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2014南京清江花苑严老师直线和圆的方程综合练习 (含答案)


直线和圆的方程综合练习
一、填空题 1 在直角坐标系中,直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是
2

. .

2. 直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m )(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是
2 2

3. 若圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜 角的取值范围是 . 4. 直线 ax ? by ? c ? 0?ab ? 0? 截圆 x 2 ? y 2 ? 5 所得弦长等于 4,则以|a|、|b |、|c|为边长的确定三角形一 定是 .
12

? 5. 已知直线 l1 的方程为 y ? x ,直线 l2 的方程为 ax ? y ? 0 ( a 为实数) .当直线 l1 与直线 l2 的夹角在(0, )

之间变动时, a 的取值范围是

. .

6 若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、 Q 两点, 且∠POQ=120° (其中 O 为原点) , 则 k 的值为

?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? 7. 如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ≤ 0 上, 点 Q 在曲线 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上, 那么 PQ 的最小值为 ? 2 y ? 1≥ 0 ?
8.若曲线 x +y +a x+(1–a )y–4=0 关于直线 y–x=0 的对称曲线仍是其本身,则实数 a=
2 2



2

2

2

2



9.已知圆 C : x ? y ? 1 ,点 A (-2,0)及点 B (2, a ) ,从 A 点观察 B 点,要使视线不被圆 C 挡住,则 a 的取值范围是 .

10.在圆 x2 +y2 =5x 内,过点 ( , ) 有 n 条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项 a1 ,最大弦长为 an, 若公差 d ? [ , ] ,那么 n 的取值集合为

5 3 2 2

1 1 6 3



11.点 P(a,3 )到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4,且在不等式 2 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域内,则点 P 的坐标是 . 12.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A(0,2)与点 B(4,0)重合.若此时点 C(7, 3)与点 D(m, n)重合,则 m+n 的值是 .
2 2 13.已知圆 ( x ? 2 3) ? ( y ? 2) ? 16 与 y 轴交于 A,B 两点,与 x 轴的另一个交点为 P ,则 ?APB ?



14.设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1) ? ( y ? 3k ) ? 2k (k ? N ) .下列四个命题:
2 2 4 *

A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . D.所有的圆均不 经过原点 . 其中真命题的代号是 二、解答题 . (写出所有真命题的代号)

1

南京清江花苑严老师

15.已知点 A(2, 0), B(0, 6),坐标原点 O 关于直线 AB 的对称点为 D, 延长 BD 到 P, 且|PD|=2|BD|.已知直线 l:ax+10y+84-108 3 =0 经过 P, 求直线 l 的倾斜角。

?x ? 0 ? 16.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

17.如图所示, 已知 P (4, 0)是圆 x2 +y2 =36 内的一点, A、 B 是圆上两动点, 且满足 AP ? BP ,PQ ? PA ? PB ,
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求点 Q 的轨迹方程

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y _
R _ _

Q _

A _

o _

P _

x _

2

南京清江花苑严老师

18.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 OQ ? OM ? ON ,求 动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

19. 已知圆 M :x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 设点 B, C 是直线 l :x ? 2 y ? 0 上的两点, 它们的横坐标分别是 t , t ? 4(t ? R) , 点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA ,切点为 A . (1)若 t ? 0 , MP ? 5 ,求直线 PA 的方程; (2)经过 A, P , M 三点的圆的圆心是 D ,求线段 DO 长的最小值 L(t ) .

3

南京清江花苑严老师

20.如图,已知:射线 OA 为 y ? kx (k ? 0, x ? 0) ,射线 OB 为 y ? ?kx ( x ? 0) ,动点 P( x, y) 在 ?AOX 的 内部, PM ? OA 于 M , PN ? OB 于 N ,四边形 ONPM 的面积恰为 k . (1)当 k 为定值时,动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数,求这个函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)根据 k 的取值范围,确定 y ? f ( x) 的定义域. y

M

A P

O N B

x

参考答案

一、1.

2? 3

2. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

3.[

3 ? 5? , ] 4.直角三角形 5. ( ,1)∪(1, 3 ) 6. ? 3 3 12 12
4 3 ,+∞) 3

3 2 4 8. ? 9. (-∞, ? 3 2 2 0 13. 30 14. B,D
7.

3 )∪(

10.{4,5,6,7}

11. (?3,3)

34 12. 5

15.解:设 D 点的坐标为(x0, y0 ), ∵直线 AB:

x y ? ? 1, 即 3x+y 2 6

—6=0,

? y0 1 1 ? ? 18 6 18 6 ? kOD ? ? ? k AB , 即 ? x0 3 即D( , ) . ∴? . 解得 x0 = ,y0 = , 5 5 5 5 ?3x ? y ? 12 ? 0 ? 0 ?3 x0 ? y0 ? 6 ? 0 ? 0 BP 3 54 42 ? ? . ∴由定比分点公式得 xp= , yp ? ? 由|PD|=2|BD|, 得λ = . PD 2 5 5 54 42 ,? )代入 l 的方程, 得 a=10 3 . ∴k1= - 3 . 故得直线 l 的倾斜角为 120° 将 P( 5 5
16. 解 :(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0, 0), P(4, 0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部,且△ OPQ 是直角 三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 , 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 .
2 2

(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是

10 , 2

4

南京清江花苑严老师



| 2 ?1 ? b | 12 ? 12

?

