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§4-1不定积分的概念与性质§4-2换元积分法


第四章 不定积分

§4-1

不定积分的概念与性质

在第三章我们研究了已知 f,如何求 f 的导数 f? 的表达式,得到了一些计算法则,例如: (f + g)? = f? + g? , (f g)? = f? g + f g? ,

(f [?])? = f ? [?] ??
这些计算方法加上基本初等函数的导数公式, 我们可以解决初等函数的求导问题,即是,若 f 为初等函数, f ? 的表达式能求出.

我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。

问题:在已知 f ? 的表达式时,f 的表达式是
什么形式呢? 即是,已知函数 f ? 的表达式,求 f ? 的原函 数是什么。

本章主要内容: . ? 基本积分表

? 换元积分法
? 分部积分法 ? 有理函数积分

一、原函数与不定积分的概念
1. 定义:设I为某区间,称f (x)在I上的原函数的 全体为f (x)在I上的不定积分,记作 ? f ( x)dx

?

f ( x ) dx
被积函数

(3) 积分变量

积分号

注1. (3)式中积分号下的f (x)dx, 可看作是原函数 的微分。 注2. 符号?a f ( x)dx 与? f ( x)dx 差别:
b



一族函数

定理1. 设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数,则

? f ( x)dx ? F ( x) ? C
其中C为任意常数
y y = F(x)+C1 y = F(x)+C2 y = F(x)+C3 y = F(x)+C4 0 x0

(4)

x

例1: x 2 dx ? 解:容易看到
( x 3 )' ? 3x 2

y

y=x2

两边除以3,得 1 ( x 3 )' ? x 2 3 (af ( x))' ? af ' ( x), 求导数的性质

x

1 3 2 得 x 为x 的一个原函数。 3
因此,
1 3 ? x dx ? 3 x ? C
2

y

1 y ? x3 3

x

2. 不定积分的性质:

1)
2) 3) 4)

? ( f ( x) ? g ( x))dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx

? ?f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx,?为常数
d ? f ( x)dx ? f ( x) dx

? f ' ( x)dx ? f ( x) ? C

3. 基本积分公式
积分公式 导数公式

1) ? kdx ? kx ? C
?

(k为常数)

1? (kx ? c)' ? k

1 ? ?1 2) ? x dx ? x ? C (? ? ?1) ? ?1
1 3) ? dx ? ln | x | ?C x

2?
3?

( x? ?1 )' ? (? ? 1) x?
1 (ln x)' ? x x?0

1 (ln( ? x))' ? x?0 x

4) ? e x dx ? e x ? C
1 x 5) ? a dx ? a ?C ln a a ? 0, a ? 1
x

4? (e x )' ? e x 5?
(a )' ? ln a ? a
x x

a ? 0, a ? 1
6? (sin x)' ? cos x 7? (cos x)' ? ? sin x

6) ? cos xdx ? sin x ? C
7) ? sin xdx ? ? cos x ? C

sec 2 xdx ? tgx ? C 8) ?

8? ( tgx)' ? sec 2 x 9? (ctgx)' ? ? csc 2 x 10?
1 (arcsin x)' ? 1? x2
1 (arctgx)' ? 1? x2

csc x 2 dx ? ?ctgx ? C 9) ?

10)

?

dx 1? x2

? arcsin x ? C

dx ? arctgx ? C 11) ? 2 1? x

11?

