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广东省江门市2011-2012学年度高二文科数学第一学期教学质量检测

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广东省江门市 2011-2012 学年度高二第一学期教学质量检测(文科数 学)

高二数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.。 。 参考公式:

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 为外接圆半径) sin A sin B sin C ??? ? ?? 1 sin ? ? sin ? ? 2 sin ? cos sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 2 2 ??? ? ?? 1 sin ? ? sin ? ? 2 cos ? sin cos ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 2 2 ??? ? ?? 1 cos ? ? cos ? ? 2 cos ? cos sin ? ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 2 2 ??? ? ?? 1 cos ? ? cos ? ? ?2 sin ? sin sin ? ? cos ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 2 2
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知等差数列 10,7,4……,则该数列的第 10 项为 ( ) A.17 B.20 C.-17 D.-20 2. cos 105 ? 的值为 ( ) A.

2? 6 4

B.

2? 6 4

C.

2? 6 4
1 8

D.

2? 6 2

3.已知 A 为三角形的一个内角,且 sin A cos A ? ? , 则 cos A ? sin A 的值为 A. ?





3 2

B. ?

3 2

C. ?

5 2

D. ?

5 2
( )

4.数列 {an }满足an?1 ? an ? n, 且a5 ? 10 ,则 a25 等于
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A.570

B.300

C.285

D.276 ( )

5.在△ABC 中,若∠A=45°. a ? 5, b ? 2 2 ,则满足条件△ABC A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.个数不确定

6. 已知△ABC 的三内角 A、 B、 C 满足条件

sin 2 A ? (sin B ? sin C ) 2 ? 1, 则角 A 等于 ( sin B sin C



A.30° B.60° C.70° D.120° 7.已知三角形的两边之和为 4,其夹角 60°,则此三角形的周长最小时,这两边长分别为 ( ) A.2,2 8.若 B.1,3 C.

1 ? ? , 则sin ? ? cos? 等于 ? 2 cos(? ? ) 4
2 4
B. ?

cos2?

3 5 , 2 2

D. 3,4 ? 3 ( )

A. ?

2 2

C.

2 4

D.

2 2


9.在等差数列 {an } 中,3(a2 ? a6 ) ? 2(a8 ? a10 ? a12 ) ? 24, 则此数列前 13 项的和为( A.13 B.26 C.52 D.156

10.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an )(n ? N*) ,则数列 {an } 的通项为 2 , 4 , 6 ( )

A. a n ? n C. a n ?

B. an ? 2n ? 1 D. a n ? ?

n ?1 2n

(n ? 1) ?1 (n ? 2) ?n ? 1

11.在等比数列 {an } 中, a1 ? a7 ? 65, a3 ? a5 ? 64, 且an?1 ? an , 则公比q为 A.-2 B.-2 或 2 C. ?





1 1 或 2 2

D.

1 2

12.一船向正北航行,看见正西方有两个灯塔恰好与它在一条直线上,两塔相距 10 海里, 继续航行半小时后,看见一塔在船的南 60°西,另一塔在船的南 45°西,则船速(海 里/小时)是 ( ) A.5 B.5 3 C.10 D.10 3 +10

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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

2 , 注意事项: 4. 1.用钢笔圆珠笔直接答在试题卷中 , . 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 64 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 13 .△ ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,设向量 p ? (a ? c, b) ,

q ? (b ? a, c ? a) ,若 p//q,则角 C 等于

.

14 . 已 知 数 列 {an } 的前n项和S n 满足关系式lg(sn ? 2) ? 2n , 则 该 数 列 的 通 项 公 式 为 . 15.某地有适宜造林的荒地 2640 万亩,从 2007 年开始绿化造林,第一年绿化 120 万亩,以 后每年比前一年多绿化 60 万亩,则到 年底可绿化全部荒地. 16.如图是一个破损的圆块,只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器,请给出计算这个圆 块直径长度的一种方案.

. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出相应的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 中, 公差d ? 0, 又a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 bn ?

1 , 数列{bn } 的前 n 项和记为 Sn,求 Sn. an ? an?1
1 ,0? ? ? ? 90? . 4

18. (本题满分 12 分)已知 sin( 45 ? ? ? ) sin( 45 ? ? ? ) ? ? (1)求 ? 的值; (2)求 sin(? ? 10?)[1 ? 3 tan( ? ? 10?)] 的值.

19. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 的前n项和为S n ,点(n, S n )在函数f ( x) ? 2 ? 1 的图象上,
x

数列 {b n } 满足 bn ? log2 an ? 12(n ? N*) . (1)求数列 {a n } 的通项 a n ;

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(2)当数列 {b n } 的前 n 项和最小时,求 n 的值. 20 . (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且满足

(2a ? b) cosC ? c ? cos B, ?ABC 的面积 S=10 3, c ? 7.
(1)求角 C; (2)求 a、b 的值. 21. (本题满分 12 分)如图所示,一辆汽车从 O 点出发,沿海岸线一直线公路以 100 千米/ 小时的速度向东匀速行驶.汽车开动时,在距 O 点 500 千 米,且与海岸线距离 400 千米的海面上 M 点处有一艘 快艇与汽车同时出发,要把一件重要物品送给这辆汽车 司机.该快艇至少以多大的速度行驶,才能将物品送到司 机手中?并求出此时快艇行驶的方向. (参考数据: arccos

2 3 4 ? 60?25?, arccos ? 53?08?, arccos ? 36?52? ) 5 5 5 1 (a n ? 1) 2 ,数列 4

22. (本小题满分 14 分)已知正数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且有 S n ?

1 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,?, bn ? bn?1 是首项为 1,公比为 的等比数列. 2
(1)求证数列 {a n } 是等差数列; (2)若 cn ? an ? (2 ? bn ),求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn;
n ? (3)在(2)条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ? ? a ? 为等比数列?若存在,试求 ? n?2 ?

?T ? ? ?

出 ? ;若不存在,说明理由.

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山东省潍坊市 2007-2008 学年第一学期教学质量检测

高二数学试题(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CADBC BACBA DD 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. , ?102, (n ? 1) 4 13.60° 14. a n ? ? 15.2014 n ?1 , ?99 ? 100 , (n ? 2) 6 16.方案一:①作圆块内接△ABC; ②用直尺量出边长 a,用量角器量出对角 A. ③用正弦定理求出直径:2R=

a . sin A

方案二:①作圆块内接△ABC; ②用直尺量出三边的长 a,b,c,用余弦定理求出角 A; ③由正弦不定理可求出直径: 2 R ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意得 ?

a sin A

?a 2 ? a3 ? 45 ?a 2 ? a3 ? 45 ……………………2 分 即? ?a1 ? a 4 ? 14 ?a 2 ? a3 ? 14.

解得 ?

?a 2 ? 5 ?a 2 ? 9 或? (与d ? 0矛盾, 舍去) ……………………4 分 ?a3 ? 9 ?a3 ? 5

? d ? a3 ? a2 ? 4. ? an ? a2 ? (n ? 2)d ? 5 ? 4(n ? 2) ? 4n ? 3. ……………………6 分
(2)由(1)得 an?1 ? 4n ? 1.

? bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ). ……………………8 分 (4n ? 3)(4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1

? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn
1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ……………………10 分 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 1 1 ? (1 ? ) 4 4n ? 1
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?

n ……………………12 分 4n ? 1

18. (本小题满分 12 分) 解(1)? sin(45? ? ? ) sin(45? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos(45? ? ? )

1 sin( 90 ? ? 2? ) 2 1 ? cos 2? ……………………2 分 2 1 1 ? cos 2? ? ? . 2 4 1 即 cos 2? ? ? 2 ?

? 0? ? ? ? 90?,? 0? ? 2? ? 180?, ? 2? ? 120?,? ? 60?. …………………………5 分
(2) sin(? ? 10?)[1 ? 3 tan( ? ? 10?)] = sin 70?(1 ? 3 tan50?)

? sin 70? ?

cos50? ? 3 sin 50? …………………………7 分 cos50?

?
?

2 sin 70? 1 3 ( cos50? ? sin 50?) cos50? 2 2

2 sin 70 ? cos 110 ? …………………………10 分 cos 50 ? 2 sin 70? sin 20? ? cos 50? sin 40? ?? cos 50?
=-1……………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意: S n ? 2 ? 1(n ? N*) ……………………2 分
n

?当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ……………………4 分
当 n=1 时,S1=a1=1,……………………4 分
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? an ? 2n?1 (n ? N*) ……………………6 分
(2)? bn ? log2 an ? 12 ? n ? 13,

?数列 {bn } 为等差数列.……………………8 分
? Tn ? n 2 ? 25n 1 25 625 ? (n ? ) 2 ? . ……………………10 分 2 2 2 8

故当 n=12 或 13 时,数列 {bn } 的前 n 项和最小.……………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)? (2a ? b) cosC ? c cos B,

? (2 sin A ? sin B) cosC ? sin C cos B, ……………………2 分 2 sin A cosC ? sin B cosC ? cos B sin C, 2 sin A cosC ? sin B cosC ? cos B sin C,

即2 sin A cosC ? sin(B ? C )
? 2 sin A cos C ? sin A. ……………………4 分

? A ? (0, ? ) ? sin A ? 0 ? cosC ?
?C ?

