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湖南省师大附中2013-2014学年高一上学期期末考试数学Word版含答案

湖南省师大附中 2013-2014 学年高一上学期期末考试数学试题
时量 120 分钟 总分 100+50 分

必考Ⅰ部分
一、选择题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、已知过点 A(?2, m) 和 B ( m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A ) A. ? 8 B. 0 C. 2 D. 10 2、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( B ) A. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

3、下列四个结论: ⑴两条不同的直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ⑵两条不同的直线没有公共点,则这两条直线平行。 ⑶两条不同直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是( B ) A. 8? cm
2 2
2

B. 12? cm

2

C. 16? cm

2

D. 20? cm B ) D.6

2

5、圆 x ? y ? 1上的点到点 M (3, 4) 的距离的最小值是( A.1 B.4 C.5
2 2

6、若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( D ) A. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

7、 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直 线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A. 90 B. 60 C ) C. 45 D. 30

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分;把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. 8、在空间直角坐标系中,点 A(1,1,3) 与点 B(1, ?3, 0) 的距离为 5 .

9、方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 (??, ) . 10、如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, AB ? 2 ,点 E 为 AD 的中 点, 点 F 在 CD 上, 若 EF // 平面AB1C , 则线段 EF 的长度等于 2 .

1 2

11、直线 ax ? y ? 1 ? 0 恒经过定点 P ,则 P 点的坐标为 (0,1) 12、一个底面为正三角形,侧棱与底面垂直的棱柱,其三视图如图所示,则这个棱柱的体积 为

48 3 .

【第 12 题图】

【第 13 题图】

13、如图,二面角 C ? EF ? G 的大小是 60°,线段 AB 在平面 EFGH 上, B 在 EF 上, AB 与 EF 所成的角为 30°,则 AB 与平面 CDEF 所成的角的正弦值是

3 4

三.解答题:本大题共 3 小题,共 35 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、(满分 11 分)某工厂为了制造一个实心工件,先画出了这个工件的三视图(如图) ,其 中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形,俯视图为一个圆,三视图尺寸如图所示(单位 cm) ; (1)求出这个工件的体积; (2)工件做好后,要给表面喷漆,已知喷漆费用是每平方厘米 1 元, 现要制作 10 个这样的工件, 请计算喷漆总费用 (精确到整数部分) . 【解析】 (1)由三视图可知,几何体为圆锥,底面直径为 4, 母线长为 3,.........................................2 分 设圆锥高为 h ,

则 h ? 3 ? 2 ? 5 ........................4 分
2 2

则 V ?

1 1 1 4 5 Sh ? ?R 2 h ? ? ? 4 ? 5 ? ? (cm3 ) ...6 分 3 3 3 3

(2)圆锥的侧面积 S1 ? ?Rl ? 6? ,.........8 分 则表面积=侧面积+底面积= 6? ? 4? ? 10? (平方厘米) 喷漆总费用= 10? ?10 ? 100? ? 314 元...............11 分 15、 (满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, (1)求证: AD1 ? 平面CDA 1B 1; (2)求直线 AD1 与直线 BD 所成的角 【解析】(1)在正方体中 AD 1 ? A 1D , 又 A1B1 ? 面ADD 1A 1 ,且 AD 1 ? 面ADD 1A 1, 则 AD 1 ? A 1B 1, 而 A1D, A1B1 在平面 CDA1 B1 内,且相交 故 AD1 ? 平面CDA 1B 1 ;...........................................6 分 (2)连接 B1D1 , AB1 , 因为 BD 平行 B1 D1 ,则 ?AD1B1 即为所求的角, 而三角形 AB1D1 为正三角形,故 ?AD 1 B1 ? 60 ,
?

D1 B1

C1

A1

D

C

A

B

则直线 AD1 与直线 BD 所成的角为 60 .......................................12 分 16、 (满分 12 分)已知圆 C x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3=0
2 2

?

(1)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴, y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)求经过原点且被圆 C 截得的线段长为 2 的直线方程。 【解析】 : (1)∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零,设直线方程为 x ? y ? a .............1 分 ∴圆心 C(-1,2)到切线的距离等于圆半径 2 ,..............3 分 即

?1 ? 2 ? a 2

= 2 ...................4 分

∴ a ? ?1 或 a ? 3 ..................5 分 所求切线方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 ………………6 分 (2)当直线斜率不存在时,直线即为 y 轴,此时,交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为 2,符合 故直线 x ? 0 .................8 分 当直线斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 由已知得,圆心到直线的距离为 1,.................9 分 则

?k ? 2

3 ? 1 ? k ? ? ,.................11 分 4 k 2 ?1
3 x 4 3 x .................12 分 4

直线方程为 y ? ?

综上,直线方程为 x ? 0 , y ? ?

