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2018届高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式及其解法教师用书理!


第二节
考纲要求

一元二次不等式及其解法
真题举例 命题角度

☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆

1. 会从实际情境中抽象出一元二次不 等式模型; 2. 通过函数图象了解一元二次不等式 与相应的二次函数、 一元二次方程的联 系; 3.会解一元二次不等式, 对给定的一元 二次不等式,会设计求解的程序框图。

2016,全国卷Ⅲ,1,5 分(一元二次不 等式的解法) 2015,天津卷,4,5 分(一元二次不等 式的解法) 2014,全国卷Ⅰ,1,5 分(一元二次不 等式的解法) 2014,全国卷Ⅱ,1,5 分(一元二次不 等式的解法) 一元二次不等式的解法,直接考查则常以较 简单的选择题形式出现。若以其他形式出现 则常常起一个辅助作用, 重点考查其他知识。

微知识 小题练

自|主|排|查

-1-

1.一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于 0。 2.一元二次不等式的解集 判别式 Δ =b -4ac
2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

二次函数

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

一元二次方程

ax +bx+c=0
(a>0)的根

2

有两相异实根 x1,

有两相等实根 x1=x2=-

x2(x1<x2)
{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

b 2a
{x|x≠x1} ?

没有实数根

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0
(a>0)的解集

R ?

3.(x-a)(x-b)>0 或(x-a)(x-b)<0 型不等式解法 不等式 解集

a<b
{x|x<a 或

a=b
{x|x≠a}

a>b
{x|x<b 或 x>a}

(x-a)(x-b)>0

x>b}
{x|a<x<b}

(x-a)(x-b)<0

?

{x|b<x<a}

微点提醒 1.解不等式 ax +bx+c>0(<0)时不要忘记讨论当 a=0 时的情形。 2.不等式 ax +bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。 (1)不等式 ax +bx+c>0 对任意实数 x 恒成立??
2 2 2

? ?a=b=0, ? ?c>0

? ?a>0, 或? ? ?Δ <0。

-2-

(2)不等式 ax +bx+c<0 对任意实数 x 恒成立??

2

?a=b=0, ? ?c<0 ?

?a<0, ? 或? ?Δ <0。 ?

小|题|快|练 一 、走进教材 1.(必修 5P80A 组 T4 改编)已知集合 A={x|x -16<0},B={x|x -4x+3>0},则 A∪B= ( ) A.(-4,4) C.{x|x>3 或 x<1}
2 2 2 2

B.R D.{x|-4<x<1 或 3<x<4}

【解析】 A={x|x -16<0}=(-4,4),B={x|x -4x+3>0}={x|x>3 或 x<1},所以 A ∪B=R。故选 B。 【答案】 B 2. (必修 5P103A 组 T3 改编)当 x>0 时, 若不等式 x +ax+1≥0 恒成立, 则 a 的最小值为( A.-2 C.-1
2 2 2

)

B.-3 3 D.- 2

【解析】 当 Δ =a -4≤0,即-2≤a≤2 时,不等式 x +ax+1≥0 对任意 x>0 恒成立,

a -4>0, ? ? 2 当 Δ =a -4>0,则需? a - <0, ? ? 2
2

2

解得 a>2。

所以使不等式 x +ax+1≥0 对任意 x>0 恒成立的实数 a 的最小值是-2。故选 A。 【答案】 A 二、双基查验 1.不等式 x(1-2x)>0 的解集是( 1? ? A.?-∞, ? 2? ? )

? 1? B.?0, ? ? 2? ?1 ? D.? ,+∞? 2 ? ?
) B.(1,+∞) 1? ? D.?-∞,- ?∪(1,+∞) 2? ?

