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(人教A版)数学【选修2-2】1-2-2《复合函数的导数》ppt课件


第一章 导数及其应用 §1.2 导数的计算 1.2.2 复合函数的导数 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 自学导引 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 课前热身 1.复合函数的概念. 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量 u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数,记作________. 2.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积. 自 1.y=f(u) u=g(x) y=f(g(x)) 我 校 2.y′x=y′u· u′x 对 名师讲解 1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构; (2)关键是正确分析出复合过程; (3)一般从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2.求复合函数导数的方法步骤 (1)分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量; (2)求每一层基本初等函数的导数; (3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函 数. 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 一 复合函数的求导方法 【例1】 求下列函数的导数. 1 (1)y= ; ?1-3x?4 (2)y=cosx2; π (3)y= sin(2x- ); 3 (4)y= 1+x2. 分析 注意中间变量的选取,分层求导. 1 解 (1)令u=1-3x,则y= 4=u-4, u ∴y′u=-4u 5,u′x=-3. - 12 ∴y′x=y′u· u′x=12u = 5. ?1-3x? -5 (2)令u=x2,则y=cosu, ∴y′x=y′u· u′x=-sinu· 2x =-2xsinx2. π (3)令 u=2x-3,则 y=sinu, ∴y′x=y′u· u′x=cosu· 2 π =2cos(2x-3). (4)令 u=1+x ,则 y=u , 1 ∴y′x=y′u· u′x=2u · 2x 1 2 2 1 2 x =x· u = 2. 1+x -1 2 规律技巧 求复合函数的导数,要分清函数的复合关系, 对于分式型的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量,最后 将中间变量代回到原自变量的函数. 【例2】 求下列函数的导数. (1)y=(x2-4)2; (2)y=log2(2x2+3x+1); (3)y=e sin(ax+b). 【分析】 先将复合函数分解,找出中间变量,然后按复 合函数求导公式y′=y′u· u′x进行求导. 【解】 (1)方法1:∵y=(x2-4)2=x4-8x2+16, ∴y′=(x4-8x2+16)′ =4x3-16x. 方法2:y′=2(x2-4)(x2-4)′ =2(x2-4)· 2x =4x3-16x. (2)y′=[log2(2x2+3x+1)]′ 1 = 2 · (2x2+3x+1)′ ?2x +3x+1?ln2 4x+3 = 2 . ?2x +3x+1?ln2 (3)y′=[e sin(ax+b)]′=e sin(ax+b)[ sin(ax+b)]′ =e sin(ax+b)· cos(ax+b)· (ax+b)′ =acos

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