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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第五章第二节等差数列_图文

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第二节
自 主 落 实 · 固 基 础

等差数列
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典 例 探 究 · 提 知 能

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1.等差数列 an+1-an (1)定义:_____________=d(常数)(n∈N*). an=a1+(n-1)d (n-m)d (2)通项公式:________________,an=am+_________. n(n-1)d n(a1+an) (3)前n项和公式:Sn=na1+ = . 2 2 a+b (4)a、b的等差中项A=_____. 2

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2.等差数列的性质
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已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.

(1)若m、n、p、q、k是正整数,且m+n=p+q=2k,
ap+aq 2ak 则am+an=________=____. (2)am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等差数列,公差为 ___. kd

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(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,也是等差数列. (4)若数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an, S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).

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a+b 1. A= 是 a, b 成等差数列的什么条件? A, 2 a+b 【提示】 充要条件.若A= ?2A=a+b?A-a 2 =b-A?a,A,b成等差数列.
2.三个数成等差数列且知其和时,一般设为a-d,a,

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a+d,四个数成等差数列且知其和时,怎样设好呢?
【提示】 可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.

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1.(人教A版教材习题改编)设{an}为等差数列,公差d= -2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=( A.18 B.20 C.22 ) D.24

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【解析】 由S10=S11 10×9 11×10 得10a1+ ×(-2)=11a1+ ×(-2) 2 2 解得a1=20.
【答案】

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B





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2.(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 ) B.16 C.20 D.24

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【解析】
【答案】

∵{an}是等差数列,∴a2+a10=a4+a8=16.
B

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3.等差数列{an}的前n项和为Sn ,若am-1 +am+1 -a= 0,S2m-1=38,则m=________.
【解析】 ∵am-1+am+1=2am, ∴2am-a2 =0,则am=2,am=0(舍), m (2m-1)(a1+a2m-1) 又S2m-1= =(2m-1)am=2(2m 2 -1)=38.解之得m=10.

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【答案】

10

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4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹
子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3 升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1,则第9节 容量为a9,且数列{an}为等差数列.
?a +a +a +a =4a +6d=3, ? 1 2 3 4 1 ? 则 ?a7+a8+a9=3a1+21d=4. ?

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13 7 67 解之得a1= ,d= ,故a5=a1+4d= . 22 66 66

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【答案】

67 66





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3 1 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*), 5 an-1 1 数列{bn}满足 bn= (n∈N*). an-1

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(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

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【尝试解答】 1 bn= , an-1

(1)∵an=2-

(n≥2,n∈N ), an-1

1

*

1 1 ∴bn + 1 -bn = - = an+1-1 an-1 1 an-1 an 1 = - =1. an-1 an-1

1 - 1 (2- )-1 an

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1 5 又 b1 = =- . 2 a1-1 5 ∴数列{bn}是以- 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2 7 1 2 (2)由(1)知 bn=n- ,则 an=1+ =1+ . 2 bn 2n-7 2 7 7 设 f(x)=1+ ,则 f(x)在区间(-∞, )和( ,+∞) 2 2 2x-7 上为减函数. ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1,当 n=4 时,an 取得最 大值 3.

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第(2)小题,通过{bn}是等差数列,求得{an}的通项,然 后利用函数的单调性求数列的最大(小)项. 2.证明数列{an}为等差数列有两种方法:

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(1)证明an+1-an=d(常数). (2)证明2an=an+1+an-1(n≥2). 对于通项公式和前n项和公式在客观题中常用于等差数
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列的判定.





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已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1= 1 0(n≥2),a1= . 2 1 (1)求证:{ }是等差数列; Sn (2)求数列{an}的通项公式.

