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2014届浙江省金华一中高三9月月考数学试卷(理)


2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷

理科试题
命题人:徐志平 校对:孔小明

一、选择题(下列各小题的四个答案中仅有一个是正确的,请将正确答案填入答题纸的表格中,每 小题 5 分,50 分)
1.已知集合 M ? x ? Z x 2 ? 5x ? 4 ? 0 , N ? ?1, 2,3, 4? , 则 M A. ?1, 2,3? B. ?2,3,4? C. ?2,3?
x ?x 2. 函数 f ? x ? ? 2 ? 2 的图象关于 对称. ( ) A. 坐标原点 B. 直线 y ? x C. x 轴

?

?

N ?(

).

D. ?1, 2, 4? D. y 轴

3. 已知数列 {an } ,那么“对任意的 n ? N ,点 Pn (n, a n ) 都在直线 y ? 2 x ? 1 上”是“ {an }
*

为等差数列”的 ( A. 必要而不充分条件 4. 已知 cos 2? ?

) B. 既不充分也不必要条件

C. 充要条件

D. 充分而不必要条件

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( ) 3 2 2 2 11 A. B. ? C. D. ? 9 18 3 3 2 2 5. 已知命题 p: 在△ABC 中, “ C ? B ”是“ sin C ? sin B ”的充分不必要条件; 命题 q: “ a ? b ”是“ ac ? bc ”
的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( ) A.p 真 q 假 B.p 假 q 真 C.“ p ? q ”为假
2 2

D.“ p ? q ”为真

6. 已知椭圆 E :

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标 2 a b 为 (1, ?1) ,则 E 的方程为 ( )
A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27
x

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

7.若当 x ? R 时,函数 f ( x) ? a 始终满足 0 ? f ( x) ? 1 ,则函数 y

? log a

1 x

的图象大致为(

)

8. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的值是( ) A. 10 B. 12 C. 100 D. 102 x ?1 9. 设 a ? 0, 且a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a 在 (1, ??) 单调递减,则 f ( x ) ( x ?1 A.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单调递增 B.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递减 C.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递增 D.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单调递减
10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b ( x ? R ) ,给出下列命题: (1) f ( x) 必是偶函数; (3)若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 ?a,??) 上是增函数; 其中正确 的命题序号是( .. A.(3) B.(2) (3) ) C.(3) (4) D.(1) (2) (3)



(2)当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; (4) f ( x) 有最大值 a 2 ? b .

二、填空题:把答案填在答题纸相应题号后的横线上(本大题共 7 小题,每 小题 4 分,共 28 分). 0 11. 知一个三棱锥的三视图如右图所示,其中俯视图是顶角为 120 的等腰三角形,
则该三棱锥的体积为_____________. 12.若存在 实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 .. .
2

2 1 左视图

主视图 2 3

13.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? a ? 7 , x 若 f ( x) ? a ? 1 对一切 ..x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________. 14.已知 z=2x +y,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 2, 且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值
? ? x ? a, ? ? y ? x,

俯视图




2

15. 长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是 16. 已知函数 f ( x) ? 3 ? ax (a ? 1) 在区间 (0, 4] 上是增函数,则实数 a 的取值范围为
a ?1

.

17. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 3) 的图像关于(3,0)成中心对称,若 s , t 满足不等 式

f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ,当1 ? s ? 4 时,则 t 2 ? s 2 ? 2s 的取值范围为____________________.

三、解答题(5 小题共 72 分)
18. (本小题满分 14 分)已知命题 p : x ? A ,且 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} ,命题 q : x ? B ,且 B ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} . (Ⅰ)若 A B ? ?, A B ? R ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

2 2 19. (本小题满分 14 分)已知命题 p : 方程 2 x ? ax ? a ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q : 只有一个实数 x0 满足不等

2 式 x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f (1) ?

3 ,且 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ,求 m 的值. 2

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

mx x ?n
2

(m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 A 是曲线 y ? f ( x) 上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直于 x 轴的直线交曲线于点 B ,试问:是 否存在这样的点 A ,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ) 设函数 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ,若对于任意 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最值; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. (注: e 是自然对数的底数)

2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷

理科试题答题卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 14. 17. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分 18. (本小题满分 14 分) 已知命题 p : x ? A ,且 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} ,命题 q : x ? B ,且 B ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} . (Ⅰ)若 A B ? ?, A B ? R ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 12. 15. 13. 16.

班级________ 姓名____________
2 2 19. (本小题满分 14 分)已知命题 p : 方程 2 x ? ax ? a ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q : 只有一个实数 x0 满足不等

座位号_________ 考号

2 式 x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ,若命题“p∨q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f (1) ?

