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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《统计、统计案例》


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一、选择题

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练《统计、统计案例》

1.(2011· 南昌模拟)甲、乙两个数学兴趣小组各有 5 名同学,在一次数学测试中,成绩 统计用茎叶图表示如图,若甲、乙小组的平均成绩分别是 x 甲,x 乙,则下列结论正确的是 ( 甲 98 210 A.x 甲>x 乙,甲比乙成绩稳定 B.x 甲>x 乙,乙比甲成绩稳定 C.x 甲<x 乙,甲比乙成绩稳定 D.x 甲<x 乙,乙比甲成绩稳定 1 解析:依题意得 x 甲= (80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90, 5 1 x 乙= (80×4+90×1+3+4+8+9+1)=87,x 甲>x 乙; 5 1 s2 = [(88-90)2+(89-90)2+(92-90)2+(91-90)2]=2, 甲 5 1 s2 = [(83-87)2+(84-87)2+(88-87)2+(89-87)2+(91-87)2]=9.2,s2 <s2 ,因此甲比 乙 甲 乙 5 乙成绩更稳定. 答案:A 2.(2011· 重庆高考)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克): 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 )
[: ]

)



[ :]

8 9

3489 1

则样本数据落在[114.5,124. 5)内的频率为( A.0.2 C.0.4 B.0.3 D.0.5

4 解析:依题意得,样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 =0.4,选 C. 10 答案:C 3.(2011· 江西高考)为了普及环保知识,增强环保意识,

某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的
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)

中位数为 me,众数为 mo,平均值为 x ,则( A.me=mo= x C.me<mo< x

B.me=mo< x D.mo<me< x

解析:由图可知,30 名学生的得分情况依次为:2 个人得 3 分,3 个人得 4 分,10 个 人得 5 分,6 个人得 6 分,3 个人得 7 分,2 个人得 8 分,2 个人得 9 分,2 个人得 10 分.中 位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数,即 me=5.5,5 出现的次数最多,故 mo=5, x= 2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10 ≈5.97.于是得 mo<me< x .故选 30 D. 答案:D 4.(2011· 山东高考)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)
[ :]

4 49

2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程=x+中的为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( ) A.63.6 万元 C.67.7 万元 B.65.5 万元 D.72.0 万元

解析:样本中心点是(3.5,42),则= y - x =42-9.4×3.5=9.1, 所以回归直线方程是=9.4x+9.1,把 x=6 代入得=65.5. 答案:B 5.对变量 x、y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图 1;对变量 u、v 有观测 数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图 2.由这两个散点图可以判断( )

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关
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的属于负相关. 答案:C

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解析:夹在带状区域内的点,总体呈上升趋势的属于正相关;反之,总体呈下降趋势

6.为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况,将所得的学生体重数 据分组整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率 a, b,c 恰成等差数列,若抽取的学生人数是 48,则第 2 小组的频数为( )

A.6 C.18

B.12 D.24

解析: 由图可知后两小组的频率为(0.037 5+0.012 5)×5=0.25, 故前 3 小组的频率之和 为 a+b+c=0.75, 因为前 3 小组的频率 a, c 恰成等差数列, b, 所以 2b=a+c, b=0.25, 得 所以第 2 小组的频数为 48×0.25=12. 答案:B 二、填空题 7.(2011· 湖北高考)某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家.为掌 握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市 ________家. 1 解析:易知抽样比为 ,故应抽取中型超市 20 家. 20 答案:20 8.(2011· 济南模拟)如图是 2011 年在某大学自主招生面试环节中, 七 位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低 分后,所剩数据的平均数和方差分别为________、________. 7 8 9 9 44647 3

解析:依题意得,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 80+ 1 1 ×(4×3+6+7)=85,方差为 [3× (84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6. 5 5 答案:85 1.6

9. (2011· 广东高考)某数学老师身高 176 cm, 他爷爷、 父亲和儿子的身高分别是 173 cm、 170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关, 该老师用线性回归分析的方法预测他孙 子的身高为________ cm.

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解析:设父亲身高为 x cm,儿子身高为 y cm,则 x y 173 170 170 176 176 182

=173,=176,=

0×?-6?+?-3?×0+3×6 =1, 02+9+9

=-=176-1×173=3, ∴=x+3,当 x=182 时,=185. 答案:185 三、解答题 10.下表提供了某厂节能降耗技术改造实行后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程=x+; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤, 试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解:(1)由题设所给数据,可得散点图如下图所示.

(2)对照数据,计算得

?x2=86, i
i=1

4

[:]

x= y=

3+4+5+6 =4.5, 4

2.5+3+4+4.5 =3.5, 4
4

已知 ?xiyi=66.5,
i=1

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所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

?xiyi-4 x
i=1

4

y 66.5-4×4.5×3.5 = =0.7, 86-4×4.52



?x2-4 x i
i=1

4

2

= y - x =3.5-0.7×4.5=0.35. 因此,所求的线性回归方程为=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为 90- (0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤). 11.(2011· 郑州模拟)某中学对高二甲、乙两个同学班级进行“加强‘语文阅读理解’训 练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练), 乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题 上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表 所示: 60 分以 下 甲班(人数) 乙班(人数) 71~80 分 81~90 分

61~70 分

91~100 分

3 4

6 8

11 13

18 15

12 10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (1)试分别估计两个班级的优秀率; (2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并问是否有 75%的把握认为“加强‘语文 阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. 优秀人数 甲班 乙班 合计 非优秀人数 合计

n?ad-bc?2 参考公式及数据:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2 ≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

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k0 0.455 0.708 1.323

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2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82 8

2.072

解:(1)由题意知,甲、乙两班均有学生 50 人, 30 甲班优秀人数为 30 人,优秀率为 =60%, 50 25 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为 =50%, 50 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%. (2) 优秀人数 甲班 乙班 合计 30 25 55 非优秀人数 20 25 45 合计 50 50 100

因为 K2=

100×?30×25-20×25?2 100 = ≈1.010, 99 50×50×55×45

所以由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学 应用题’得分率”有帮助. 12. (2011· 新课标全国卷)某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质 量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方 和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面 试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数
[: ]

[90,94) 8

[94,98) 20

[98,102) 42

[102,106) 22

[106,110] 8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 y=

?-2,t<94, ? ?2,94≤t<102, ?4,t≥102. ?
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从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的

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落入相应组的概率)

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分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值

22+8 解:(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,所以用 A 100 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110] 的频率分别为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42 32+10 =0.42,所以用 B 配方 100

X 的数学期望 E(X)=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.

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