10 2

解得: b ? ?1 ? 5 . 所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 . 17.解: 依题意知四边形 PAQB 为矩形。设 AB 的中点为 R ,坐标为(x, y),则在 Rt△ABP 中,|AR |=|PR | 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 -|OR |2 =36-(x2 +y2 ) 又|AR |=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2 +y2 =36-(x2 +y2 ), 即 x2 +y2 -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求 运动
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在 Rt△OAR 中,

y
B Q

|AR |2 =|AO|2

R A

o

P

x

的轨迹上

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设 Q(x, y) , R (x1, y1 ) , 因 为 R 是 PQ 的 中 点 , 所 以 x1 =

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2
代入方程 x +y -4x-10=0, 得 (
2 2

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
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x +y =56, 这就是所求的轨迹方程

2

2

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18. 解(1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 , 其距离为 2 3 ,满足题意 ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k ?x ? 1? , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0
2 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d ,得 d ? 1

?

? ?

?

∴1 ?

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 , 4

故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 综上所述,所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 (2)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? , Q 点坐标为 ? x, y ? 则 N 点坐标是 ?0, y0 ? ∵ OQ ? OM ? ON , ∴ ? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ? 即 x0 ? x ,

y0 ?

y 2
5 南京清江花苑严老师

2 2 又∵ x0 ? y0 ? 4 ,∴ x 2 ?

y2 ?4 4

由已知,直线 m //ox 轴,所以, y ? 0 ,

y 2 x2 ∴ Q 点的轨迹方程是 ? ? 1( y ? 0) 16 4
19.解: (1)设 P(2a, a)(0 ? a ? 2).

M (0,2), MP ? 5,? (2a)2 ? (a ? 2)2 ? 5.
解得 a ? 1 或 a ? ? (舍去). ? P(2,1). 由题意知切线 PA 的斜率存在,设斜率为 k. 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.

1 5

4 ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? . 3 1? k ?直线 PA 的方程是 y ? 1 或 4 x ? 3 y ? 11 ? 0. (2)设 P(2a, a)(t ? 2a ? t ? 4).
直线 PA 与圆 M 相切,?
2

| ?2 ? 2k ? 1|

PA 与圆 M 相切于点 A,? PA ? MA. ?经过 A, P , M 三点的圆的圆心 D 是线段 MP 的中点.
a M (0, 2),? D 的坐标是 (a, ? 1). 2
设 DO2 ? f (a).? f (a) ? a2 ? ( ? 1)2 ? 当 当

a 2

t 2 4 ? ? ,即 t ? ? 时, f (a)min 2 5 5

5 2 5 2 4 a ? a ? 1 ? (a ? ) 2 ? . 4 4 5 5 t 5 t ? f ( ) ? t 2 ? ? 1; 2 16 2

t 2 t 24 4 2 4 ? ? ? ? 2 ,即 ? ? t ? ? 时, f (a)min ? f (? ) ? ; 2 5 2 5 5 5 5 t 2 24 当 ? 2 ? ? ,即 t ? ? 时 2 5 5 t 5 t t 15 f (a)min ? f ( ? 2) ? ( ? 2)2 ? ( ? 2) ? 1 ? t 2 ? 3t ? 8 2 4 2 2 16 4 ?1 2 ? 4 5t ? 8t ? 16, t ? ? 5 ? 4 ? 2 5 24 ,? ? t ? ? 则 L(t ) ? ? 5 5 5 ? 24 ?1 2 ? 4 5t ? 48t ? 128, t ? ? 5 ?
20.解: (1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0)。 则|OM|= a 1 ? k ,|ON|= b 1 ? k 。
2 2

由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<kx.

6

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∴|PM|=

| kx ? y | 1? k
2

=

kx ? y 1? k
2

,|PN |=

| kx ? y | 1? k
2

=

kx ? y 1? k 2

∴ S四边形ONPM ? S?ONP ? SOPN ?

1 (|OM|·|PM|+|ON|·|PN|) 2

1 1 = [a(kx-y)+b(kx+y)]= [k(a+b)x - (a-b)y]= k 2 2

∴k(a+b)x-( a -b) y=2k 又由 kPM = -



1 y ? ka 1 y ? kb = , kPN = = , k x?a k x ?b x ? ky x ? ky ,b ? ,代入①式消 a、b,并化简得 x2 -y2 =k2 +1。 1? k 2 1? k 2

分别解得 a ?

∵y>0,∴ y ? x2 ? k 2 ?1 (2)由 0<y<kx,得 0< x 2 ? k 2 ? 1 <kx

?? ?

? x2 ? k 2 ? 1 ? 0
2 2 2 2 ? ?x ? k ?1 ? k x

?? ?

?x ? k 2 ?1
2 2 2 ?(1 ? k ) x ? k ? 1  ② ?

(*)

当 k=1 时,不等式②为 0<2 恒成立,∴(*) ? x> 2 。 当 0<k<1 时,由不等式②得 x2 ? 当 k>1 时,由不等式②得 x2 ?
1? k4 1? k4 k 2 ?1 ,x? ,∴(*) ? k 2 ? 1 ? x ? 。 2 2 1? k 1? k2 1? k

k 2 ?1 k 2 ?1 ,且 ? 0 ,∴(*) ? x ? k 2 ? 1 2 2 1? k 1? k

但垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形, 所以还必须满足条件: y ? 解得 k 2 ? 1 ? x ?
1 1 x ,将它代入函数解析式,得 x2 ? k 2 ? 1 ? x k k

k k 4 ?1 (k>1). k 2 ?1

综上:当 k=1 时,定义域为{x|x> 2 }; 当 0<k<1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 ? x ? 当 k>1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 ? x ?
1? k4 }; 1? k2

k k 4 ?1 }. k 2 ?1

7

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