4. 积分公式的简单应用

例1. 求 ? ( x ? x
2

2

2 x ? 3 )dx x

解:

? (x

2

?x

2

2 x ? 3 )dx x
5 2

? ? x 2dx ? ? x dx ? 2? x ?3dx
1 3 2 7 1 ? x ? x2 ? 2 ? C 3 7 x

1? x ? x dx 例2. 求 ? 2 x(1 ? x )
2

解:

1? x ? x ? x(1 ? x 2 ) dx
2

dx dx ?? ?? 2 x 1? x

? arctan x ? ln | x | ?C

tan 2 xdx 例3. 求 ?
解:

? tan
2

2

xdx

? ? sec 2 xdx ? ? dx ? ? (sec x ? 1)dx

? tan x ? x ? C

x2+1, x<0. 例4. 求

? f ( x)dx, 其中 f (x)=

1, 0 ? x ? 1

1 , x

x ?1

解:

f ( x)在(??,0),[0,1]和[1,??]内分别有 x3 原函数 ? x, x ? C1和 ln x ? C2 (C1 , C2待定), 3 作函数 x3

F(x)=

3 x ? C1 0 ? x ? 1

? x, x ? 0

ln x ? C2

x ?1

而要使F(x)成为f (x)在R上的原函数,必须 F(x)连续,从而C1=0,C2=1,因此满足 条件的函数为

F(x)=

x3 ? x, x ? 0 3 x, 0 ? x ? 1
ln x ? 1 x ? 1.



? f ( x)dx ? F ( x) ? C

§4-2

换元积分法

1. 第一换元法 在求导法则中, 对于复合函数, 有一个求导的链式法则

( f [? ( x)])' ? f ' (? ( x))?' ( x)

(1)

对不定积分来说有类似的法则吗?我们如何利用 (1)式中的链式法则,从右端的函数f? [?(x)]?? (x)求 出左端的原函数f [?(x)], 就是现在要研究的问题。

解决问题的关键在哪里呢?再看(1)式的特点

( f [? ( x)]))? ? f ?[? ( x)]? ' ( x)
外部函数 中间变量u 中间变量 u的导数 的导数

复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积
外部函数的导数 ? 中间变量的导数。 如果从被积函数中你能看出这种形式,问题的 答案就出来了。

例1. 求

? 3x

2

cos x dx

3

解:函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得:

cosx3 ? 3x2 sinu的导数 中间变量u 中间变量u的导数 因此猜测sinx3是一个原函数,求导数验证

(sin x 3 )' ? cos x 3 ? 3x 2
所以

3 x 2 cos x 3dx ? sin x 3 ? C ?

使用这种方法的基本想法

从被积函数

中找到一个作中间变量的函数,其导数是作 为一个因子出现的。 这个想法在相差一个常数因子时也可以

用。使用这种方法要求想象出复合函数的形
式。

例2. 求 xe dx 解: 猜测e 就是所求的原函数: ? 指数函数求导后形式不变; ? 有中间变量u=x2,u?=2x中含有一个因子x, 验证
x2

?

x2

(e )' ? 2 xe ,
x2 x2

(2)

与最初想象的结果差一个常数因子2, 没问题,将(2)式右端的因子除到左端
1 x2 x2 (e )' ? xe 2

显然有
1 x2 x2 ( e )' ? xe 2

因此
1 x2 ? xe dx ? 2 e ? C
x2

例3. 求 xe 解:观察

?

x 2 ?1

dx
x 2 ?1

xe

中间变量u=x2+1

但 u=x2+1的导数为 u? = 2x 在被积函数中添加2个因子 1 x 2 ?1 2x e 2
u'

u

因此

? xe

x 2 ?1

1 x2 ?1 dx ? e ?C 2

换元法

1. f (u )在区间I有原函数F (u );

2. u ? ? ( x), x ? J , ? ( J ) ? I
则 ? f (? ' ( x))? ' ( x)dx ? F [? ( x)] ? C

?

f (? ( x))? ' ( x)dx

u=?(x) du ? ? ?dx

? f (u )du

例4. 求 x 3 x 4 ? 5dx 解:

?

?