3 ,且 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ,求 m 的值. 2

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

mx x ?n
2

(m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 A 是曲线 y ? f ( x) 上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直于 x 轴的直线交曲线于点 B ,试问:是 否存在这样的点 A ,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ) 设函数 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ,若对于任意 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最值; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. (注: e 是自然对数的底数)

2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷

理科试题参考答案
一.选择题 二、填空题 11. 12. 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 A

2 3 ; 3
?2 ? a ? 4

13. a ? ?

8 ; 7

14.

1 ; 4

15.

3 ; 4

16. 0 ? a ?

3 4

17.

1 [? ,24] 2

三、解答题(5 小题共 72 分) 18. 解:(Ⅰ) A ? ?x | x ? 1或x ? 3? ,由题意得, a ? 1 ? 1且a+1=3,所以a=2 .
(Ⅱ) 由题意得 a ? 1 ? 1或a ?1 ? 3, a ? 0或a ? 4. 19. 解:由 2 x ? ax ? a ? 0 得 (2 x ? a)( x ? a) ? 0 ,∴ x ?
2 2

a 或x ? ?a , 2

a ? 1或 ?a ? 1? a ? 2 . 2 2 又 “ 只 有 一 个 实 数 x0 满 足 x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ” , 即 抛 物 线 y ? x2 ? 2ax ? 2a 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 , ∴
∴当命题 p 为真命题时

? ? 4a2 ? 8a ? 0 ,∴ a ? 0 或 a ? 2 .∴当命题 q 为真命题时, a ? 0 或 a ? 2 .
∴命题“p∨q”为真命题时, a ? 2 .∵命题“p∨q”为假命题,∴ a ? 2 或 a ? ?2 . 即 a 的取值范围为 (??, ?2)

(2, ??) .
?x

20. 解: (1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) ,即 a

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x , x ?x x ?x x ?x 即 (k ? 1)(a ? a ) ? (a ? a ) ? 0 , (k ? 2)(a ? a ) ? 0 ,因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 . 3 1 3 x ?x (2)由(1) f ( x) ? a ? a ,因为 f (1) ? ,所以 a ? ? ,解得 a ? 2 . 2 a 2 x ?x 2x ?2 x x ?x 故 f ( x) ? 2 ? 2 , g ( x) ? 2 ? 2 ? 2 m( 2 ? 2 ) , ?3 ? 令 t ? 2 x ? 2 ? x ,则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ? , ? ? ? , ?2 ? ?3 ? 2 2 2 所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m , t ? ? , ? ? ? ?2 ? 3 9 25 3 3 ? ? ? ? 当 m ? 时, h(t ) 在 ? , ? ? ? 上是增函数,则 h? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 ,解得 m ? (舍去) . 2 4 12 ?2 ? ?2? 3 当 m ? 时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m 2 ? ?2 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去) .综上, m 的值是 2 . 2
21. 解:⑴∵ f ( x) ?
mx
2 ( x ? n) ( x ? n) x ?n m ( n ?1) ? ? ? f ?(1) ? 0 2 ? 0 ∴? ,即 ? (1? n ) ,解得 n ? 1 , m ? 4 ,经检验满足题意,∴ m ?2 ? f (1) ? 2 ? ?1? n

,∴ f ?( x) ?

m( x ? n ) ? mx ? 2 x
2 2

2

?

mn ? mx
2

2

2

.又 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

f ( x) ?

4x x ?1
2

. ,

⑵由⑴知 f ?( x) ? 又 f ?(
x0

4 ? 4x
2

2 2

( x ? 1)

.假设存在满足条件的点 A ,且 A( x0 ,
2

4 x0 x0 ? 1
2 ( x0
2

) ,则 kOA ?
2

4 x0 ? 1
2

)? x 0 2
4 5

x0 2 4 ? 4( 2 )
2 2

[( 2 ) ? 1]

?

16(4 ? x0 )
2 ( x0

? 4)

2

.则由 kOA ? f ?(

x0 2

) ,得

4
2 x0

?1

?

16(4 ? x0 ) ? 4)
2

4 2 ,∴ 5 x0 ,∵ x0 ? 0 , ? 4 x0

2 ∴ x0 ? ,得 x0 ? ?

2 5 5

.故存在满足条件的点 A ,此时点 A 的坐标为 (
2 2

2 5 8 5 5

,

9

) 或 (?

2 5 5

,?

8 5 9

).

⑶解法 1 : f ?( x) ?

?4( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)

,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 1 .

