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2011届高三第二次联考数学试卷(理科)


湖北省部分重点中学 2011 届高三第二次联考

数学试卷(理科)
一、选择题(每小题5分,共 50 分) 1、函数 y= log 1 ( 2 - x ) 的定义域为
3

A、(1,+∞)

B、(-∞,2)

C、(1,2)

D、[1,2)

2、等差数列{a n}, {b n}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若

a Sn 2n ,则 n 等于 ? bn Tn 3n ? 1
D、

A、

2 3

B、

2n ? 1 3n ? 1

C、

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4 4 ,当 5

3、在△ ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,若 m =(a-b,1)和 n =(b-c,1)平行,且 sinB= △ ABC 的面积为

3 时,则 b 等于 2
B、2 C、4 D、2+ 3

A、

1? 3 2

4、对于非空集合 A、B,定义运算 A+ ○B={x | x∈A∪B,且 x ? A∩B},已知两个开区间 M=(a,b),N=(c,d), 其中 a、b、c、d 满足 a+b<c+d,ab=cd<0,则 M+ ○ N 等于 A、(a,b)∪(c,d) C、(a,d)∪(b,c) 5、已知 f (x)=x2-2x,则满足条件 ? A、π B、 B、(a,c)∪(b,d) D、(c,a)∪(d,b)

? f ( x) ? f ( y ) ? 0 的点(x,y)所形成区域的面积为 ? f ( x) ? f ( y ) ? 0
C、2π D、4π

3 π 2

6 、 已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 为 △ ABC 的 外 心 , 动 点 P 满 足

OP ?

[(1 ? ?) OA ? (1 ? ? )OB ? (1 ? 2? )OC] (λ∈R) , 则 P 的轨迹一定过△ ABC 的 3
B、垂心 C、重心 D、AC 边的中点

A、内心

7、已知圆 C:x2+y2=1,点 P(x 0,y0)在直线 x-y-2=0 上,O 为坐标原点,若圆 C 上存在点 Q,使∠OPQ= 30° ,则 x0 的取值范围是 A、[-1,1] B、[0,1] C、[-2,2] D、[0,2]

x 1 8、定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (0)=0,f (x)+f (1-x)=1,f( )= f (x),且当 0≤x1<x2≤1 时,有 f(x1)≤f (x2), 5 2 2007 则f( )等于 2008 高三数学试题(理) 第 1 页 共4页 7 15 31 63 A、 B、 C、 D、 8 16 64 32

9、设 y=f (x)在[0,+∞)上有定义,对于给定的实数 K,定义函数 fK(x)= ? -x-x2,若对于任意 x∈[0,+∞),恒有 fK(x)=f(x),则 A、K的最大值为

? f ( x), f ( x) ? K, 给出函数 f (x)=2 ?K,f ( x)>K

9 4

B、K 的最小值为

9 4

C、K 的最大值为 2

D、K 的最小值为 2

10、已知:a1<a2<a3,b1<b2<b3,a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3 +b2b3 且 a1<b1,有下列 四个命题 (1)b2<a2; (2)a3<b3; (3)a1a2a3<b1b2b3; (4)(1-a1)(1-a2)(1-a3)>(1-b1)(1-b2)(1-b3),其中真 命题个数为 A、1 B、2 C、3 D、4

二、填空题(每小题5分,共 25 分) 11、已知 sin(α+

? 1 2? )= ,则 cos( -2α)的值为 3 6 3

12、已知函数 f (x) 的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f (x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取值范围是 13、如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N 为正方形内 (含边界)任意一点,则 AM ·AN 的最大值为 14、在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y= 3 x+2m 和圆 x2+y2=n2 相切,其中 m, n∈N*, 0<| m-n |≤1, 若函数 f (x)=mx+1-n 的零点 x0∈ (k, k+1) , k∈Z,

D N

C M

A
则 k= 15、已知:A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线 从 F 点出发射到 BC 上的 D 点经 BC 反射后,再经 AC 反射,落到线段 AE 上(不含端点)FD 斜率的范围为 三、解答题(共 75 分) 16、 (12 分)在锐角三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b, c,且 b2+c2=bc+a2 (1)求∠A; (2)若 a= 3 ,求 b2+c2 的取值范围。