?1 ? C.(-∞,0)∪? ,+∞? 2 ? ?
【答案】 B 2.不等式 2x -x-1>0 的解集是(
2

? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ?
C.(-∞,1)∪(2,+∞) 【解析】 ∵2x -x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1 或 x<- , 2
2

-3-

1? ? 故原不等式的解集为?-∞,- ?∪(1,+∞)。故选 D。 2? ? 【答案】 D 1 2 3.若不等式 ax +bx-2<0 的解集为{x|-2<x< },则 ab=( 4 A.-28 C.28 1 2 【解析】 ∵x=-2, 是方程 ax +bx-2=0 的两根, 4 -2 ? ?a= - ∴? b 7 ?-a=-4, ? ∴ab=28。故选 C。 【答案】 C 4.不等式 1 1 =- , 4 2 )

B.-26 D.26

∴a=4,b=7,

x2-9 >0 的解集是________。 x-2

x2-9 【解析】 由 >0,得(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用数轴标根法易得-3<x<2 或 x>3。 x-2
【答案】 {x|-3<x<2 或 x>3} 5.不等式 ax +2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为__________。 【解析】
?a>0, ? ? 2 ? ?4a -4a≤0, ? ?a>0, 当 a = 0 时 , 不 等 式 为 1≥0 恒 成 立 ; 当 a≠0 时 , 须 ? ?Δ ≤0, ?
2



所以 0<a≤1。

综上 0≤a≤1。 【答案】 [0,1] 微考点 大课堂

考点一

一元二次不等式的解法

【典例 1】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0}, T={x|x>0}, 则 S∩T =( ) A.[2,3] C.[3,+∞) B.(-∞,2]∪[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)

x-1 (2)不等式 ≤1 的解集为________。 2x+1
-4-

(3)求不等式 12x -ax>a (a∈R)的解集。 【解析】 (1)集合 S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得 S∩T=(0,2]∪[3,+ ∞)。故选 D。

2

2

x-1 x-1 -x-2 x+2 (2) ≤1? -1≤0? ≤0? ≥0。 2x+1 2x+1 2x+1 2x+1
? x+ x+ ? x+2 解法一: ≥0?? 2x+1 ?2x+1≠0。 ? ? ? 1 得?x|x>- 或x≤-2?。 2 ? ? ? ?x+2≥0, x+2 解法二: ≥0?? 2x+1 ? ?2x+1>0 ? ? 1 得?x|x>- 或x≤-2?。 2 ? ? ? ?x+2≤0, 或? ? ?2x+1<0。



(3)∵12x -ax>a , ∴12x -ax-a >0,即(4x+a)(3x-a)>0。 令(4x+a)(3x-a)=0,解得 x1=- ,x2= 。 4 3 ①当 a>0 时,- < ,不等式的解集为 4 3
? a a? ?x|x<- ,或x> ?; 4 3 ? ?
2 2

2

2

a

a

a a

②当 a=0 时,- = =0,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠0}; 4 3 ③当 a<0 时,- > ,不等式的解集为?x|x< ,或x>- ?。 3 4? 4 3 ? 综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为?x|x<- ,或x> ?; 4 3? ? 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠0}; 当 a<0 时,不等式的解集为?x|x< ,或x>- ?。 3 4? ?
? ?

a a

a a

?

a

a?

a

a?

a

a?

? 1 ? 【答案】 (1)D (2)(-∞,-2]∪?- ,+∞? ? 2 ?
(3)见解析 反思归纳 解一元二次不等式注意以下几点: 1.若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进 行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; 2.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等
-5-

式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; 3.若不等式是分式不等式,应化为一元二次不等式(组),再求解。 【变式训练】 (1)不等式
2

x-2 >0 的解集为________。 x +3x+2
2

(2)解不等式 ax -(a+1)x+1<0。 【解析】 (1)

x-2 x-2 >0? x +3x+2 x+ x+
2

>0?(x-2)(x+2)(x+1)>0,

数轴标根得{x|-2<x<-1 或 x>2}, 故填{x|-2<x<-1 或 x>2}。 (2)若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1。

? 1? 若 a<0,原不等式等价于?x- ?(x-1)>0, ?
a?
1 解得 x< 或 x>1。

a

? 1? 若 a>0,原不等式等价于?x- ?(x-1)<0。 ?
a?
1 ? 1? ①当 a=1 时, =1,?x- ?(x-1)<0 无解;

a

? ?

a? a?