1 2

?
3

.……………………6 分

(2)由 S ?

1 ? ab sin C ? 10 3 , C ? , 2 3

得 ab=40.①……………………8 分 由余弦定理,得:

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC,
), 3 1 ? 7 2 ? (a ? b) 2 ? 2 ? 40 ? (1 ? ). 2 ? a ? b ? 13 . ②……………………10 分
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即 c ? (a ? b) ? 2ab (1 ? cos
2 2

?

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由①②得 a=8,b=5 或 a=5,b=8.…………………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:如图所示,设快艇从M处以 v 千米/小时的速 度出发,沿 MN 方向航行,t 小时后在 N 点与汽 车相遇,MQ 为 M 点到 ON 的距离,则 MQ=400, 在△MON 中,MO=500,ON=100t,MN=vt 设∠MON= ? ,由题意知 sin ? ?
2 2 2

4 3 , 则 cos ? ? , 5 5

……………………2 分 由余弦定理,得 MN =OM +ON -2OM·ON·cos ?

3 5 500 1 500 v 2 ? 2 ? 2 ? 500 ? 600 ? ? 100 2 ? ( ? 60) 2 ? 100 2 ? 60 2. ………………6 分 t t t 500 25 2 ? 60, 即t ? 时, v min ? 6400 即快艇必须至少以 80 千米/小时速度行驶, 当 t 3 25 2000 ? . ……………………9 分 此时 MN= 80 ? 3 3
即 v t ? 500 ? 100 t ? 2 ? 500 ? 100 t ? , ……………………2 分
2 2 2 2 2

设∠NMQ= ? , 则 cos ? ?

MQ 400 3 ? ? ? , ……………………11 分 2000 MN 5 3

故快艇的行驶方向为北偏东 53°08′.……………………12 分 另解提示:在△OMN 中,

100 t vt 80 ? ,v ? sin ?OMN sin ? sin ?OMN '
∴当 ?OMN ? 90?时, vmin ? 80. 22. (本小题满分 14 分)

1 (a n ? 1) 2 , 4 1 2 当 n=1 时, a1 ? (a1 ? 1) 4
解: (1)由 S n ?

? a1 ? 1, ……………………1 分
当 n ? 2时, S n ?1 ?

? a n ? S n ? S n ?1

1 (a n ?1 ? 1) 2 , 4 1 2 2 ? (a n ? an ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ) , 4

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即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0, ………………3 分

? an ? 0,? an ? an?1 ? 2 ? 0,
即 an ? an?1 ? 2.

? 数列 {an }是a1 ? 1, d ? 2 的等差数列……………………4 分
(2)依题意 b1 ? 1, 当n ? 2时, bn ? bn ?1 ? ( )

1 2

n ?1

,

?bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 )
1 1 2 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 2 2 2 1 ? 2(1 ? n ). 2 ? 1? c n ? a n ? (2 ? bn ) ? (2n ? 1) ? 2 . 2n

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn
1 3 5 2n ? 1 ? 2( ? 2 ? 3 ? ? ? ) ① 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ) ,②……………………8 分 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n ? 1 ①—②得 Tn ? 2( ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ), 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ?( ? 2 ? ? ? n ) ? ?1 2 2 2 2 2n 2n ? 3 ? Tn ? 6 ? n ?1 …………………………10 分 2
(3)?

Tn ? ? 2n ? 3 1 ? (6 ? n?1 ? ? ) ? an?2 2n ? 3 2
? 1 2 n ?1
……………………12 分

=

? ?6
2n ? 3

要使数列 ? ?

? Tn ? ? ? ? ? 为等比数列,当且仅当 ? ? 6 ? 0,即? ? ?6 时 ? an?2 ? ? Tn ? ? ? ? ? 为等比数列……………………14 分 a ? n?2 ?

故存在 ? ? ?6 ,使 ? ?

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