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四川省成都石室中学2014届高三10月月考数学(理)试题

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石室中学 2014 届高三 10 月月考数学(理)试题
一、选择题:每题只有唯一正确答案,每小题 5 分,共 50 分. 1.设全集 U ? x ? N x < 5? ,集合 A ? {1,3} ,则 CU A 等于(
*

?

)

(A) ?2, 4? 2.复数

(B) ?4,5?

2? (C) ?0,


2, 4? (D) ?0,

3i ? 1 ( i 为虚数单位)的模是( 1? i
(B) 2 2
2

(A) 5

(C) 5

(D) 8 )
2

3.命题“ ?x ? Z , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 (
2

(A) ?x ? Z , x ? 2 x ? 1 ? 0 (B)不存在 x ? Z 使 x ? 2 x ? 1 ? 0 (C) ?x ? Z , x ? 2 x ? 1 ? 0 (D) ?x ? Z , x ? 2 x ? 1 ? 0
2 2

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( (A) 1 (B)



1 3

(C)

1 2

(D)

3 2


5.右图所示的算法流程图中,正常运行时输出的结果是(
(A)6 (B)5 (C)4 (D )3

6.若两正数 a , c 满足 a ? c ? 4 ,则 (A) 3 (B)

1 9 ? 的最小值为( c a
(D) 7



9 2

(C) 5

7.设 a 、 b 是两条不同的直线,? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命 题中正确的是( ) (A)若 a ⊥ b , a ⊥ ? ,则 b ∥ ? (B)若 a ∥ ? , ? ⊥ ? ,则 a ⊥ ? (C)若 a ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 a ∥ ? (D)若 a ⊥ b , a ⊥ ? , b ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? 8.设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° , KL=1,则 f ( ) 的值为 (
O y

x K M L

1 6



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(第 8 题图)

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(A)

1 4

(B) ?

3 4

(C)

3 4

(D) ?

1 2

9.为参加校园文化节,某班推荐 2 名 男 生 3 名女生 参 加文 艺技 能培 训 , 培训 项目 及人 数 分 别为:乐器 1 人,舞蹈 2 人,演唱 2 人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女 生参加,則不同的推荐方案的种数为 ( ) (A) 12 (B) 36 (C) 24 (D) 48 10.定义在 {x | x ? R, x ? 1} 上的函数 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? ( ) x ,则 函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 1 cos ? ( x ? )(?3 ? x ? 5) 的所有零点之和等于( 2 2
(D)4 ▲



(A)10 (B)8 (C)6 二、填空题:每题 5 分,共 25 分. 11. ( x ? ) 6 展开式的常数项为

1 x



12.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经 过的 2000 辆汽车的时速,时速频率分布直方图如图所示,则该时 段时速超过 70 km/h 的汽车数量为 ▲ . 13.在区间 ? ?1,1? 上随机取一个数 x ,使 cos 14.已知 ? ,? ? (? 的值为 ▲ .

?x
2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 2



.

? ?

6 ? i n ? s i n ? 且 ? ,? , 依次成等差数列, 若 cos ? ? , 则s , ), 3 2 2 2

?

15.设实数 x0 是函数 f ( x) ? 2sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点,则① x0 ? (1, e) ② x0 ? (e, ? ) ③若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ④若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,其中正确的结论序 号为 ▲

三、解答题:共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分)已知 ?ABC 三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,且

3sin 2 A ? 3sin 2 B ? 4sin A sin B ? 3sin2 C .
(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, c ? 6 ,求 CA ? BC 的值.

??? ? ??? ?

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* 18、 (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2, n ? N 时, an ? 3an ?1 ? 1 ,数列

?bn ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2n2 ? 2n ? 2 . n ? N *
(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? (an ? ) ? bn (n ? N ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
*

1 2



19、 (本题满分 12 分)石室中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业,但在签约前要对他 们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共 10 人(其中女生人数多 于男生人数) ,如果从中随机选 2 人参加测试,其中恰为一男一女的概率为 (Ⅰ)求该小组中女生的人数; (Ⅱ)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为 生通过的概率均为

8 . 15 3 ,每个男 4

2 。现对该小组中男生甲,男生乙和女生丙 3 个人进行测试,记这 3 人中 3

通过测试的人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.


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20.(满分 13 分)某健身产品企业第一批产品 A 上市销售,40 天内全部售完.该企业对第一 批产品 A 上市后的市场销售进行调研,情况反馈大概如图( 1) 、 (2)所示.其中市场 的日销售量(单位:万件)与上市时间(天)的关系近似满足图(1)中的抛物线;每 件产品 A 的销售利润(元/件)与上市时间(天)的关系近似满足图(2)的折线. (Ⅰ)写出市场的日销售量 f (t ) 与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式; (Ⅱ)第一批产品 A 上市后的第几天,这家企业日销售利润最大,最大利润是多少? y 日销售量(单位:万件) 60 60

y 销售利润(单位:元/件)

O

20 (1)

40 000 000 000 000

t (天)

O

30 (2)

40

t (天)



21.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

3 2 x ? ln x ? 2, g ( x) ? x. 8

(Ⅰ)求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? g ( x) 的极值点;
t (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? g ( x) 在 ? ?e , ?? (t ? Z ) 上有零点,求 t 的最大值;

?