B Y C (0,2 ) (2,0) B

(-2,0) A

EO

F

X

x
17、 (12 分)如图,从边长为 2a 的正 方形铁皮的四 高三数学试题(理) 第 2 页 共4页 个角各截去一个边长为 x 的小正 方形,再将四

x x x

x x x x

边向上折起, 做成一个无盖的长方体铁盒, 且要求长方体的高度 x 与底面正方形的边长的比不超过常数 t, 问: x 取何值时,长方体的容积 V 有最大值?

18、 (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点。 (1)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (2)在 CC1 上是否存在一点 E,使得∠BA1E=45° , 若

B1 A1

C1

存在,试确定 E 的位置,并判断平面 A1BD 与平面 BDE 是否垂直?若不存在,请说明理由。

B D A

C

19、 (12 分)设{an}是由正数组成的等差数列,Sn 是其前 n 项和 (1)若 Sn=20,S2n=40,求 S3n 的值; (2)若互不相等正整数 p,q,m,使得 p+q=2m,证明:不等式 SpSq<S m 成立; (3)是否存在常数 k 和等差数列{an} ,使 ka n -1=S2n-Sn+1 恒成立(n∈N*) ,若存在,试求出常数 k 和 数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由。
2

2

Y

A

BM O
20、 (13 分)已知,A 是抛物线 y =2x 上的一动点,过 A 作圆(x -1)2+y2=1 的两条切线分别切高三数学试题(理) 第 3 页 共4页 圆于 EF 两点,交抛物线于 M、N
2

E D (1,0 ) N X F

C

两点,交 y 轴于 B、C 两点 (1)当 A 点坐标为(8,4)时,求直线 EF 的方程; (2)当 A 点坐标为(2,2)时,求直线 MN 的方程; (3)当 A 点的横坐标大于 2 时,求△ ABC 面积的最小值。

21、 (14 分)设函数 f(x)=xn(n≥2,n∈N*) (1)若 Fn(x)=f(x-a)+f(b-x)(0<a<x<b) ,求 Fn(x)的取值范围; (2)若 Fn(x)=f(x-b)-f(x-a),对任意 n≥a (2≥a>b>0), 证明:F n (n)≥n(a-b)(n-b)n-2。
?

高三数学试题(理) 第 4 页 共4页

2010 届高三第二次联考高三数学(理)参考答案

一、选择题: 1-5 DBBBA 6-10 CDCDD

二、填空题: 11、- 14、0

7 9

12、(-1,0) 15、 (4,+∞)

13、6

三、解答题 16、①由余弦定理知:cosA=

b2 ? c2 ? a2 1 = 2 2bc

∴∠A=

?
3

…………………………………………………5 分

②由正弦定理得:

a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C

∴b=2sinB,c=2sinC ∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)

2? -B) 3 4? =4-2cos2B-2cos( -2B) 3
=4-2cos2B-2cos2( =4-2cos2B-2(-

1 3 cos2B- sin2B) 2 2

=4-cos2B+ 3 sin2B =4+2sin(2B- 又∵

?
6

)

? ? <∠B< 2 6 ? ? 5? ∴ <2B- < 6 6 6 ? ∴1<2sin(2B- )≤2 6

∴5<b2+c2≤6…………………………………………………12 分

17、长方体的体积 V=4x(x-a)2,(o<x<a),由 而 V′=12(x-

2ta x ≤ t 得 0<x≤ 1 ? 2t 2a ? 2 x

a )(x-a) 3

高三数学试题(理) 第 5 页 共4页

a a )增,在( ,a)递减………………………………………………6分 3 3 2ta a 1 a 16 3 ∴若 ≥ 即 t≥ ,当 x= 时,V 取最大值 a 1 ? 2t 3 4 3 27
∴V 在(0,