必考Ⅱ部分
四、本部分共 5 个小题,满分 50 分,计入总分. 17 (满分 5 分) 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 点 P1 ,P2 分别是线段 AB ,BD1 1B 1C1 D 1 中, (不包括端点)上的动点,且线段 P 1 P 2 平行于平面 A 1 ADD 1 ,则四面体 PP 1 2 AB 1 的体积的 最大值是

1 24

18(满分 5 分)在平面直角坐标系内,设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) 为不同的两点,直线 l 的 方程为 ax ? by ? c ? 0 , 设 ? ?

ax1 ? by1 ? c .有下列四个说法: ax2 ? by2 ? c

①存在实数 ? ,使点 N 在直线 l 上; ②若 ? ? 1 ,则过 M 、 N 两点的直线与直线 l 平行; ③若 ? ? ?1 ,则直线 l 经过线段 MN 的中点; ④若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧,且直线 l 与线段 MN 的延长线相交. 上述说法中,所有正确说法的序号是 ② ③ ④ 2 19(满分 13 分)已知:以点 C (t, t )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交 于点 O, B,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求圆 C 的方程.
2 2 【解析】 (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?

4 . t2

设圆 C 的方程是

2 4 (x ? t)2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值......................5 2 2 t
(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .



? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2
..................................8 分

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点.............................................10 分 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

9 5

? 5

? t ? ?2 不符合题意舍去.....................................11 分
? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ............................13 分
20(满分 13 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB ∥ CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边 三角形. AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. (1)证明: SD ? 平面SAB (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值。 【解析】 (1) 证明: 取 AB 中点 E, 连结 DE, 则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2。 连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3
2 2 2 又 SD=1,故 ED ? SE ? SD

所以 ?DSE 为直角。

由 AB ? DE, AB ? SE, DE

SE ? E ,得

AB ? 平面SDE ,所以 AB ? SD .
SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ? 平面SAB ..........................6 分

B ? 平面 S D E (II) 由A

平面ABCD ? 平面SDE 知,

作 SF ? DE ,垂足为 F, 则 SF ? 平面ABCD , SF ?

SD ? SE 3 ? DE 2

作 FG ? BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。 连结 SG,则 SG ? BC 又 FG ? BC , SG

FG ? G ,

故 BC ? 平面SFG, 平面SBC ? 平面SFG , 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? 平面SBC .

FH ?

SF ? FG 3 ? SG 7
21 。 7
21 。 7

即 F 到平面 SBC 的距离为

由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也为

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? 分

d 21 ...........................12 ? EB 7

21(满分 14 分)已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1 ,设点 B, C 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的两点,
2 2

它们的横坐标分别是 t , t ? 4(t ? R) ,点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA ,切点 为 A. (1)若 t ? 0, MP ? 5 ,求直线 PA 的方程; (2)经过 A, P, M 三点的圆的圆心是 D ,求线段 DO ( O 为坐标原点)长的最小值 L(t ) .

【解析】 (1)设 P(2a, a)(0 ? a ? 2).

M (0,2), MP ? 5,? (2a)2 ? (a ? 2)2 ? 5.
a?? 1 5 (舍去) .? P(2,1).

解得 a ? 1 或

由题意知切线 PA 的斜率存在,设斜率为 k. 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.

?
直线 PA 与圆 M 相切,

| ?2 ? 2k ? 1| 1? k
2

?1

4 k ?? . 3 ,解得 k ? 0 或

?直线 PA 的方程是 y ? 1 或 4 x ? 3 y ? 11 ? 0. ........6 分
(2)设 P(2a, a)(t ? 2a ? t ? 4).

PA 与圆 M 相切于点 A,? PA ? MA.
?经过 A, P , M 三点的圆的圆心 D 是线段 MP 的中点.

M (0, 2),? D 的坐标是

a (a, ? 1). 2

a 5 5 2 4 DO2 ? f (a).? f (a) ? a2 ? ( ? 1)2 ? a2 ? a ? 1 ? (a ? )2 ? . 2 4 4 5 5 设
t 2 4 t 5 t ?? t ?? f (a)min ? f ( ) ? t 2 ? ? 1; 5 ,即 5 时, 2 16 2 当2

2 4 t 2 t 24 4 ?? ? ?2 f (a)min ? f (? ) ? ; ? ?t ?? 5 5 5 2 5 时, 当2 ,即 5 24 t 2 t?? ?2?? 5 时 5 ,即 当2

t 5 t t 15 f (a)min ? f ( ? 2) ? ( ? 2)2 ? ( ? 2) ? 1 ? t 2 ? 3t ? 8 2 4 2 2 16



4 ?1 2 ? 4 5t ? 8t ? 16, t ? ? 5 ? 4 ? 2 5 24 L(t ) ? ? ,? ? t ? ? 5 5 ? 5 24 ?1 2 ? 4 5t ? 48t ? 128, t ? ? 5 ?

.

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