3,即 x1+y2=4.动点 Q 的坐标 (x 1

??? ? 1 1 满足(x2,y2)=( -t)(4,0)+( +t)(0,4),故 x2=2-4t,y2=2+4t,即 x2+y2=4.| P Q |的最小 2 2

值即圆 x2+y2=4 上的点到直线 x+y=4 上的点的最小距离,最小距离为 2 2-2,故| P Q | 的最小值是 2 2-2. 答案:2 2-2
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??? ?

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三、解答题(本大题共有 4 小题,共 50 分) 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-2sinx· cosx+2cos2x+1. (1)设方程 f(x)-1=0 在(0,π)内有两个零点 x1,x2,求 x1+x2 的值; (2)若把函数 y=f(x)的图像向左平移 m(m>0)个单位使所得函数的图像关于点(0,2)对称, 求 m 的最小值. π 解:(1)由题设 f(x)=-sin2x+1+cos2x+1= 2cos(2x+ )+2, 4 π ∵f(x)-1=0,∴ 2cos(2x+ )+1=0. 4 π 2 ∴cos(2x+ )=- . 4 2 π 3 π 5 由 2x+ =2kπ+ π 或 2x+ =2kπ+ π,k∈Z, 4 4 4 4 π π 得 x=kπ+ 或 x=kπ+ . 4 2 π π 3 ∵x∈(0,π),∴x1= ,x2= .∴x1+x2= π. 4 2 4 (2)设 y=f(x)的图像向左平移 m 个单位,得到函数 g(x)的图像, π 则 g(x)= 2cos(2x+ +2m)+2, 4 ∵y=g(x)的图像关于点(0,2)对称, π π ∴2m+ =kπ+ ,k∈Z. 4 2 π ∴2m=kπ+ ,k∈Z. 4 ∴m= kπ π + ,k∈Z. 2 8

π ∵m>0,∴k=0 时,m 取得最小值 . 8 π π 16.(本小题满分 12 分)(2011· 淄博模拟)已知函数 f(x)=2cos(x+ )[sin(x+ )- 3cos(x 3 3 π + )]. 3 (1)求 f(x)的值域和最小正周期; π (2)若对任意 x∈[0, ],使得 m[f(x)+ 3]+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 6 π π π 解:(1)f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )-2 3cos2(x+ ) 3 3 3 2π 2π =sin(2x+ )- 3[cos(2x+ )+1] 3 3

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2π 2π =sin(2x+ )- 3cos(2x+ )- 3 3 3 π =2sin(2x+ )- 3. 3 π ∵-1≤sin(2x+ )≤1. 3 π 2π ∴-2- 3≤2sin(2x+ )- 3≤2- 3,T= =π. 3 2 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. π π π 2π π 3 (2)当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ],故 sin(2x+ )∈[ ,1], 6 3 3 3 3 2 π 此时 f(x)+ 3=2sin(2x+ )∈[ 3,2]. 3 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,且 f(x)+ 3=-m,



?m+ 3≤0, 2 3≤- ≤2,即? m 2 ?m+2≥0,
2

2 3 解得- ≤m≤-1. 3

即实数 m 的取值范围是[-

2 3 ,-1]. 3

17.(本小题满分 12 分)(2011· 江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, C c,已知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C 解:(1)由已知得 sinC+sin =1-cosC,即 2 C C C sin (2cos +1)=2sin2 . 2 2 2 C C C 由 sin ≠0 得 2cos +1=2sin , 2 2 2 C C 1 即 sin -cos = . 2 2 2 3 两边平方整理得:sinC= . 4 C C 1 π C π (2)由 sin -cos = >0 得 < < . 2 2 2 4 2 2 π 3 7 即 <C<π.则由 sinC= 得 cosC=- . 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得:(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2,由余弦定理得 c2=a2
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+b2-2abcosC=8+2 7, 所以 c= 7+1.

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18.(本小题满分 14 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向距 A 为 3-1 海里的 B 处有 一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/ 小时的速度追截走私船. 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜, 问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.(注: 6≈2.449) 解:设缉私船追上走私船所需时间为 t 小时,如图所示,则有 CD=10 3t 海里,BD= 10t 海里. 在△ABC 中, ∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里,∠BAC=45° +75° =120° , 根据余弦定理可得 BC= ? 3-1?2+22-2· ? 3-1?cos 120° 2·
[: ]

= 6海里. 根据正弦定理可得 ACsin120° sin∠ABC= = BC 2× 3 2 2 = . 2 6

∴∠ABC=45° ,易知 CB 方向与正北方向垂直. 从而∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,根据正弦定理可得: sin∠BCD= BDsin∠CBD 10t· 120° 1 sin = = , CD 2 10 3t

∴∠BCD=30° ,∠BDC=30° .∴BD=BC= 6海里. 则有 10t= 6,t= 6 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 10

故缉私船沿北偏东 60° 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

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