当 x 变化时, f ?( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:

0 0 ? ? ? 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴ f ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 f (?1) ? ?2 ,在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? 2 . 又 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 的最小值为 f (?1) ? ?2 . ∵ 对 于 任 意 的 x1 ? R , 总 存 在 x2 ?[?1,1] , 使 得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) , ∴ 当 x ? [? 1, 1] 时 , g ( x) 最 小 值 不 大 于 ?2 . 又 2 2 2 g ( x) ? x ? 2ax ? a ? ( x ? a) ? a ? a . ∴当 a ? ?1 时, g ( x) 的最小值为 g (?1) ? 1 ? 3a ,由 1 ? 3a ? ?2 ,得 a ? ?1 ; 当 a ? 1 时, g ( x) 最小值为 g (1) ? 1 ? a ,由 1 ? a ? ?2 ,得 a ? 3 ;
当 ?1 ? a ? 1 时 , g ( x) 的最小值为 g (a) ? a ? a 2 . 由 a ? a 2 ? ?2 , 即 a 2 ? a ? 2 ? 0 , 解得 a ? ?1 或 a ? 2 . 又 ?1 ? a ? 1 , ∴此时 a 不存在. 综上, a 的取值范围是 (??, ?1] [3, ??) . 解法 2 :同解法 1 得 f ( x) 的最小值为 ?2 .

x f ?( x) f ( x)

(??, ?1)

?1

( ?1,1)

1

(1, ??)

] , g ( x) ? ?2 有 解 , 即 ∵ 对 于 任 意 的 x1 ? R , 总 存 在 x2 ?[?1,1] , 使 得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) , ∴ 当 x ? [? 1 , 1 时
x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 [ ?1,1] 上有解.设 h( x) ? x2 ? 2ax ? a ? 2 ,则

?? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 4(a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? ??1 ? a ? 1 得 a ? ? , 或 h(?1)h(1) ? (3a ? 3)(?a ? 3) ? 0 ,得 a ? ?1 或 a ? 3 . ? ?h(?1) ? 3a ? 3 ? 0 ? ?h(1) ? ?a ? 3 ? 0
∴ a ? ?1 或 a ? 3 时, x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 在 [ ?1,1] 上有解,故 a 的取值范围是 (??, ?1] [3, ??) . 解法 3 :同解法 1 得 f ( x) 的最小值为 ?2 . ∵对于任意的 x1 ? R , 总存在 x2 ?[?1,1] , 使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) , ∴当 x ? [? 1,1]时 , g ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? ?2 有解 , 即
t ? 2t ? 1 4
2

(2 x ? 1)a ? x 2 ? 2 在 [ ?1,1] 上有解.令 2 x ? 1 ? t ,则 x 2 ?
1 9 t 1 1 9 t

,∴ at ?

t ? 2t ? 9 4

2

, t ? [?3,1] .

∴当 t ? [?3,0) 时, a ? (t ? 2 ? ) ? ? [(?t ) ? (? )] ? ?1 ;当 t ? 0 时,得 0 ?
4 2 4 1 9 t 9 t

9 4

,不成立,∴ a 不存在;
9 t
2

当 t ? (0,1) 时, a ? (t ? 2 ? ) .令 ? (t ) ? t ? 2 ? , t ? (0,1] ,∵ t ? (0,1] 时, ? ?( x) ? 1 ?
4

? 0 ,∴ ? (t ) 在 (0,1]

上为减函数,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 12 ,∴ a ? ?12 ? 3 .
4

1

综上, a 的取值范围是 (??, ?1] [3, ??) .

e] 时, f ? x ? ? x2 ? 2x ? ln x , 22. 解:(1) 若 a ? 2 ,则 f ( x) ? x x ? 2 ? ln x .当 x ? [2 ,
2 e? 上单调递增; f ? ? x ? ? 2 x ? 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 ? 2 , x x 2 当 x ??1, 2? 时, f ? x ? ? ?x2 ? 2x ? ln x , f ? ? x ? ? ?2 x ? 2 ? 1 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . x x 所以函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上单调递减,所以 f ? x ? 在区间[1,e]上有最小值 f ? 2? ? ? ln 2 ,又因为 f ?1? ? 1 ,

f ? e ? ? e ? e ? 2? ? 1 ,而 e ? e ? 2? ? 1 ? 1 ,所以 f ? x ? 在区间 ?1, e? 上有最大值 f ?1? ? 1 . (2) 函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , (*) ? ? ? . 由 f ? x ? ? 0 ,得 x ? a ? ln x . x (ⅰ)当 x ? ? 0 , 1? 时, x ? a ? 0 , ln x ? 0 ,不等式(*)恒成立,所以 a ? R ; x (ⅱ)当 x ? 1 时, ①当 a ? 1 时,由 x ? a ? ln x 得 x ? a ? ln x ,即 a ? x ? ln x , x x x 2 ? ln x ,因为 x ? 1 ,所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, 现令 h ? x ? ? x ? ln x , 则 h?( x) ? x ? 12 ? ? ? 上单调递增, x x 从而 h ? x ? 的最小值为 1 ,因为 a ? x ? ln x 恒成立等价于 a ? h ? x ?min ,所以 a ? 1 ; x ②当 a ? 1 时, x ? a 的最小值为 0 ,而 ln x ? 0 ? x ? 1? ,显然不满足题意. x 综上可得,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?? , 1? .


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