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第八讲:一元一次不等式(组)的应用


第八讲:一元一次不等式(组)的应用
一、能力要求:
1.能够灵活运用有关一元一次不等式(组)的知识,特别是有关字母系数的不等式(组)的 知识解决有关问题。 2.能够从已知不等式(组)的解集,反过来确定不等式(组)中的字母系数取值范围,具备 逆向思维的能力。 3.能够用分类讨论思想解有关问题。 4.能利用不等式解决实际问题

二、典型例题 (一)定义、性质等综合应用类。
1.m 取什么样的负整数时,关于 x 的方程

1 x ? 1 ? m 的解不小于-3. 2

分析:解方程得:x=2m+2 由题意:2m+2≥-3,所以 m≥-2.5 符合条件的 m 值为-1,-2 2.已知 x 、 y 满足 x ? 2 y ? a ? ? x ? y ? 2a ? 1? ? 0 且 x ? 3 y ? ?1 ,求 a 的取值范围.
2

分析:解方程组 ?

? x ? 2y ? a ? 0 ? x ? y ? 2a ? 1 ? 0
1 2

得?

? x ? 5a ? 2 ? y ? 3a ? 1

代入不等式,解得 a ?
2 2

3.比较 a ? 3a ? 1 和 a ? 2a ? 5 的大小 (作差法比大小) 解:

a 2 ? 3a ? 1 ? ? a 2 ? 2a ? 5 ? ? a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5 ? ?a ? 6 (1)当 ? a ? 6 ? 0, 即a ? 6时, a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5 (2)当 ? a ? 6 ? 0, 即a ? 6时, a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5 (3)当 ? a ? 6 ? 0, 即a ? 6时, a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5
4.若方程组 的解为 x、y,且 2<k<4,求 x-y 的取值范围。

分析:用整体代入法更为简单

5. k 取怎样的整数时,方程组 ?

?x ? 0 ?kx ? 2 y ? 3 的解满足 ? . ?y ? 0 ?3x ? ky ? 4

6.若 2(a-3)<

2?a a?x ? 4? ,求不等式 <x-a 的解集 3 5 2?a 20 分析:解不等式 2(a-3)< 得:a< 3 7 a?x ? 4? 由 <x-a 得(a-5)x<-a 5 20 因为 a< 所以 a-5<0 7 ?a a?x ? 4? 于是不等式 <x-a 的解集为 x> a?5 5

7.阅读下列不等式的解法,按要求解不等式. 不等式

x ?1 ? 0 的解的过程如下: x?2

解:根据题意,得 ?

? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0 1 或? 2 ○ ○ ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

解不等式组○ 1 ,得 x ? 2 ;解不等式组○ 2 ,得 x ? 1 所以原不等式的解为 x ? 2 或 x ? 1 请你按照上述方法求出不等式 分析:典型错误解法: 由不等式

x?2 ? 0 的解. x?5

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 x?2 ? 0 得: ? 或? x?5 ?x ? 5 ? 0 ?x ? 5 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 x?2 ? 0 得: ? 或? x?5 ?x ? 5 ? 0 ?x ? 5 ? 0

所以原不等式的解为 x ? 5 或 x ? ?2 正确解法:由不等式

所以原不等式的解为 x ? 5 或 x ? ?2

(二)列不等式(组)解应用题类

1.目前使用手机,有两种付款方式,第一种先付入网费,根据手机使用年限,平均每月分摊 8 元,然后每月必须缴 50 元的占号费,除此之外,打市话 1 分钟付费 0.4 元;第二种方式将储值卡插 入手机,不必付入网费和占号费,打市话 1 分钟 0.6 元.若每月通话时间为 x 分钟,使用第一种和 第二种付款方式的电话费分别为 y1 和 y2 ,请算一算,哪种对用户合算. 解:

y1 ? 5 8? 0 .x4

y2 ? 0.6x
解得: x ? 290

(1) 若 y1 ? y2 则 58 ? 0.4 x ? 0.6 x

所以当通话时间小于 290 分钟时,第二种方式合算。 (2) 若 y1 ? y2 则 58 ? 0.4 x ? 0.6 x 解得: x ? 290

所以当通话时间等于 290 分钟时,两种方式相同。 (3) 若 y1 ? y2 则 58 ? 0.4 x ? 0.6 x 解得: x ? 290

所以当通话时间大于 290 分钟时,第一种方式合算。 2.某饮料厂开发了 A、B 两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下 表所示,现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产,计划生产 A、B 两种饮料共 100 瓶,设生产 A 种饮料 x 瓶,解答下列问题: (1)有几种符合题意的生产方案?写出解答过程; (2)如果 A 种饮料 每瓶的成本为 2.60 元,B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元,这两种饮料成本总额为 y 元,请写出 y 与 x 之间的关系式,并说明 x 取何值会使成本总额最低? 原料名称 饮料名称 A B 分析: (1)据题意得: ? 20 克 30 克 40 克 20 克 甲 乙

?20x ? 30?100 ? x ? ? 2800 ?40x ? 20?100 ? x ? ? 2800

解不等式组,得 20 ? x ? 40 因为其中的正整数解共有 21 个,所以符合题意的生产方案有 21 种。 (2)由题意得: y ? 2.6 x ? 2.8?100 ? x ? 整理得: y ? ?0.2 x ? 280

因为 y 随 x 的增大而减小,所以 x=40 时,成本额最低 3. 某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产 家电名称 方案,准备每周(按 120 个工时计算)生产空调器,彩 工时(个) 电,冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 40 台,已知生产这 些家电产品每台所需工时和每台产值如下表: 产值(万元/台) 问:每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能 使产值最高,最高产值是多少万元?

