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高考数学总复习不等式选讲绝对值不等式


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选修 4-5 不等式选讲第 1 课时 绝对值不等式(理科专用)

1. 解不等式:|2x-1|<3. 解:|2x-1|<3 ? -3<2x-1<3 ? ?-1<x<2. 2. 若关于 x 的不等式|x+1|-|x-2|<a2-4a 有实数解,求实数 a 的取值范围. 解:∵ ||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,∴ -3≤|x+1|-|x-2|≤3.由不等式 a2-4a>|x+1|-|x- 2|有实数解,知 a2-4a>-3,解得 a>3 或 a<1. 3. 不等式|2-x|+|x+1|≤a 对于任意 x∈[0,5]恒成立的实数 a 的集合是多少? 解:当 x∈[0,2]时,|2-x|+|x+1|=2-x+x+1=3,当 x∈[2,5]时,|2-x|+|x+1|=x-2+x+1= 2x-1≤9,综上可得|2-x|+|x+1|≤9,∴ a≥9. 4. 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2. 解:① 当 x≥4 时,2x+1-(x-4)<2, ∴ x∈ ?; 1 ② 当- ≤x<4 时,2x+1+x-4<2, 2 1 5 ∴ - ≤x< ; 2 3 1 ③ 当 x<- 时,-2x-1+x-4<2. 2 ∴ 1 -7<x<- . 2

5? 综上,该不等式的解集为? ?-7,3?. 5. 若 f(x)=|x-t|+|5-x|的最小值为 3,求实数 t 的值. 解:由 f(x)=|x-t|+|5-x|≥|(x-t)+(5-x)|=|5-t|=3,解得 t=2 或 8. 6. 若对任意 x∈R,|2-x|+|3+x|≥a2-4a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:|2-x|+|3+x|≥5,要|2-x|+|3+x|≥a2-4a 恒成立,即 5≥a2-4a,解得-1≤a≤5.

7. 设 a∈R,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1). 5 (1) 若|a|≤1,求证:|f(x)|≤ ; 4 17 (2) 求使函数 f(x)最大值为 时 a 的值. 8 (1) 证明:∵ |x|≤1,|a|≤1,∴ |f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|=|a|· |x2-1|+|x|≤|x2-1|+|x|=|1 1 2 5 5 |x|- ? + ≤ . -x2|+|x|=1-|x|2+|x|=-? 2? ? 4 4 (2) 解:当 a=0 时,f(x)=x(-1≤x≤1)的最大值是 f(1)=1,从而 a≠0,故知 f(x)是二次函数.∵ f(± 1)
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?-1<-2a<1, ?a<-2, 17 =± 1,∴ f(x)=ax +x-a(-1≤x≤1)有最大值 ?? 即? ∴ a=-2. 8 1 ? 17 1? ? ? ?f?-2a?= 8 , ?(a+2)?a+8?=0,
8. 已知 f(x)=x2-x+c 定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且 x1≠x2,求证: (1) f(0)=f(1); (2) |f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|. 证明:(1) ∵ f(0)=c,f(1)=c,∴ f(0)=f(1).
2 (2) |f(x2)-f(x1)|=|x2 2-x2+c-x1+x1-c|=|x2-x1|·|x2+x1-1|.

∵ 0≤x1≤1,0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2), ∴ -1<x1+x2-1<1,∴ |x2+x1-1|<1, ∴ |f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|. 9. 如图,O 为数轴的原点,A、B、M 为数轴上的三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点 的距离,y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1) 将 y 表示成 x 的函数; (2) 要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

解:(1) y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30.
?4|x-10|+6|x-20|≤70, ? (2) 依题意,x 满足? ?0≤x≤30, ?

解不等式组,其解集为[9,23],所以 x∈[9,23]. 10. 设 f (x)= x2-x+1,实数 a 满足|x-a|<1,求证:| f (x)-f (a)|<2(|a|+1). 证明:∵ f(x)=x2-x+1,|x-a|<1,
2 2 ∴ |f(x)-f(a)|=|x -x-a +a|

=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1| =|(x-a)+2a-1|≤|x-a|+|2a-1| <1+|2a|+1=2(|a|+1). 11. 已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m) (1) 当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2) 若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R,求 m 的取值范围.
?x≥2, ?-1≤x<2, ? ? ? 解: (1) 由题设知|x+1|+|x-2|>5, 不等式的解集是三个不等式组: 或? ?x+1+x-2>5 ? ?x+1-x+2>5 ? ? ?x<-1, 或? 解集的并集,解得函数 f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞). ?-x-1-x+2>5 ?

(2) 不等式 f(x)≥1 即|x+1|+|x-2|>m+2.∵ x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,要 使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 的解集是 R,∴ m+2≤3,∴ m 的取值范围是(-∞,1].
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