1 x ? 5 x dx ? ? x 4 ? 5 4 x 3dx 4
4 3

u
u ? x4 ? 5 1

u

du

? u du 4

1 2

3 1 4 1 1 1 ?1 ? ? u 2 ? C ? ( x ? 5) 2 ? C 6 4 1 ?1 2

重算一遍

?x

3

x ? 5dx ? ?
4

1 x ? 5 d( x 4 ? 5) 4
4

1 1 ? ? ( x 4 ? 5) 4 1 ?1 2
3 1 4 ? ( x ? 5) 2 ? C 6

1 ?1 2

?C

例5. 求?

dx (a ? 0) 2 2 a ?x

解:能想出原函数的形式吗? dx ? 1 ? x 2 ? arcsin x ? C 记得这个公式吗?如何用这个公式? x d dx a ?? ? x 2 x 2 a 1? ( ) 1? ( ) a a

x ? arcsin ? C a

例6. 求sin2xdx

解:

1 ? cos 2 x ? sin xdx ? ? 2 dx
2

1 1 ? ? dx ? ? cos 2 xdx 2 2 1 1 ? x ? ? cos 2 xd ( 2 x ) 2 4 1 1 ? x ? sin 2 x ? C 2 4

例7. 求 ? sin 2 x ? cos 3 xdx
1 1 解: sin ?x cos ?x ? sin(? ? ? ) x ? sin(? ? ? ) x 2 2 1 1 sin ?x sin ?x ? cos(? ? ? ) x ? cos(? ? ? ) x 2 2 1 1 ? sin 2 x ? cos 3xdx ? ? ( 2 sin 5 x ? 2 sin x)dx
1 1 1 ? ? ? sin 5 xd (5 x) ? cos x ? C2 2 5 2

?1 1 1 1 ? cos 5 x ? C1 ? cos x ? C2 ? cos x ? cos 5 x ? C 10 2 2 10

dx 例8. 求 ? 2 2 a ?x

dx 1 1 1 解: ? 2 2? ? ( a ? x ? a ? x )dx a ? x 2a
1 ? d ( a ? x) d ( a ? x) ? ? ?? ?? 2a ? a ? x a?x ? ?

1 ? ?ln | a ? x | ? ln | a ? x |? ? C 2a
1 a?x ? ln ?C 2a a ? x

例9. 求 ? sec xdx
解:

dx ? sec xdx ? ? cos x
cos x d (sin x ) ?? dx ? ? 2 2 1 ? sin x cos x

1 1 ? sin x ? ln | | ?C (由例8) 2 1 ? sin x
1 ? 1 ? sin x ? ? ln? ? ?C 2 ? cos x ?
2

? ln | sec x ? tan x | ?C

2. 第二换元法 以上的例子中运气很好,被积函数g(x)有形式

g ( x) ? f [? ( x)]?' ( x),
至多差一个常数因子,接下来研究运气稍差一点

例子,仍然可经过一适当换元,求出原函数。

求? ( x ? 7)3 3 ? 2 x dx 例10.
解:取中间变量u=3– 2x, 注意到du= –2dx, 因子
(x+7)dx不是变量u的微分, 不能使用第一换元法。

现在将积分号下的每一部分变为换为u的函
数,包括因子x+7.

3 u u=3–2x, 得 x ? ? ,因此 2 2
17 u 3 u x?7 ? ? ?7 ? ? , 2 2 2 2

1 又du ? ?2dx,因此 dx ? ? du.代入原积分 , 得 2
17 u 3 ? ( x ? 7) 3 ? 2 xdx ? ? ( 2 ? 2 ) udu
3

1 ? ? ? (17 ? u )3 udu 4

1 ? ? ? (17u 3 ? u 3 )du 4

1

4

1 1 ? ? (17 ? 4 1 ?1 3
4 3

1 ?1 3 u

?

1 4 ?1 3

4 ?1 3 )?C u

1 51 3 ? ? ( u ? u )?C 4 4 7 1 51 3 3 ? ? ( (3 ? 2 x) ? (3 ? 2 x) 3 ) ? C 4 4 7
4 7

7 3

解法要点:
3 u 1.  x ? ? 代入后将被积函数中最 复杂的 取 2 2   部分3 3 ? 2 x换成了能积分的3 u

2. 将被积函数中每一部分 表示成u的函数, 1  包括dx ? ? du 2

3. 求出关于u 的积分,取反函数u=3-2x代回原 变量x.

