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《数学建模与数学实验》(第三版)6.5习题作业2


1.根据物理定律 V K ? I K R K , P ? I R ,建立如下模型:
2

(1) :目标函数为: P ?

?I
k ?1

4

2 k

Rk

? ? ? 约束条件 ? I ? 4 ? I1 ?

2

Ik Ik ? I1 ? I 2 ? I 3 ? 4, I 2 ? 6, I 3 ? 8

? Rk ?

10

1)直接计算求解
I 4 ? I 1 ? I 2 ? I 3 ? 18
4

P ? min
4

?I
K ?1 K

2 K

RK RK

? min

? I ?I
k ?1

K

?

= min

?

4

I KVK

k ?1

现在 V K 一定,要想求P的最小值,只需 I K 最小即可。 又因为 I K 已知,代入数据即可求解。 即
min P ? I 1V 1 ? I 2V 2 ? I 3V 3 ? I 4V 4 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? 8 ? 2 ? 18 ? 2

2)有 I K 已知及 V K 的取值范围,可得 R K 的取值范围。 min=I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3+I4^2*R4; I1=4; I2=6; I3=8; I4=18; R1>=1/2; R2>=1/3; R3>=1/4; R4>=1/9; R1<=5/2; R2<=5/3; R3<=5/4; R4<=5/9; End Global optimal solution found.

Objective value: Total solver iterations:

72.00000 0

Variable I1 R1 I2 R2 I3 R3 I4 R4 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) :目标函数: P ?

Value 4.000000 0.5000000 6.000000 0.3333333 8.000000 0.2500000 18.00000 0.1111111 Slack or Surplus 72.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 1.333333 1.000000 0.4444444

Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price -1.000000 -4.000122 -4.000081 -4.000061 -4.000027 -16.00000 -36.00000 -64.00000 -324.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

?I
k ?1

4

2 k

Rk

? I 4 ? I1 ? I 2 ? I 3 ? Vk V ? Rk ? k ? 约束条件为: ? 6 2 ?V 1 ? 4 , V 2 ? 6 , V 3 ? 8 ? 2 ? Ik ? 6 ?

1) I 4 ? I 1 ? I 2 ? I 3 ? 18
P ? min
4

?I
K ?1 K

4

2 K

RK RK

? min

? I ?I
k ?1

K

?

= min

?

4

I KVK

k ?1

P ? min( I 1V1 ? I 2V 2 ? I 3V 3 ? I 4V 4 )

要使P最小,取 V 4 =0,则 P ? min( I 1V1 ? I 2V 2 ? I 3V 3 ) 现在 V K 一定,要想求P的最小值,只需 I K 最小即可。 又因为 V K 已知,将 V K 与 I K 的最小值代入即可。
P ? 4? 2 ? 6? 2 ? 8? 2 ? 36

2)min=V1*I1+V2*I2+V3*I3+V4*I4; V1=4; V2=6; V3=8; I1+I2+I3-I4=0; I1<=6; I2<=6; I3<=6; I4<=6; I1>=2; I2>=2; I3>=2; I4>=2; end 运用LINGO编程计算得: Local optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: Total solver iterations:

36.00000 0 8

Variable V1 I1 V2 I2 V3 I3 V4

Value 4.000000 2.000000 6.000000 2.000000 8.000000 2.000000 0.000000

Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 6.000000

I4 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.依题意建立如下模型:

6.000000 Slack or Surplus 36.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 4.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000

0.000000 Dual Price -1.000000 -2.000000 -2.000000 -2.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -4.000000 -6.000000 -8.000000 0.000000

目标函数: max f ? 100 V ? 0 . 3V ? 80 W ? 0 . 2W
2

2

? 2V ? 4W ? 1040 ? 约束条件 ? 80 W ? 100 V ? 0 ? V ? 0,W ? 0 ?

求解:运用库恩--塔克必要条件解得: 因为▽ f ? X ? ? ?100 ? 0 . 6V ,80 ? 0 . 4W

?T , ? g 1 ? X ? ? ? ? 2 , ? 4 ?T , ? g 2 ? X ? ? ? ? 100 ,80 ?T

? ?100 ? 0 . 6V ? ?? 2? ? ? 100 ? ? 0 ? ?? ? ? u1 ? ? ? u2 ? ? ? ? ? ? 80 ? 0 . 4W ? ?? 4? ? 80 ? ? 0 ? ? ? u 1 ? 2V ? 4W ? 1040 ? ? 0 K-T 条件: ? ? u 2 ?80 W ? 100 V ? ? 0 ? ? u1 ? 0 , u 2 ? 0 ?
?100 ? 0 . 6V ? 2 u 1 ? 100 u 2 ? 0 ? 80 ? 0 . 4W ? 4 u 1 ? 80 u 2 ? 0 ? ? 即: ? u 1 ?V ? 2W ? 520 ? ? 0 ? u 2 ? 4W ? 5V ? ? 0 ? ? u1 ? 0 , u 2 ? 0 ?