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【解】 (1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2), 且an=-2Sn·Sn-1, 1 ∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn- 1,Sn≠0,∴ - Sn 2(n≥2). 1 1 又 = =2, S1 a1
菜 单

1 Sn- 1



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1 故数列{ }是以2为首项,以2为公差的等差数列. Sn 1 1 (2)由(1)知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n, Sn S1 1 ∴Sn= .当n≥2时,有an=-2Sn×Sn-1=- 2n 1 , 2n(n-1) 1 又∵a1= ,不适合上式, 2 ?1 ?2,n=1, ∴an=? 1 ?- ,n≥2. ? 2n(n-1)
菜 单

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(1)(2012· 北京高考)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 1 项和.若 a1= ,S2=a3,则 a2=________,Sn=________. 2 (2)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. ①求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

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【思路点拨】 (1)由S2=a3求{an}的公差d,进而代入求 a2与Sn;

(2)易求d=-2,从而可求an;求出Sn后,根据方程Sk=
-35,求k值.
菜 单

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(1)由 S2=a3,得 a1+a2=a3, 1 ∴d=a3-a2=a1= , 2 n2 n 因此 a2=a1+d=1,Sn= + . 4 4 n2 n 【答案】 1 + 4 4 (2)①设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,a3=-3, 得1+2d=-3,∴d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. n[1+(3-2n)] ②由①知an=3-2n,∴Sn= =2n-n2, 2 由Sk=-35得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0, 解得k=7或k=-5, 又k∈N*,故k=7.
菜 单

【尝试解答】

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1.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想的应用. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代

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换作用,而a1 和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已
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知和未知是常用方法,称为基本量法. 3.等差数列的通项公式形如an=an+b(a,b为常数), 前n项和公式形如Sn =An2 +Bn(A,B为常数),结合函数性 质研究等差数列常常可以事半功倍.
菜 单

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(2012·山东高考)已知等差数列{an}的前5项和为105,且
a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记 为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

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【解】 (1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn, 由T5=105,a10=2a5, ? 5×(5-1) ?5a1+ d=105, 2 得? ?a1+9d=2(a1+4d), ? 解得a1=7,d=7. 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*). - (2)对m∈N*,若an=7n≤72m,则n≤72m 1. 因此bm=72m-1. 所以数列{bm}是首项为7,公比为49的等比数列, b1(1-qm) 7×(1-49m) 72m+ 1-7 故Sm= = = . 48 1-q 1-49
菜 单

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(1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知a4 +a8

=16,则该数列前11项和S11=(
A.58 B.88

)
D.176

C.143

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(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36, 最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则a9+a10=
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【尝试解答】 88.

11(a1+a11) 11(a4+a8) (1)S11= = = 2 2

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(2)由题意知a1+a2+?+a6=36, ① an+an- 1+an- 2+?+an-5=180, ② ①+②得 (a1+an)+(a2+an- 1)+?+(a6+an- 5)=6(a1+an)= 216, ∴a1+an=36, n(a1+an) 又Sn= =324,∴18n=324,∴n=18. 2 ∴a1+a18=36,从而a9+a10=a1+a18=36.

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【答案】
菜 单

(1)B

(2)36

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1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q=2k,则am +an

=ap +aq =2ak 是常用的性质,本例(1)、(2)都用到了这个性
质. 2.掌握等差数列的性质,悉心研究每个性质的使用条

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件及应用方法,认真分析项数、序号、项的值的特征,这是 解题的突破口.

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(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=

30,则S30=________.
(2)(2013·广州质检)已知等差数列{an}的公差为2,项数 是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这 个数列的项数为( ) B.20 C.30 D.40

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A.10

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【解析】

(1)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,

且S10=10,S20=30,S20-S10=20,

∴S30-30=10+2×10=30,
∴S30=60. (2)设这个数列有2n项,则由等差数列的性质可知:25 -15=2n,故2n=10,即数列的项数为10. 【答案】 (1)60 (2)A

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在等差数列{an}中,已知a1 =20,前n项和为Sn ,且

S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大
值. 【思路点拨】 由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得

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通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用等差数列的
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性质,判断出数列从第几项开始变号.

【尝试解答】 法一 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 ∴d=- . 3
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5 5 65 ∴an=20+(n-1)×(- )=- n+ . 3 3 3 令an≥0得n≤13, 即当n≤12时,an>0;n≥14时,an<0. ∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为 12×11 5 S12=S13=12×20+ ×(- )=130. 2 3 5 法二 同法一得d=- . 3 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130.
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求等差数列前n项和的最值常用的方法
?a ≥0 ?a ≤0 ? n ? n (1)先求an,再利用 ? 或? 求出其正负转折 ?an+1≤0 ?an+1≥0 ? ?