定理3. 条件: 1o f (x)在区间I上连续; 2o x=?(t)在区间J上单调, 可导, 且??(t)?0; 3o 设f (? (t)) ?? (t)在 J上有原函数F(t). 结论:在 I 上有

f ( x)dx ? F (? ?1 ( x)) ? C , ?

? f ( x)dxdx ? ? ' (t)dt ? f [? (t )]? ' (t )dt

x ? ? (t )

(a 例11. 求? a ? x dx  ? 0)
2 2

解: 函数的定义域 ( ? a, a ),

令  x ? a sin t , t ? (?
a

? ?

, ) 2 2

sint

?

? ?
2

? ? t 2
-a

(sin t )' t ??? ? 0
2

a ? x ? a ? a sin t
2 2 2 2 2

? a 1 ? sin t ? a cos t
2 2

? acos t

dx ? a cos tdt
?

cost

?
2

? 2

t

?

a 2 ? x 2 dx ? ? a cos t ? a cos tdt
? a 2 ? cos 2 tdt

1 ? cos 2t ?a ? dt 2
2

a2 a2 ? t ? sin 2t ? C 2 4

x 取反函数 t ? arcsin , 则 a
x sin t ? , a

x2 cos t ? 1 ? sin 2 t ? 1 ? 2 a
2 2 2

?

a x a a ? x dx ? arcsin ? 2 sin t cos t ? C 2 a 4
2

a2 x x 2 ? arcsin ? a ? x2 ? C 2 a 2

例12. 求?

dx    ? 0) (a 2 2 x ?a

解: x ? atgt , t ? (? ? , ? ), x 2 ? a 2 ? a 1 ? tg 2t ? a sec t 令 2 2

dx ? a sec tdt
2

?

dx a sec 2 tdt ?? 2 2 a sec t x ?a
? ? sec tdt

? ln | sec t ? tgt | ?C

x x t ? arctg , tgt ? a a
x2 x2 ? a2 2 sec t ? 1 ? tg t ? 1 ? 2 ? a a2

?

dx | x? x ?a | ? ln ?C 2 2 a x ?a
2 2

? ln | x ? a 2 ? x 2 | ? ln a ? C ? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C

例13. 求?

dx x ?a
2 2

? 解: x ? a sec t , t ? (0, ) 2 dx ? a sec t ? tgtdt
x 2 ? a 2 ? a sec 2 ? 1 ? atgt

1 0
? t 2

?

dx ? ? sec tdt ? ln | sec t ? tgt | ?C 2 2 x ?a
? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C

注:三角函数代换用于 x 2 ? a 2 化简.

dx 例14. 求? 4 2 x x ?1
解:困难:分母中多出一个x4因子(指数4不是主要 问题). 想法:将分母中的因子转移分子中.
1 方法:作变换 x ? t 1 这时曲线x ? 有两支 t

在(??,0) ? (0,??)上单调,首先讨论 (0,??)一段。

dt 1 dx ? ? 2 , 4 2 ? t x x ?1

t4 t5 ? 2 1 1? t ?1 t2

?x

4

dx t3 t (1 ? t 2 ) ? t ? ?? dt ? ? ? dt 2 2 2 x ?1 1? t 1? t
? ? ? t 1 ? t dt ? ?
2

tdt 1? t 2

1 1 d(1 ? t 2 ) ? ? ? 1 ? t 2 d(1 ? t 2 ) ? ? 2 2 1? t 2

1 ? ? (1 ? t ) ? 1 ? t 2 ? C 3

3 2 2

1 ? (2 ? t 2 ) 1 ? t 2 ? C 3

2x ?1 2 ? 1? x ? C 3 3x
2

1 当x ? (??,0)时,作同样变换 x ? 可获得形式上 t 完全相同的结果。


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