2ta a 若 < 1 ? 2t 3
18、 (1)∵AB=B1B

1 2ta 8ta 3 即 0<t< ,当 x= 时,V 取最大值 ………12 分 4 1 ? 2t (1 ? 2t ) 3

∴四边形 ABB1A1 为正方形, ∴A1B⊥AB1 又∵AC1⊥面 A1BD, ∴AC1⊥A1B, ∴A1B⊥面 AB1C1, ∴A1B⊥B1C1 又在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1…………………………………………6分 (2)证明:设 AB=BB1=a,CE=x, ∵D 为 AC 的中点,且 AC1⊥A1D, ∴A1B=A1C1= 2 a 又∵B1C1⊥平面 ABB1A1,B1C1⊥A1B1 ∴B1C1=a,BE= a 2 ? x 2 ,
2 2 A1E= 2a ? ( a ? x) ?

3a 2 ? x 2 ? 2ax ,

在△ A1BE 中,由余弦定理得 BE2=A1B2+A1E2-2A1B· A1E· cos45° , 即 a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2 3a 2 ? x 2 ? 2ax · 2 a· ∴ 3a 2 ? x 2 ? 2ax =2a-x,解得 x=

2 , 2

1 a,即 E 是 C1C 的中点 2

∵D、E 分别为 AC、C1C 的中点,∴DE∥AC1 ∵AC1⊥平面 A1BD,∴DE⊥平面 A1BD 又∵PE ? 平面 BDE,∴平面 ABD⊥平面 BDE…………………………12 分 19、 (1)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列, ∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn) ∴S3n=3 S2n-3 Sn=60…………………………………………………………………4 分 (2)SpSq=

1 pq(a1+ap) (a1 +aq) 4 高三数学试题(理) 第 6 页 共4页 1 2 = pq [ a 1 + a1(ap +aq)+apaq] 4



a p ? aq 2 1 1 p?q 2 2 2 pq(a 1 +2a1am+apaq)< ( ) [a 1 +2a1am+( )] 4 4 2 2
1 2 1 2 m (a 1 +2a1am+a 2 m(a1+am) ]2 m )=[ 4 2



=S 2 m ………………………………………………………………………8 分 (3)设 an=pn+q(p,q 为常数) ,则 ka n -1=kp2n2+2kpqn+kq2-1 Sn+1=
2

1 p ? 2q p(n+1)2+ (n+1) 2 2

S2n=2pn2+(p+2q)n

3 2 2q - p pn + n-(p+q) , 2 2 3 2q - p 依题意有 kp2n2+2kpqn+kq2-1= pn2+ n-(p+q)对一切正整数 n 成立, 2 2
∴S2n-Sn+1=

? 2 3 ?kp ? 2 p,① ? 2q ? p ? ∴ ?2kpq ? ,② 2 ? ?kq2 ? 1 ? ?( p ? q )③ ? ?
由①得,p=0 或 kp=

3 ; 2

若 p=0 代入②有 q=0,而 p=q=0 不满足③, ∴p≠0

3 代入②, 2 2q - p p ∴3q= ,q=- 代入③得, 2 4
由 kp=

3 32 p kp2 -1=-(p- ) ,将 kp= 代入得,∴P= , 2 27 4 16

8 81 ,k= 27 64 81 32 8 故存在常数 k= 及等差数列 an= n- 使其满足题意…………………12 分 64 27 27
解得 q=- 20、 (1)∵DEFA 四点共圆 EF 是圆(x-1)2+y2=1 及(x-1)(x-8)+y(y-4)=0的公共弦 ∴EF 的方程为 7x+4y-8=0………………………………………………4 分 (2)设 AM 的方程为 y-2=k(x-2) 即 kx-y+2-2k=0 与圆(x-1)2+y2=1 相切得 高三数学试题(理) 第 7 页 共4页

|2-k | 1? k2

=1

∴k=

3 4 3 2 2 (x-2)代入 y2=2x 得 M( , ),而 N(2,-2) 4 9 3

把 y-2=

∴MN 的方程为 3x+2y-2=0………………………………………………8 分 (3)设 P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),不妨设 b>c, 直线 PB 的方程为 y-b=

