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(人教A版)数学【选修2-2】1-2-2《复合函数的导数》ppt课件

第一章 导数及其应用 §1.2 导数的计算 1.2.2 复合函数的导数 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 自学导引 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 课前热身 1.复合函数的概念. 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量 u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数________和 ________的复合函数,记作________. 2.复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积. 自 1.y=f(u) u=g(x) y=f(g(x)) 我 校 2.y′x=y′u· u′x 对 名师讲解 1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构; (2)关键是正确分析出复合过程; (3)一般从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数. 2.求复合函数导数的方法步骤 (1)分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量; (2)求每一层基本初等函数的导数; (3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函 数. 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 一 复合函数的求导方法 【例1】 求下列函数的导数. 1 (1)y= ; ?1-3x?4 (2)y=cosx2; π (3)y= sin(2x- ); 3 (4)y= 1+x2. 分析 注意中间变量的选取,分层求导. 1 解 (1)令u=1-3x,则y= 4=u-4, u ∴y′u=-4u 5,u′x=-3. - 12 ∴y′x=y′u· u′x=12u = 5. ?1-3x? -5 (2)令u=x2,则y=cosu, ∴y′x=y′u· u′x=-sinu· 2x =-2xsinx2. π (3)令 u=2x-3,则 y=sinu, ∴y′x=y′u· u′x=cosu· 2 π =2cos(2x-3). (4)令 u=1+x ,则 y=u , 1 ∴y′x=y′u· u′x=2u · 2x 1 2 2 1 2 x =x· u = 2. 1+x -1 2 规律技巧 求复合函数的导数,要分清函数的复合关系, 对于分式型的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量,最后 将中间变量代回到原自变量的函数. 【例2】 求下列函数的导数. (1)y=(x2-4)2; (2)y=log2(2x2+3x+1); (3)y=e sin(ax+b). 【分析】 先将复合函数分解,找出中间变量,然后按复 合函数求导公式y′=y′u· u′x进行求导. 【解】 (1)方法1:∵y=(x2-4)2=x4-8x2+16, ∴y′=(x4-8x2+16)′ =4x3-16x. 方法2:y′=2(x2-4)(x2-4)′ =2(x2-4)· 2x =4x3-16x. (2)y′=[log2(2x2+3x+1)]′ 1 = 2 · (2x2+3x+1)′ ?2x +3x+1?ln2 4x+3 = 2 . ?2x +3x+1?ln2 (3)y′=[e sin(ax+b)]′=e sin(ax+b)[ sin(ax+b)]′ =e sin(ax+b)· cos(ax+b)· (ax+b)′ =acos(ax+b)· e sin(ax +b). 规律技巧 (1)求复合函数的导数应注意以下几个环节: ①中间变量的选择应是基本函数结构;②关键是正确分析函数 的复合层次;③一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求 导;④善于把一部分表达式作为一个整体;⑤最后把中间变量 换成自变量的函数. (2)求复合函数的导数,当复合步骤熟练后,可以直接求 导. 二 求导法则的综合应用 【例3】 已知函数f(x)是关于x的二次函数,其导函数为 f′(x),且?x∈R,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函数f(x) 的解析式. 【分析】 可设f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0),利用待定系数 法求出a,b,c的值. 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b. 又x2f′(x)-(2x-1)f(x) =x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立, ?a-b=0, ? ∴?b-2c=0, ?c=1, ? ?a=2, ? ∴?b=2, ?c=1. ? ∴f(x)=2x2+2x+1. 三 与切线有关的综合问题 【例4】 已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为f′(x). (1)求f(1)+f′(1); (2)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范 围. 【分析】 (1)先求导数f′(x),再求值;(2)问题可转化为 f′(x)=0在x>0的范围内有解. 【解】 (1)函数f(x)=ax2+lnx的定义域为(0,+∞),又 1 f′(x)=2ax+x , ∴f(1)+f′(1)=a+2a+1=3a+1. (2)∵曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线, 1 ∴切线的斜率f′(x)=0,问题转化为2ax+ x =0在(0,+ ∞)内有解, 1 即2ax =-1,a=- 2<0. 2x 2 故实数a的取值范围是(-∞,0). 规律技巧 (1)熟悉导数的计算公式及求导法则;(2)正确 理解导数的几何意义;(3)注意等价转化思想的应用. 随堂训练 1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成 的三角形的面积为( 1 A.3 2 C.3 1 B.-2 D.1 ) 解析 ∵y′=(-2x)′e

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