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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《数列》

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练《数列》 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+3n,若 an+1an+2=80,则 n 的值为( A.5 C.3
2

)

B.4 D.2

解析: Sn=-n +3n 可得 an=4-2n, 由 因此 an+1an+2=[4-2(n+1)][4-2 (n+2)]=80, 即 n(n-1)=20,解得 n=5. 答案:A 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则 A B · C 等于( A A.-16 C.8 B.-8 D.16
??? ???? ?

)

AC 解析:法一:因为 cosA= , AB 故 A B · C =| A B || A C |cosA= A C 2=16. A 法二: A B 在 A C 上的投影为| A B |cosA=| A C |, 故 A B · C =| A C || A B |cosA= A C 2=16. A 答案:D 3.若函数 f(x)=sinax+ 3cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图像的一个对称中心 为( ) 1 A.(- ,0) 3 1 C.( ,0) 3 π B.(- ,0) 3 D.(0,0)
??? ???? ? ??? ?

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π 解析:f(x)=2sin(ax+ )(a>0), 3 2π π ∵T= a =1,∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+ ). 3 k 1 π 由 2πx+ =kπ,k∈Z,得 x= - ,k∈Z, 3 2 6 1 1 当 k=1 时,x= ,故( ,0)是其图像的一个对称中心. 3 3 答案:C 4.(2011· 辽宁高考)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 C.8 B.4 D.16


)

解析:由 anan+1=16n,得 an+1·n+2=16n 1, a
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an+1·n+2 16n 1 a 两式相除得, = n =16,∴q2=16. 16 an·n+1 a ∵anan+1=16n,可知公比为正数,∴q=4. 答案:B 5.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) )

1 解析:设 a1=x,且 x≠0,则 S3=x+1+ , x 1 1 1 由函数 y=x+x的图像知:x+x≥2 或 x+x≤-2, ∴y∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案:D 6.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中 a 5 项为 ,则 S5=( 4 A.35 C.31 ) B.33 D.29

解析:设数列{an}的公比为 q, a2·3=a2·3=a1·4=2a1?a4=2, a a 1q 5 1 a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3=2× ?q= , 4 2 a1?1-q5? a4 故 a1= 3=16,S5= =31. q 1-q 答案:C 7.首项为 b,公比为 a 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N*,点(Sn,Sn
+1

)在(

) B.直线 y=bx+a 上 D.直线 y=ax-b 上 b?1-an? , 1-a

A.直线 y=ax+b 上 C.直线 y=bx-a 上 解析:当 a≠1 时,Sn= Sn+1= b?1-an 1? , 1-a


b?1-an? b?1-an 1? ∴点(Sn,Sn+1)为:( , ). 1-a 1-a


[:]

显然此点在直线 y=ax+b 上.当 a=1 时,显然也成立. 答案:A
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=(

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8.(2011· 江西高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10 ) A.1 C.10 B.9 D.55

解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10?a10=S10-S9=S1=a1=1. 答案:A 1 9.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9) 3 的值是( A.-5 C.5 ) B.- 1 D. 5 1 5

解析:由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 an+1=3an, 所以数列{an}是公比为 3 的等比数列. 因为 a2+a4+a6=9, 所以 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35. 1 所以 log (a5+a7+a9)=-log335=-5. 3 答案:A 10.在△ABC 中,若角 A,B,C 成公差大于 0 的等差数列,则 cos2A+cos2C 的最大值 为( ) 1 A. 2 C.2 3 B. 2 D.不存在

解析:∵角 A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,又 A+B+C=180° . ∴B=60° ,A+C=120° . cos2A+cos2C= 1+cos2A 1+cos2C + 2 2

1 =1+ (cos2A+cos2C) 2 1 =1+ [cos(240° -2C)+cos2C] 2 1 =1+ cos(2C+60° ). 2 ∵60° <C<120° ,∴180° <2C+60° <300° , 1 1 5 ∴ <1+ cos(2C+60° ,即 cos2A+cos2C 的最大值不存在. )< 2 2 4
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答案:D

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二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 已知各项均为正数的等比数列{an}中,2=1-a1,4=9-a3, a4+a5 等于________. a a 则 解析:由已知,得 a1+a2=1,a3+a4=q2(a1+a2)=9,∴q2=9.∵an>0,∴q=3,∴a4 +a5=q3(a1+a2)=27. 答案:27 12. 若数列{an}满足 1 1 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数 an+1 an