当 u 1 ? 0 , u 2 ? 0 时,
1040 ? ?V ? 7 ?V ? 2W ? 520 ? 0 ,解得 ? , ? 1300 ? 4W ? 5V ? 0 ?W ? 7 ?

代入上式得 u 2 ? ?

2 35

? 0 舍去;

当 u 1 ? 0 , u 2 ? 0 时,
4W ? 5V ? 0 ? ? ?100 ? 0 . 6V ? 100 u 2 ? 0 , ? 80 ? 0 . 4W ? 80 u ? 0 2 ?

解得 u 2 ? ?

4 196

? 0 舍去;

当 u 1 ? 0 , u 2 ? 0 时,
?100 ? 0 . 6V ? 2 u 1 ? 0 ? ? 80 ? 0 . 4W ? 4 u 1 ? 0 , ? V ? 2W ? 520 ? 0 ?

解得 u 1 ? ? 2 ? 0 舍去; 当 u 1 ? 0 , u 2 ? 0 时,
?100 ? 0 . 6V ? 0 500 , W ? 200 ,解得 V ? ? 3 ? 80 ? 0 . 4W ? 0

代入目标函数 f ? 16333 . 3 2) max f(x)=100*v-0.3*v*v+80*w-0.2*w*w;
?V ? 2W ?? 520 s .t .? ? 5V ? 4W ?? 0

给定初始可行点 X ? (148 ,185 ) ,步长限制 ? ? ( 2 , 2 ) ,步长缩小系数 ? ? 0 . 5
1 T 1 T

设 X ? (V , W ) 在 X 处将f(x)线性化
f (X ) ? f (X ) ? ▽ f (X ) (X ? X )
1 1 T T
1

? 11 . 2 ? ? 16183 . 8 ? ? ? 6 ? ? ? ?

T

? V ? 148 ? ? ? W ? 185 ? ? ? ?

= 11 . 2V ? 6W ? 13416 . 2 步长限制 X ? X
1

? ? ,即 ? 146 ?? V ?? 150 ,183 ?? W ?? 187 .
1

max f ( X ) ? 11 . 2V ? 6W ? 13416 . 2

? V ? 2W ?? 520 ? ? 5V ? 4W ?? 0 s.t. ? ? 146 ?? V ?? 150 ?183 ?? W ?? 187 ?

max=11.2*V+6*W+13416.2; V+2*W<=520; 5*V-4*W<=0; V>=146; V<=150; W>=183; W<=187; Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations:

16194.49 2

Variable V W Row 1 2 3 4 5 6 7
1 T

Value 148.5714 185.7143 Slack or Surplus 16194.49 0.000000 0.000000 2.571429 1.428571 2.714286 1.285714

Reduced Cost 0.000000 0.000000 Dual Price 1.000000 5.342857 1.171429 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

经检验得 X ? (148 . 57 ,185 . 71 ) ,目标函数 f=16194.49 5.令 d=(290,315,350,455)为 4 种产品的长度, n=(15,28,21,30)为 4 种产品的需求量, i 第 种切割模式下每根原料钢管生产 4 种产品的数量分别为 r1 i , r2 i , r3 i , r4 i ,该模式共使用了
x i 次,切割模式的次序是按照使用频率从高到低排列的,引入 0-1 变量 y i 来表示第 i 种切

割模式的使用情况: y i =1 表示使用了第 i 种切割模式, y i =0 表示未使用第 i 种切割模式。 模型为:

min

? (x
i ?1

4

i

? 0 .1 ? i ? y i )

4 ? ( 产品数量) ? x i r ji ? n j ( j ? 1, 2 ,3 , 4 ) ? i ?1 ? 4 ? 1750 y i ? ? d j r ji ? 1850 y i ( i ? 1, 2 , 3 , 4(余料限制) ) ? j ?1 ? 4 ? 5 种产品) s .t .? y i ? ? r ji ? 5 y i ( i ? 1, 2 , 3 , 4 ) (1根钢管最多生产 j ?1 ? 4 ? y i ? ? x i ? 30 y i ( i ? 1, 2 , 3 , 4 ) ( 每种切割模式最多切割 30 根) ? i ?1 ? y i ?1 ? y i ( i ? 1, 2 , 3 , 4 ) ? ? x i ?1 ? x i ( i ? 1, 2 , 3 , 4 ) ?


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