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石室中学高 2014 届高三上期 10 月月考试题

数学(理科)

二、填空题:每题 5 分,共 25 分. 11. ( x ? ) 展开式的常数项为
6

1 x

20



12.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经 过的 2000 辆汽车的时速,时速频率分布直方图如图所示,则该时 段时速超过 70 km/h 的汽车数量为 200 .

1 之间的概率为 . 2 2 ?x 1 解析:在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x ,即 x ?[?1,1] 时,要使 cos 的值介于 0 到 之间, 2 2 ? ?x ? ? ?x ? 2 2 2 需使 ? ? ?? 或 ? ? ∴ ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ,区间长度为 ,由几 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 ?x 1 1 何概型知 cos 的值介于 0 到 之间的概率为 3 ? . 2 2 2 3
13.在区间 ? ?1,1? 上随机取一个数 x , cos 的值介于 0 到 14.已知 ? ,? ? (?

?x

? ?

? 6 , ), 且 ? ,? , 依次成等差数列, 若 cos ? ? , 则s i n ? s i n ? 3 2 2 2

?

的值为 ?

3 9

15.设实数 x0 是函数 f ( x) ? 2sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点,则① x0 ? (1, e) ② x0 ? (e, ? ) ③若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ④若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,其中正确的结论序 号为 ① ④

三、解答题:共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分)已知 ?ABC 三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,且

3sin 2 A ? 3sin 2 B ? 4sin A sin B ? 3sin2 C .
(Ⅰ)求 sin C 的值;
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(Ⅱ)若 a ? 3, c ? 6 ,求 CA ? BC 的值. 解: (Ⅰ)由正弦定理得 3a ? 3b ? 3c ? 4ab ?
2 2 2

??? ? ??? ?

a 2 ? b2 ? c 2 2 ? ? cos C ???3 分 2ab 3

所以 sin C ?

5 ????6 分 3

(Ⅱ) a ? 3, c ? 6 , 3a 2 ? 3b2 ? 3c 2 ? 4ab 得 b ? 1或 b ? 3 ????9 分

??? ? ??? ? CA ? BC ? b ? a ? cos(? ? C ) ? ?b ? a ? cos C
所以 CA ? BC ? ?2 或 CA ? BC ? ?6 ????12 分 17、 (本题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 边长为 2, PA ? 平面 ABCD , BF //PA ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 BF ? PA , E 为 AB 的中点 3
(Ⅰ)求证: DE // 平面 PCF ; (Ⅱ)若 PC 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求二面
B F

P

?

E

z P

A

角 F ? PC ? A 的余弦值.
C

D

解: (Ⅰ)建系如图设

A(0,0,0), B(2,0,0), C (2,2,0), D(0,2,0)
P(0,0,3m), F (2,0, m) ,则 E (1,0,0)
所 以 可 计 算 得 平 面 PCF 的 一 个 法 向 量 为
x

F E A

B C

? ???? n ? (2m, m, 2) , DE ? (1, ?2,0)
即 n ? DE ? 0 ,所以 DE // 平面 PCF ????6 分

D y

? ????





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?? cos ? n, l ??

2 6 13 3 ? ? ???11 分 2 13 4? 6 5m ? 4 ? 2 5? ?4? 2 9 m
13 ????12 分 13

二面角 F ? PC ? A 的余弦值为

* 18、 (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2, n ? N 时, an ? 3an ?1 ? 1 ,数

列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2n 2 ? 2n ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

解: (Ⅰ)? an ?

3n?1 ? 1 ;???3 分 2

?2, n ? 1 bn ? ? ???6 分 * ?4n, n ? 2, n ? N
(Ⅱ) cn ? (an ? ) ? bn ?

1 2

?1, n ? 1 3n?1 ? bn ? ? n ?1 * 2 ?2n ? 3 , n ? 2, n ? N

?1, n ? 1 ? Tn ? ? (2n ? 1) ? 3n ? 1 , n ? 2, n ? N * ? ? 2

两段可以合并,所以

Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 ,n? N* ??12 分 2

19、 (本题满分 12 分)石室中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业,但在签约前要对他 们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共 10 人(其中女生人数多 于男生人数) ,如果从中随机选 2 人参加测试,其中恰为一男一女的概率为 (Ⅰ)求该小组中女生的人数; (Ⅱ)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为 生通过的概率均为

8 . 15 3 ,每个男 4

2 。现对该小组中男生甲,男生乙和女生丙 3 个人进行测试,记这 3 人中 3

通过测试的人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

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20.(本题满分 13 分)某公司是专门生产健身产品的企业,第一批产品 A 上市销售 40 天内 全部售完, 该公司对第一批产品 A 上市后的市场销售进行调研, 结果如图 (1) 、 (2) 所示. 其 中(1)的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系; (2)的折线表示的是每件产 品 A 的销售利润与上市时间的关系. (Ⅰ)写出市场的日销售量 f (t ) 与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式;

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20、解: (Ⅰ)设 f (t ) ? a(t ? 20)2 ? 60 ,由 f (0) ? 0 可知 a ? ? 3 20

3 3 (t ? 20)2 ? 60 ? ? t 2 ? 6t (0 ? t ? 40,t ? N ) ;????5 分 20 20 (Ⅱ)设销售利润为 g (t ) 万元,则
即 f (t ) ? ?

