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2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第9章 第9讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析


第9讲 最新考纲 圆锥曲线的综合问题 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;2.了解圆锥 曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想. 知 识 梳 理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A, B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x, y)=0, 消去 y(也可以消去 x)得到一个 关于变量 x(或变量 y)的一元方程, ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ?F(x,y)=0 (1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0?直线与 圆锥曲线 C 相交; Δ =0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ <0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只 有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平 行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2? (x1+x2)2-4x1x2 = 1 1+k2?|y1-y2|= 1 1+k2? (y1+y2)2-4y1y2. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“?”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是:直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点.( (2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是: 直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点.( (3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是: 直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点.( ) ) ) (4)如果直线 x=ty+a 与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB| = 1+t2|y1-y2|.( ) (5)若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点, 则需满足直线 l 与抛物线 C 的方程 联立消元后得到的一元二次方程的判别式 Δ>0.( ) 解析 (2)因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时,也只有一个公共点,是相交, 但并不相切. (3)因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,是相交, 但不相切. (5)应是以 l 为垂直平分线的线段 AB 所在的直线 l′与抛物线方程联立,消元后所 得一元二次方程的判别式Δ>0. 答案 (1)√ (2)? (3)? (4)√ (5)? ) D.不确定 x2 y2 2.直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 4 =1 的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离 解析 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部, 故直线与椭圆相交. 答案 A x2 y2 3.若直线 y=kx 与双曲线 9 - 4 =1 相交,则 k 的取值范围是( 2? ? A.?0,3? ? ? ? 2 2? C.?-3,3? ? ? ? 2 ? B.?-3,0? ? ? 2? ?2 ? ? D.?-∞,-3?∪?3,+∞? ? ? ? ? ) x2 y2 2 解析 双曲线 9 - 4 =1 的渐近线方程为 y=± 3x,若直线与双曲线相交,数形结 ? 2 2? 合,得 k∈?-3,3?. ? ? 答案 C 4.过点(0, 1)作

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