1 1 ? 1? ②当 a>1 时, <1,解?x- ?(x-1)<0 得 <x<1;

a

a

1 1 ? 1? ③当 0<a<1 时, >1,解?x- ?(x-1)<0 得 1<x< 。

a

?

a?

a

1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< 或 x>1};

a

1 当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为{x|1<x< };当 a=1 时,解集为?;当

a

a>1 时,解集为{x| <x<1}。 a
【答案】 (1){x|-2<x<-1 或 x>2} (2)见解析 考点二 角度一:在 R 上恒成立 3 2 【典例 2】 (1)若一元二次不等式 2kx +kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范 8 围为( ) B.[-3,0) D.(-3,0)
2

1

一元二次不等式恒成立问题……多维探究

A.(-3,0] C.[-3,0]

(2)设 a 为常数,? x∈R,ax +ax+1>0,则 a 的取值范围是(

)

-6-

A.(0,4) C.(0,+∞) 【 解 析 】 (1)2kx + kx -
2

B.[0,4) D.(-∞,4) 3 <0 8 对 一 切 实 数

x 都 成 立 , 则 必 有

2k<0, ? ? ? ? 3? 2 Δ =k -4×2k×?- ?<0, ? ? 8? ?

解之得-3<k<0。故选 D。

? ?a>0, 2 (2)? x∈R,ax +ax+1>0,则必有? 2 ?Δ =a -4a<0, ?

或 a=0,∴0≤a<4。故选 B。

【答案】 (1)D (2)B 角度二:在给定区间上恒成立 【典例 3】 设函数 f(x)=mx -mx-1。若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的 取值范围。
2

? 1?2 3 【解析】 要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,即 m?x- ? + m-6<0 在 x∈[1,3] ? 2? 4
上恒成立。 有以下两种方法:

? 1?2 3 解法一:令 g(x)=m?x- ? + m-6,x∈[1,3]。 ? 2? 4
当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)? 7m-6<0, 6 6 所以 m< ,所以 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)? m-6<0,所以 m<6,所以 m<0。 6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }。 7

? 1?2 3 2 解法二:因为 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4
又因为 m(x -x+1)-6<0,所以 m< 因为函数 y= 6 = 6
2

6

x2-x+1



x2-x+1 ? 1?2 3 ? x- ? +

6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可。 7 7

?

2?

4

? 6? 所以,m 的取值范围是?m|m< ?。 7? ? -7-

? 6? 【答案】 ?m|m< ? 7? ?

角度三:给定参数范围的恒成立问题 【典例 4】 对任意的 k∈[-1,1],函数 f(x)=x +(k-4)x+4-2k 的值恒大于零,则
2

x 的取值范围是________。
【解析】 x +(k-4)x+4-2k>0 恒成立, 即 g(k)=(x-2)k+(x -4x+4)>0, 在 k∈[-1,1]时恒成立。 只需 g(-1)>0 且 g(1)>0,即? 解之得 x<1 或 x>3。 【答案】 {x|x<1 或 x>3} 反思归纳 1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在 给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方。另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值。 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主 元,求谁的范围,谁就是参数。 考点三 结合函数的图象与性质解不等式
?x -5x+6>0, ? ? ?x -3x+2>0,
2 2 2 2

【典例 5】 (2016·湖北联考)已知 g(x)是 R 上的奇函数,当 x<0 时,g(x)=-ln(1-
3 ?x x≤0, ? x),且 f(x)=? ? x>0。 ?g x

若 f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值范围是(

2

)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(1,2) D.(-2,1) 【解析】
?x ? ? ? ?
3

