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《金版新学案》高一数学 第二章2.3幂函数 练习题 新人教A版


1 1.在函数 y=x2,y=3x3,y=x2+2x,y=x-1,y=x0 中,幂函数有( A.1 个 C.3 个 【解析】 【答案】 2. B.2 个 D.4 个 1 y=x2=x-2,y=x0 是幂函数.故选 B. B

)

若幂函数 y=xα 在第一象限内的图象如图所示,则α 的取值可能为( A.-1 B.2 1 C.3 D.2 【解析】 【答案】 考查幂函数的图象. D

)

1 3.函数 f(x)=(x-1)0+(2-x)2的定义域为________. 【解析】 ?x-1≠0 要使函数有意义,只须使? ?2-x≥0

∴x≤2 且 x≠1, ∴函数的定义域为(-∞,1)∪(1,2]. 【答案】 (-∞,1)∪(1,2]

1 4.幂函数 y=(m2-m-1)x2m+1,当 x∈(0,+∞)时为增函数,求实数 m 的值. 【解析】 由题得 m2-m-1=1,得 m=2 或 m=-1.
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1 当 m=2 时,y=x2;当 m=-1 时,y=x2.这两个幂函数都满足题意,故 m =-1 或 m=2.

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) ?1?2 ?1?2 ?1?1 1.T1=?2?3,T2=?5?3,T3=?2?3,则下列关系式正确的是( ? ? ? ? ? ? A.T1<T2<T3 C.T2<T3<T1 【解析】 B.T3<T1<T2 D.T2<T1<T3 )

2 构造函数 y=x3,此函数在[0,+∞)上是增函数,

?1?2 ?1?2 则?2?3>?5?3, ? ? ? ? ?1? 即 T2<T1,构造函数 y=?2?x, ? ? 此函数在 R 上是减函数, ?1?2 ?1?1 则?2?3<?2?3,即 T1<T3, ? ? ? ? ∴T2<T1<T3.故选 D. 【答案】 2. D

幂函数 y=xa,y=xb,y=xc,y=xd 在第一象限的图象如图所示,则 a,b,c, d 的大小关系是( A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a )

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D.b>c>d>a 【解析】 由幂函数的图象及性质可知 a<0,b>c>1,0<d<1,

∴b>c>d>a.故选 D. 【答案】 D

1 3.设 α∈{-1,1,2,3},则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( )

A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【解析】 1 1 y=x-1=x的定义域不是 R;y=x2= x的定义域不是 R;y=x

与 y=x3 的定义域都是 R,且它们都是奇函数.故选 A. 【答案】 A )

? 2? 4.已知幂函数 y=f(x)的图象经过点?2, ?,则 f(4)的值为( 2? ? A.16 B.2 1 C.2 1 D.16

【解析】

2 1 1 1 设 f(x)=xα,则 2α= 2 =2-2,所以 α=-2,f(x)=x-2,f(4)

1 1 =4-2=2.故选 C. 【答案】 C

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) ? 1? ? 1? 5.已知 n∈{-2,-1,0,1,2,3},若?-2?n>?-3?n,则 n=________. ? ? ? ? 【解析】 1 1 ? 1? ? 1? ∵-2<-3,且?-2?n>?-3?n, ? ? ? ?

∴y=xn 在(-∞,0)上为减函数. 又 n∈{-2,-1,0,1,2,3}, ∴n=-1 或 n=2. 【答案】 -1 或 2

6.设 f(x)=(m-1)xm2-2,如果 f(x)是正比例函数,则 m=________,如果
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f(x)是反比例函数,则 m=________,如果 f(x)是幂函数,则 m=________. 【解析】 f(x)=(m-1)xm2-2,

?m-1≠0, 若 f(x)是正比例函数,则? 2 ∴m=± 3; ?m -2=1, ?m-1≠0, ?m≠1, 若 f(x)是反比例函数,则? 2 即? 2 ∴m=-1; ?m -2=-1, ?m =1, 若 f(x)是幂函数,则 m-1=1,∴m=2. 【答案】 ± 3 -1 2

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 2 7.已知 f(x)=x2, (1)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明; (2)当 x∈[1,+∞)时,求 f(x)的最大值. 【解析】 证明如下: 任取 x1、x2∈(0,+∞),且 x1<x2,
2 2 2 2 2(x2 -x1 ) 2(x2+x1)(x2-x1) f(x1)-f(x2)=x 2-x 2= x 2x 2 = x12x22 1 2 1 2

函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数.

∵0<x1<x2,∴x1+x2>0,x2-x1>0,x12x22>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数. (2)由(1)知,f(x)的单调减区间为(0,+∞), ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数, ∴函数 f(x)在[1,+∞)上的最大值为 f(1)=2. 8.已知幂函数 y=xp 3(p∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在 p p (0,+∞)上是减函数,求满足(a-1)3<(3+2a)3的 a 的取值范围. 【解析】 ∵函数 y=xp-3 在(0,+∞)上是减函数,


∴p-3<0,即 p<3,又∵p∈N*,∴p=1,或 p=2. ∵函数 y=xp-3 的图象关于 y 轴对称,

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1 1 - ∴p-3 是偶数,∴取 p=1,即 y=x 2,(a-1)3<(3+2a)3 1 ∵函数 y=x3在(-∞,+∞)上是增函数,
1 1 ∴由(a-1)3<(3+2a)3,得 a-1<3+2a,即 a>-4.

∴所求 a 的取值范围是(-4,+∞).

9.(10 分)已知点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点 1? ? ?-2,-2?在幂函数 g(x)的图象上,当 x 为何值时: ? ? (1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x). 【解析】 根据幂函数的概念,利用待定系数法求出幂函数的解析式,再结 合图象确定满足条件的 x 的取值范围. 设 f(x)=xα,则( 2)α=2,得 α=2,所以 f(x)=x2;同理可得 g(x)=x-1. 在同一直角坐标系内作出函数

f(x)=x2 与 g(x)=x-1 的图象(如图所示),由图象可知: (1)当 x<0 或 x>1 时,f(x)>g(x); (2)当 x=1 时,f(x)=g(x); (3)当 0<x<1 时,f(x)<g(x).

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