y0 - b x, x0

即(y0-b)x-x0y+x0b=0 又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1,所以

| y0 - b ? x0b |
2 ( y0 ? b)2 ? x0

=1,故

(y0-b)2+x 0 =(y0-b)2+2x0b(y0-b)+ x 0 b2 又 x0>2,上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0 同理有(x0-2)c2+2y0c-x0=0 故 b,c 是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0 的两个实数根 所以 b+c=
2 - 2 y0 - x0 4x2 ? 4y0 - 8x0 ,bc= ,则(b-c)2= 0 x0 - 2 x0 - 2 ( x0 - 2)2

2

2

因为 P(x0,y0)是抛物线上的点,所以有 y 0 =2x0,则 (b-c)2=
2 2 x0 4x0 ,b-c= , 2 x0 - 2 ( x0 - 2) 2 1 4 x0 (b-c)x0= =x0-2+ +4≥2 4 +4=8 2 x0 - 2 x0 - 2

2

∴S△ PBC=

当(x0-2)2=4 时,上式取等号,此时 x0=4,y=± 2 2 因此 S△ PBC 的最小值为 8…………………………………………………………13 分 21、 (1)∵Fn(x)=f (x-a)+f(b-x)=(x-a)n+(b-x)n F n (x)=n(x-a)n-1+n(b-x)n-1· (-1)=n[(x-a)n-1-(b-x)n-1] 令 F n (x)=0 得(x-a)n-1=(b-x)n-1 ∵0<a<x<b ∴x= ∴f (x)=xn(n≥2,n∈N+)为单调增函数
? ?

a?b 2
x (a,

a?b ) 2

a?b 2

(

a?b ,b) 2

高三数学试题(理) 第 8 页 共4页 F n (x)
?







F n (x)

单调减

极小值

单调增

a?b b ? a n b ? a n (b ? a ) n ∴Fn(x)min=Fn( )=( ) +( )= 2 2 2 2n ?1
又 Fn(x)在 x=a,x=b 处连续且 Fn(a)=Fn(b)=(b-a)n 故

(b ? a ) n ≤Fn(x)<(b-a)n 2n ?1 (b ? a ) n , (b-a)n)………………………………7分 2n ?1

即 Fn(x)的取值范围为[

(2)证明:∵Fn(x)=f(x-b)-f(x-a)=(x-b)n-(x-a)n ∴F n (x)=n[(x-b)n-1-(x-a)n-1] 则 F n (n)=n[(n-b)n-1-(n-a)n-1] ∵当 x≥a>0 时 F n (x)>0 ∴当 x≥a>0 时 Fn(x)是关于 x 的增函数 ∴当 n≥a 时, (n+1-b)n-(n+1-a)n>(n-b)n-(n-a)n>0 ∴F n ?1 (n+1)=(n+1) [ (n+1-b)n-(n+1-a)n]>(n+1) [(n-b)n-(n-a)n]>(n+1) [(n-b) (n-b)n-1-(n-b) (n-a)n-1] =(n+1)(n-b) = 而 F n (n)>0 于是
?

?

?

?

?

n [(n-b)n-1-(n-a)n-1] n

n ?1 ? (n-b)· F n (n) n

?

Fn??1 (n ? 1) n ? 1 > · (n-b) n Fn? (n)


而 F 2 (2)=2[(2-b)2-1-(2-a)2 1]=2(a-b) 当 n≥3 时 F n (n)=
?

Fn? (n) Fn??1 (n ? 1) F3? (3) ? · … · F 2 (2) Fn??1 (n) Fn?? 2 (n ? 2) F2? (2)
n n ?1 3 · … · 2(a-b) · (n-b)n-2 n ?1 n ? 2 2



=n(a-b)(n-b)n-2 即 F n (n) ≥n(a-b)(n- 高三数学试题(理) 第 9 页 共4页 b)n-2…………………………………………………14 分
?

高三数学试题(理) 第 10 页 共4页


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