空调器

彩电

冰箱

1 2
0.4

1 3
0.3

1 4
0.2

解:设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是 x 台、 y 台、 z 台,设此时的产值为 P 万元。

x ? y ? z ? 360 (1) ? ? 1 1 1 ? x ? y ? ? 120 (2) 根据题意得: ? 2 3 4 ? ?0 ? x ? 360, 0 ? y ? 360, 40 ? z ? 360 ? x, y , z 均 为 整数 (4) ? ?

(3)

1 ? 1 ? ? 0 ? 2 z ? 360 ? x?2z ? 由(1)和(2)知 ? ……(5)把(5)代入(3)得: ? 3 ? ?0 ? 360 ? z ? 360 ? y ? 360 ? 3 z 2 ? ? ? 2 ? 40 ? z ? 360 ? ?

解得: 40 ? z ? 240

1 3 P ? 0.4 x ? 0.3 y ? 0.2 z = 0.4 ? z ? 0.3(360 ? z ) ? 0.2 z = 108 ? 0.05 z 2 2 要使 P 最大,只需 z 最小 当 z ? 40 时
P 最大=108-0.05×40=106(万元) 此时 x ?

1 z ? 20 (台) 2 3 y?360 ? z ? 3 0(台) 0 2

答:每周应生产空调器 20 台、彩电 300 台、冰箱 40 台,才能使产值最高,最高产值是 106 万元?

三、拓展提高:
1、把价格为每千克 20 元的甲种糖果 8 千克和价格为每千克 18 元的乙种糖果若干千克混合,要 使总价不超过 400 元,且糖果不少于 15 千克,所混合的乙种糖果最多是多少?最少是多少?

2、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间 4 人,那么有 20 人无法安排,如果每间 8 人, 那么有一间不空也不满,求宿舍间数和寄宿学生人数。

3、(2001 荆门市 )有 10 名菜农 ,每人可种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩 ,已知甲种蔬菜每亩 可收入 0.5 万元 ,乙种蔬菜每亩可收入 0.8 万元 ,若要使总收入不低于 15.6 万元 ,则应该如何安 排人员? 4、(2001 荆州 )在双休日 ,某公司决定组织 48 名员工到附近一水上公园坐船游园 ,公司先派

一个人去了解船只的租金情况 ,这个人看到的租金价格表如下 : 船型 大船 小船 每只限载人数 (人 ) 5 3 租金 (元 ) 3 2

那么 ,怎样设计租船方案才能使所付租金最少 ?(严禁超载 )

5、 (佳木斯)某公司经营甲、乙两种商品,每件甲种商品进价 12 万元,?售价 14.5 万元.每件 乙种商品进价 8 万元,售价 10 万元,且它们的进价和售价始终不变.?现准备购进甲、乙两种商品共 20 件,所用资金不低于 190 万元不高于 200 万元. (1)该公司有哪几种进货方案? (2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少? (3)利用(2)中所求得的最大利润再次进货,?请直接写出获得最大利润的进货方案.

6、某商店需要购进一批电视机和洗衣机,根据市场调查,决定电视机进货量不少于洗衣机的进 货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表: 类 别 进价(元/台) 售价(元/台) 电视机 1800 2000 洗衣机 1500 1600

计划购进电视机和洗衣机共 100 台,商店最多可筹集资金 161 800 元. (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案?(不考虑除进价之外的其它费用) (2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润. (利 润=售价-进价)

家庭作业
1、把价格为每千克 20 元的甲种糖果 8 千克和价格为每千克 18 元的乙种糖果若干千克混合, 要使总价不超过 400 元,且糖果不少于 15 千克,所混合的乙种糖果最多是多少?最少是多少?

2、 (哈尔滨)双蓉服装店老板到厂家选购 A、B 两种型号的服装,若购进 A 种型号服装 9 件,B 种型号服装 10 件,需要 1 810 元;若购进 A 种型号服装 12 件,B 种型号服装 8 件,需要 1 880 元. (1)求 A、B 两种型号的服装每件分别为多少元? (2)若销售 1 件 A 型服装可获得 18 元,销售 1 件 B 型服装可获得 30 元.根据市场需求,服 装店老板决定,购进 A 型服装的数量要比购进 B 型服装数量的 2 倍还多 4 件,且 A 型服装最多可购 进 28 件,这样服装全部售出后,可使总的获利不少于 699 元.问有几种进货方案?如何进货?

3、 2007 年我市某县筹备 20 周年县庆, 园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种 花卉搭配 A,B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧, 已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆, 乙种花卉 40 盆,搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆,乙种花卉 90 盆. (1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭 配方案有几种?请你帮助设计出来. (2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元,搭配一个 B 种造型的成本是 960 元,试说明(1) 中哪种方案成本最低?最低成本是多少元?


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