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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《椭圆、双曲线、抛物线》


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一、选择题

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练《椭圆、双曲线、抛物线》

1. 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5

)

解析:由题意有 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b.又 c2=a2-b2,消去 b 整理得 5c2=3a2- 3 2ac,即 5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去). 5 答案:B 2.(2011· 新课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2 B. 3 D.3 )

x2 y2 解析:设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 a b x2 y2 b4 x=-c 代入 2- 2=1 可得 y2= 2, a b a b2 所以|AB|=2× = a c 2×2a.∴b2=2a2.c2=a2+b2=3a2,∴e= = 3. a 答案:B 3.(2011· 陕西高考)设拋物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则拋物线的方程是 ( A.y =-8x C.y2=-4x
2

)

B.y =8x

2

[: ]

D.y2=4x

解析:由准线方程 x=-2,可知拋物线为焦点在 x 轴正半轴上的标准方程,同时得 p =4,所以标准方程为 y2=2px=8x. 答案:B 4.(2011· 新课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 C.36 B.24 D.48 )

p p 解析:设抛物线方程为 y2=2px,则焦点坐标为( ,0),将 x= 代入 y2=2px 可得 y2= 2 2 p2,|AB|=12,即 2p=12,所以 p=6.点 P 在准线上,到 AB 的距离为 p=6,所以△PAB 的
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1 面积为 ×6×12=36. 2 答案:C

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y2 x2 5. (2011· 潍坊模拟)抛物线的顶点在坐标原点, 焦点与双曲线 - =1 的一个焦点重合, 5 4 则该抛物线的标准方程可能是( A.x2=4y C.y2=-12x ) B.x2=-4y D.x2=-12y

解析:由题意 c= 5+4=3 ∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). ∴抛物线的标准方程为 x2=12y 或 x2=-12y. 答案:D 6.(2011· 西安模拟)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点 F(1,0),过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45° ,则弦 AB 的中点坐标为( A.(1,0) C.(3,2) B.(2,2) D.(2,4)
2

)

?y2=4x ? 解析:依题意得,抛物线 C 的方程是 y =4x,直线 l 的方程是 y=x-1.由? 消 ? ?y=x-1

6 去 y 得(x-1)2=4x,即 x2-6x+1=0,因此线段 AB 的中点的横坐标是 =3,纵坐标是 y= 2 3-1=2,所以线段 AB 的中点坐标是(3,2),因此选 C. 答案:C
[:]

二、填空题 x2 y2 7.(2011· 辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4, a b 则它的离心率为________. 4 9 解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2- 2=1, a b 考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自身的一个等式 a2 +b2=c2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出 a=1,b= 3,c=2,所以,离心率 e =2. 答案:2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 2

______________.

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x2 y2 解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 因为 AB 过 F1 且 A、B 在椭圆上,如图, 则 △ ABF2 的 周 长 为 |AB|+ |AF2|+ |BF2|= |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+ |BF2|=4a=16,∴a=4. c 2 又离心率 e= = , a 2 ∴c=2 2.∴b2=a2-c2=8. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 答案: x2 y2 + =1 16 8

x2 y2 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛 a b 物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________. 解析:因为抛物线的焦点坐标为(4,0),故在双曲线中 c=4,因为双曲线的渐近线方程 b b 是 y=± x,所以a= 3,即 b= 3a,由 a2+b2=c2 得 a2=4,进而求得 b2=12,故所求的 a x2 y2 双曲线方程是 - =1. 4 12 x2 y2 答案: - =1 4 12 三、解答题 x2 y2 10.设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a b 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° 1 到直线 l 的距离为 2 3. ,F (1)求椭圆 C 的焦距; (2)如果 A F 2 =2 F 2 B ,求椭圆 C 的方程. 解:(1)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3,故 c=2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0, 直线 l 的方程为 y= 3(x-2).
???? ? ???? ?

?y= 3?x-2?, ? 联立?x2 y2 ?a2+b2=1, ?
得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b4=0. 解得 y1= - 3b2?2+2a? , 3a2+b2

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y2= - 3b2?2-2a? . 3a2+b2
???? ? ???? ?

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因为 A F 2 =2 F 2 B ,所以-y1=2y2. 即 3b2?2+2a? - 3b2?2-2a? =2· , 2 2 3a +b 3a2+b2

得 a=3.而 a2-b2=4,所以 b= 5. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 x2 y2 11.(2011· 江西高考)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N a b 1 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足 O C =λ O A + O B ,求 λ 的值. x2 y2 解:(1)点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上, a b
2 x0 y2 0 有 2- 2=1. a b

??? ?

??? ?

??? ?

y0 y0 1 由题意又有 · = , x0-a x0+a 5 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, c 30 则 e= = . a 5
2 2 ? 2 ?x -5y =5b , (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0, ?y=x-c, ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4 .
5c
2 1 2 1 2



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?x3=λx1+x2, 设 O C =(x3,y3), O C =λ O A + O B ,即? ?y3=λy1+y2. ?

又 C 为双曲线上一点,即 x2-5y2=5b2, 3 3 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2. 化简得:λ2(x2-5y2)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2, 1 1 2 2 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x2-5y2=5b2, 1 1

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x2-5y2=5b2. 2 2

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由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得:λ2+4λ=0,解出 λ=0,或 λ=-4. x2 y2 12.(2011· 潍坊模拟)如图,椭圆 C: 2+ =1 的焦点在 x 轴上, a 2 左、右顶点分别为 A1、A,上顶点为 B.抛物线 C1、C2 分别以 A、B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O,C1 与 C2 相交于直线 y= 2x 上一 点 P. (1)求椭圆 C 及抛物线 C1、C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同两点 M、N,已知点 Q(- 2,0),
???? ???? ? 求 Q M · N 的最小值. Q

解:(1)由题意得,A(a,0),B(0, 2), 故抛物线 C1 的方程可设为 y2=4ax,抛物线 C2 的方程为 x2=4 2y.

2 由 x =4 2y

? ? ?y=

y2=4ax, 得 a=4,P(8,8 2),

2x. x2 y2 + =1, 16 2

所以椭圆 C:

抛物线 C1:y2=16x, 抛物线 C2:x2=4 2y. (2)由(1)知,直线 OP 的斜率为 2, 所以直线 l 的斜率为- 2 . 2 2 x+b, 2
[ :]

可设直线 l 的方程为 y=-

?16+ 2 =1, 由? 2 ?y=- 2 x+b.

x2

y2

消去 y,整理得 5x2-8 2bx+(8b2-16)=0.

因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点, 所以 Δ=128b2-20(8b2-16)>0. 解得- 10<b< 10. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=
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8b2-16 8 2b ,x1x2= , 5 5

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y1y2=(-
???? ?

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b2-8 2b 2 2 1 x1+b)(- x2+b)= x1x2- (x1+x2)+b2= . 2 2 2 2 5
????

因为 Q M =(x1+ 2,y1), Q N =(x2+ 2,y2), 所以 Q M · N =(x1+ 2, 1)(x2+ 2, 2)=x1x2+ 2(x1+x2)+y1y2+2= y y Q 因为- 10<b< 10,
???? ???? ? 8 9 8 16 8 14 38 所以当 b=- 时, Q M · N 取得最小值,其最小值等于 ×(- )2+ ×(- )- =- . Q 9 5 9 5 9 5 9 ???? ???? ?

9b2+16b-14 . 5

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