3 ? ? 3 3 2t (? t 2 ? 6t )(0 ? t ? 30 ) 2 ? ? ?? t ? 12t (0 ? t ? 30 ) ????9 分 20 g (t ) ? ? ? ? 10 ?60 (? 3 t 2 ? 6t )(30 ? t ? 40 ) ?? 9t 2 ? 360 t (30 ? t ? 40 ) ? ? 20 ?
当 30 ? t ? 40 时, g (t ) 单调递减;且 g (t ) 的最大值为 g (30) ? 2700 ????10 分

9 2 80 80 t ? 24t ,易知 g (t ) 在 (0, ) 单增, ( ,30) 单减,而 t ? N , 10 3 3 故比较 g (26),g (27) ,经计算, g (26) ? 2839.2 ? g (27) ? 2843.1 ,???12 分
当 0 ? t ? 30 时, g ' (t ) ? ? 故第一批产品 A 上市后的第 27 天这家公司日销售利润最大,最大利润是 2843.1 万 元.????13 分 21.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ?

3 2 x ? ln x ? 2, g ( x) ? x. 8

(Ⅰ)求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? g ( x) 的极值点;
t (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? g ( x) 在 ? ?e , ?? (t ? Z ) 上有零点,求 t 的最大值;

?

(III)若 bn ? g (n)

1 g ( n ?1)

(n ? N ? ) ,试问数列 ?bn ? 中是否存在 bn ? bm (m ? n) ?若存在,
3 2 x ? ln x ? 2 ? 2 x 的定义域为 (0, ??) ……………1 分 8
……………………………………………………2 分

求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由. ( e 为自然对数的底数) . 解: ( 1)由题意, F ( x) ?

? F ?( x) ?

(3x ? 2)( x ? 2) 4x

? 2? ?2 ? ?函数 F ( x) 的单调递增区间为 ? 0, ? 和 ? 2, ?? ? , F ( x) 的单调递减区间为 ? , 2 ? , ? 3? ?3 ?
所以 x ?

2 为 F ( x) 的极大值点, ………………………………………………3 分 3
………………………………………………4 分

x ? 2 为 F ( x) 的极小值点,
?2 ?3 ? ?

(2) F ( x) 在 x ? ? , ?? ? 上的最小值为 F (2) 且 F (2) ?

3 2 ln 4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 ? ln 2 ? ?0 8 2

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?2 ? ? F ( x) 在 ? , ?? ? 上没有零点,……………………………………………5 分 ?3 ?
? 2? ?2 ? t ?函数 F ( x) 在 ? ? e , ?? ? 上有零点,并考虑到 F ( x) 在 ? 0, 3 ? 单调递增且在 ? 3 , 2 ? 单调 ? ? ? ?
递减,故只须 et ?

2 t 且 F (e ) ? 0 即可,……………………………………………6 分 3
3 ?2 1 ?3 ? ? e ? 1 ? 2e?1 ? 0, F (e ?2 ) ? 2 ? ? e ?2 ? 2 ? ? 0, 8 e ?8 ?
t

易验证 F (e ?1 ) ?

t ?1 当 t ? ?2, t ? Z 时均有 F (e ) ? 0, 所以函数 F ( x) 在 ? ? e , e (t ? Z ) 上有零点, t 即函数 F ( x) 在 ? ?e , ?? (t ? Z ) 上有零点,

?

?

?t 的最大值为 ?2 ……………9 分

(3)先证明 (1 ? x) x ? e ?

1

1 ln(1 ? x) ? 1 ? ln(1 ? x) ? x x
1 ?x ?1 ? ? 0, 1? x 1? x

构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0), 则 h?( x) ?

所以函数 h( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,因而 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0, 因为 bn ? n n ?1 , 令
1

bn ?1( n ?1)( n ? 2) (n ? 1) n ?1 n ? 1 1 e(n ? 1) 3(n ? 1) ? ? 2 ? (1 ? ) n ? ? ( n ?1)( n ? 2) n?2 bn n n n n2 n2

3(n ? 1) ? 1,得: n2 ? 3n ? 3 ? 0 ,结合 n ? N ? 得: n ? 4 时, 2 n

因此,当 n ? 4 时,有

bn ?1( n ?1)( n ? 2) ? 1, bn ( n ?1)( n ? 2)
……………………………12 分

所以当 n ? 4 时, bn ? bn ?1 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? ...

又通过比较 b1、b2、b3、b4 的大小知: b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,

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