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项,最后利用单调性确定最值. (2)①利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的 最值.②利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数) 为二次函数,根据二次函数的性质求最值.

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已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项an; (2)求{an}前n项和Sn的最大值.
【解】 (1)设{an}的公差为
?a1+d=1, ? d, 由已知条件? ?a1+4d=-5, ?

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解出 a1=3,d=-2, 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. n(n-1) (2)Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2, 2 所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4.
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利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式.

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1.若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a

-2d,a-d,a,a+d,a+2d,?.
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2.若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a -3d,a-d,a+d,a+3d,?.

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1. 等 差 数 列 的 通 项 公 式 , 前 n 项 和 公 式 涉 及 “ 五 个

量”,“知三求二”,需运用方程思想求解,特别是求a1和
d. 2.等差数列{an}中,an=an+b(a,b为常数),Sn=An2 +Bn(A,B为常数),均是关于“n”的函数,充分运用函数

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思想,借助函数的图象、性质简化解题过程.

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等差数列在每年的高考中均有所涉及,主要考查等差数 列的通项公式、前n项和及等差数列的性质,各种题型均有 可能出现,一般有一个小题或在解答题中出现,在解题时, 应熟练掌握通项公式与前n项和公式,规范答题避免不必要

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的失分.

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规范解答之八
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等差数列的通项与求和问题
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(12分)(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和 为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.

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【规范解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d,易求a2= -1, 则a3=a2+d,a1=a2-d,
?a =-1-d, ? 1 由题意得? ··2分 ?(-1+d)(-1-d)· (-1)=8, ?

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?a =2, ?a =-4, ? 1 ? 1 解之得? 或? ?d=-3. ?d=3. ? ?

所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n- 7. 故an=-3n+5,或an=3n-7.······5分 (2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2, 不成等比数列,不合题设条件. 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等 比数列,满足条件.
?-3n+7,n=1,2, ? 故|an|=|3n-7|= ? ·····8分 ?3n-7,n≥3. ?

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记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5. ·······················9分 当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an| =5+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7) (n-2)[2+(3n-7)] 3 2 11 =5+ = n - n+10. 2 2 2 当n=2时,满足此式. ?4,n=1, ? 综上,Sn=?3 2 11 ······12分 ?2n - 2 n+10,n>1. ?

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【解题程序】
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第一步:由条件,构造关于基本量a1,

d的方程; 第二步:求a1与d,进而求数列{an}的通项公式; 第三步:检验a2 ,a3 ,a1 成等比数列,确定|an|的表达 式; 第四步:分类讨论,利用等差数列的前n项和公式求

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和;

第五步:反思回顾,查看关键点、易错点、规范解题步
骤.

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易错提示:(1)不能利用等差数列的性质恰当设置,导

致繁杂计算,错求a1与d.
(2)缺乏分类讨论的意识,忽视n=1,2的讨论,误认为 Sn为等差数列{3n-7}的前n项和;弄错Sn中的项数,导致计 算失误. 防范措施:(1)若三个数成等差数列且和为定值,可对

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称设置为a-d,a,a+d简化运算.
(2)去绝对值符号,分段表示|an|;求数列{|an|}前n(n≥3) 项和,只有从第3项起各项才成等差数列,切忌弄错项数.
菜 单

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1.(2013·佛山质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且 a1=10,a2=9,那么下列不等式中不成立的是( )

A.a10+a11>0
C.a11+a12<0

B.S21<0
D.n=10时,Sn最大

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【解析】

d=a2-a1=-1, 21×20 S21=21×10+ ×(-1)=0. 2
【答案】 B

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2.(2012·山东高考)在等差数列{an}中,a3 +a4 +a5 = 84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的 项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm. 【解】 (1)因为{an}是一个等差数列,

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所以a3+a4+a5=3a4=84,所以a4=28.
设数列{an}的公差为d,

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则5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.
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所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对m∈N*,若9m<an<92m, 则9m+8<9n<92m+8, 因此9m- 1+1≤n≤92m-1. - - 故得bm=92m 1-9m 1. 于是Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+93+?+92m- 1)-(1+9+?+9m-1) 9×(1-81m) (1-9m) 92m+ 1-10×9m+1 = - = . 80 1-81 1-9

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课后作业(三十二)

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课 后 作 业






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