1 列{x }为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________. n 解析:由题意知,数列{xn}为等差数列, ∴x5+x16=20. 答案:20 13.(2011· 安徽高考)已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差 数列,则△ABC 的面积为__________. b2+?b-4?2-?b+4?2 解析: 不妨设角 A=120° c<b, a=b+4, , 则 c=b-4, 于是 cos120° = 2b?b-4? 1 1 =- ,解得 b=10,所以 S= bcsin120° =15 3. 2 2 答案:15 3 14.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=3,S3=9,则 q=________. 1 1 1 1 1 1 解析:设数列{an}的公比是 q,则有 S3=a3( 2+q+1),即 3( 2+q+1)=9,(q+2)(q- q q 1 1)=0,由此解得 q=- ,或 q=1. 2 1 答案:- 或 1 2 三、解答题(本大题共有 4 小题,共 50 分) 15.(本小题满分 12 分)(2011· 新课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2 =1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{b }的前 n 项和.
n

1 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a2=9a2a6 得 a2=9a2,所以 q2= .由条件可知 q>0,故 3 3 4 9 1 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,得 a1= . 3
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1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3

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(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an= n?n+1? -(1+2+…+n)=- . 2 1 2 1 1 故 =- =-2( - ). bn n n+1 n?n+1?
[:]

2n 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ =-2[(1- )+( - )+…+( - )]=- . bn n n+1 b1 b2 2 2 3 n+1 2n 1 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1 16.(本小题满分 12 分)(2011· 烟台模拟)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2-2Sn; 数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an·n(n=1,2,3,…),Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. b 2 解:(1)由 bn=2-2Sn,令 n=1,则 b1=2-2S1,又 S1=b1,所以 b1= . 3
[:]

当 n≥2 时,由 bn=2-2Sn,可得 bn-1=2-2Sn-1,所以 bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=- 2bn,即 bn 1 = , bn-1 3

2 1 1 所以{bn}是以 b1= 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn=2·n. 3 3 3 1 (2)由数列{an}为等差数列,且 a5=14,a7=20,可得公差 d= (a7-a5)=3,a1=a5-4d 2 =2,可得 an=3n-1, 1 从而 cn=an·n=2(3n-1)·n, b 3 1 1 1 1 ∴Tn=2[2·+5·2+8·3+…+(3n-1)·n]. 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn=2[2·2+5·3+…+(3n-4)·n+(3n-1)·n+1]. 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ∴ Tn=2[2·+3·2+3·3+…+3·n-(3n-1)·n+1]. 3 3 3 3 3 3 3n-1 7 1 ∴Tn= - n-2- n . 2 2· 3 3 1 17.(本小题满分 12 分)已知二次函数 y=f(x)的图像经过坐标原点,且当 x= 时,函数 4 1 f(x)有最小值- .数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图像上. 8 (1)求数列{an}的通项公式;
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(2)设 bn= 正整数 m.

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m 2 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小 20 anan+1

1 1 解:(1)依题意,设二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0),由于当 x= 时,f(x)有最小值- , 4 8

?-2a=4, ∴? -b 1 ? 4a =-8,
b 1
2

解得 a=2,b=-1.

∴f(x)=2x2-x, 又点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图像上, ∴Sn=2n2-n;当 n=1 时,a1=S1=2×12-1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2- n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3;a1=1 也适合上式,∴an=4n-3(n∈N*). (2)由(1)得 bn= 2 2 1 1 1 = = ( - ), anan+1 ?4n-3?[4?n+1?-3] 2 4n-3 4n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn= [(1- )+( - )+…+( - )]= (1- ). 2 5 5 9 2 4n-3 4n+1 4n+1 m 1 1 1 m 因此,要使 (1- )< (n∈N*)成立,m 必须且只需满足 ≤ ,即 m≥10,故满足 2 2 20 4n+1 20 要求的最小正整数 m 为 10. 18. (本小题满分 14 分)(2011· 广州模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S10=55, 且 S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= an ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N*),使得 b1、bm、bk 成等比数列.若 an+1

存在,求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n?n-1? d. 2

?10a +10×9d=55, 2 由已知,得? 20×19 ?20a + 2 d=210.
1 1

?2a1+9d=11, ?a1=1, ? ? 即? 解得? ? ? ?2a1+19d=21, ?d=1.

所以 an=a1+(n-1)d=n(n∈N*).
2 (2)假设存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N*),使得 b1、bm、bk 成等比数列,则 bm=b1bk.

因为 bn=

an n = , an+1 n+1

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m k 1 所以 b1= ,bm= ,b = . 2 m+1 k k+1 m 2 1 k 所以( )= × . 2 k+1 m+1 整理,得 k= 2m2 . -m2+2m+1

以下给出求 m、k 的方法: 因为 k>0,所以-m2+2m+1>0. 解得 1- 2<m<1+ 2. 因为 m≥2,m∈N*, 所以 m=2,此时 k=8. 故存在 m=2,k=8,使得 b1、bm、bk 成等比数列.

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