若 x>0 , 则 - x<0 , 所 以 g(x) = - g( - x) = ln(x + 1) , 所 以 f(x) = 则函数 f(x)是 R 上的增函数,所以当 f(2-x )>f(x)时,2-x >x,解
2 2

x≤0,
+x

x>0,

得-2<x<1。故选 D。 【答案】 D 反思归纳 利用函数的单调性、奇偶性解不等式应首先确定函数的单调性、奇偶性,必

要时要结合函数的图象。

x+b 【变式训练】 已知函数 f(x)= 2为奇函数。 1+x

-8-

(1)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (2)解关于 x 的不等式 f(1+2x )+f(-x +2x-4)>0。
2 2

x+b 【解析】 (1)证明:∵函数 f(x)= 2为定义在 R 上的奇函数, 1+x
∴f(0)=0,即 b=0, ∴f(x)=

x
2

x +1

(经检验满足题意), 。

∴f′(x)=

2 x2+ -x·2x 1-x = 2 2 2 x+ x+

2

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数。 (2)由 f(1+2x )+f(-x +2x-4)>0, 得 f(1+2x )>-f(-x +2x-4)。 ∵f(x)是奇函数, ∴f(1+2x )>f(x -2x+4)。 又∵1+2x >1,x -2x+4=(x-1) +3>1,且 f(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴1+2x <x -2x+4, 即 x +2x-3<0, 解得-3<x<1。 ∴不等式 f(1+2x )+f(-x +2x-4)>0 的解集为{x|-3<x<1}。 【答案】 (1)见解析 (2){x|-3<x<1}
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

微考场 新提升

? 1? 1.若 0<m<1,则不等式(x-m)?x- ?<0 的解集为( ?
m?
? ? ?1 A.?x? <x<m ? ?

)
? ? ? 1 B.?x?x> 或x<m ? ? ? ? ? ? ?

?m ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? m ?

? ? ? 1 C.?x?x>m或x< ? ?

m

? ? ? 1 D.?x?m<x< ? ?

m

? ? ? ? ?

1 解析 当 0<m<1 时,m< 。故选 D。

m

答案 D

-9-

2.不等式

x2-x-6 >0 的解集为( x-1

) B.{x|x<-2 或 1<x<3} D.{x|-2<x<1 或 1<x<3} >0,所以-2<x<1 或 x>3。故选 C。

A.{x|x<-2 或 x>3} C.{x|-2<x<1 或 x>3} 解析

x2-x-6 x- x+ >0, x-1 x-1

答案 C 3.已知不等式 ax +bx+2>0 的解集为{x|-1<x<2},则不等式 2x +bx+a<0 的解集为 ( )
? 1? A.?x|-1<x< ? 2? ? ? ? ? 1 B.?x?x<-1或x> 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

C.{x|-2<x<1} 解析 由题意知 x=-1,x=2 是方程 ax +bx+2=0 的根。
2

D.{x|x<-2 或 x>1}

b -1+2=- , ? ? a 由韦达定理? 2 - = , ? ? a
2 2

??

?a=-1, ? ? ?b=1。

∴不等式 2x +bx+a<0,即 2x +x-1<0。 1 可知 x=-1,x= 是对应方程的根。故选 A。 2 答案 A 4.已知关于 x 的不等式 解析

ax-1 ? 1 ? <0 的解集是(-∞,-1)∪?- ,+∞?,则 a=________。 x+1 ? 2 ?

ax-1 <0?(ax-1)(x+1)<0, x+1

1 1 根据解集的结构可知,a<0 且 =- ,∴a=-2。 a 2 答案 -2

? 1? 2 5.若不等式 x +ax+1≥0 对 x∈?0, ?恒成立,求 a 的最小值。 ? 2?
解析 解法一:(1)Δ =a -4≤0,即-2≤a≤2 成立。 (2)a<-2 时,- >1, 2 1 5 5 ?1?2 只需? ? +a· +1≥0,即 a≥- ,此时- ≤a<-2。 2 2 2 ?2? (3)a>2 时,- <-1 恒成立。 2
2

a

a

- 10 -

5 综上所述,a≥- 。 2 1 ? 1? 2 解法二:由 x +ax+1≥0,得 a≥-x- ,x∈?0, ?。 x ? 2? 1 ? 1?? ? 1?? 令 f(x)=-x- =-?x+ ??x∈?0, ??,是增函数。 x ? x?? ? 2?? 1 5 5 ?1? 当 x= 时,f? ?=- ,∴f(x)max=- 。 2 2 2 ?2? 5 要使原命题成立,则 a≥- 。 2 5 答案 - 2

- 11 -


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