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高二数学周练


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题号 得分 一、填 二、选 三、简 空题 择题 答题 总分

7、已知平面区域 ________.

恰好被面积最小的圆 C:(x-a) +(y-b) =r 及其内部所覆盖,则圆 C 的方程为

2

2

2

8、已知点 M(1,0)是圆 C:x +y -4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是________.

2

2

9、过点 M(0,4)被圆

截得的线段长为

的直线方程为

.

10、直线

平分圆

的周长,则

__________。

评卷人

得分

一、填空题 (每空? 分,共? 分)

11、已知实数

满足

,则

的取值范围是
2 2

12、设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,且 l 与圆 x +y =4 相交所得弦长为 2,

O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为________.

评卷人
1、已知直线 l:y=- 于________. (x-1)与圆 O:x +y =1 在第一象限内交于点 M,且 l 与 y 轴交于点 A,则△MOA 的面积等
2 2

得分

二、选择题 (每空? 分,共? 分)

2、若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2

2

2

2

2

,则 a=________. 13、圆 A.相离 +(y+1) = B.外切
2

3、两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,且 m,c 均为实数,则 m+c=________.

与圆(x-sin θ ) +(y-1) = C.内切
2 2

2

2

(θ 为锐角)的位置关系是(

)

D.相交 )

4、 过点 M

的直线 l 与圆 C: (x-1) +y =4 交于 A, B 两点, C 为圆心, 当∠ACB 最小时, 直线 l 的方程为________.
2 2

2

2

14、直线 y=x-1 上的点到圆 x +y +4x-2y+4=0 上的点的最近距离是(

5、过点 A(2,4)向圆 x +y =4 所引切线的方程为________. A.± 6、在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆 心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 15、直线 2x-y- =0 与 y 轴的交 点为 P,点 P 把圆(x-1) +y =25 的直径分为两段,则其长度之比为(
2 2 2 2

B.

-1

C.2

-1

D.1

)

A.



B.



A.[-3,-1] C. 或
2 2

B.[-1,3]

D.

或 )

C.[-3,1]

D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
2 2

16、圆 x +y -4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是(

23、直线 y=kx+1 与圆 x +y -2y=0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离

). D.取决于 k 的值

A.36

B.18

C.6
2

D.5
2 2

17、在平面直角坐标系内,若曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0 上所有的点均在第二象限内,则实数 a 的取值范 围为( ) B.(-∞,-1) D.(2,+∞)

24、过点( 的斜率等于

,0)引直线 l 与曲线 y=

相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l ( ).

A.(-∞,-2) C.(1,+∞)
2 2

A. 18、动点 A 在圆 x +y =1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( A.(x+3) +y =4
2 2

B.-

C.±

D.- ).

) 25、设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=(

B.(x-3) +y =1 A.4 B.4 C.8 D.8

2

2

C.(2x-3) +4y =1

2

2

D.

+y = ) 26、直线 y=-

2

19、以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A.(x-1) +(y+2) =100 C.(x-1) +(y-2) =25
2 2 2 2

x+m 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两个不同的交点,则 m 取值范围是

(

).

B.(x-1) +(y-2) =100 A.( D.(x+1) +(y+2) =25
2 2 2 2

2

2

,2)

B.(

,3)

20、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长等于(

). C. D.
2 2

A.3

B .2

C.

D.1
2 2 2 2

27、两条直线 y=x+2a,y=2x+a 的交点 P 在圆(x-1) +(y-1) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是(

).

21、已知点 P(x0,y0),圆 O:x +y =r (r>0),直线 l:x0x+y0y=r ,有以下几个结论:①若点 P 在圆 O 上,则直线

l 与圆 O 相切;②若点 P 在圆 O 外,则直线 l 与圆 O 相离;③若点 P 在圆 O 内,则直线 l 与圆 O 相交;④无论点 P 在 何处,直线 l 与圆 O 恒相切,其中正确的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2 2

A.

B.

∪(1,+∞)

22、若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公共点,则实数 a 的取值范围是(

).

C.

D.

∪[1,+∞)

28、 已知两点

,若点 P 是圆

上的动点,则

面积的最小值为 33、已知以点 C (t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点.

(1)求证:△OAB 的面积为定值; A.6 B. C.8 D. (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N, 若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 29、已知圆 C 的方程为 ,当圆心 C 到直线 的距离最大时, 的值为 34、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- (1)求圆 O 的方程; A. B. C. D.5 (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点, 圆 内的动点 P 使
2 2

y+4=0 相切.

评卷人

得分

三、简答题 (每空? 分,共? 分)

成等比数列,求

的 取值范围.

35、已知圆 M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程;

30、已知圆 C 的方程为 x +(y-4) =4,点 O 是坐标原点.直线 l:y=kx 与圆 C 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围;

2

2

(2)求四边形 QAMB 面积的最小值;

(3)若|AB|= (2)设 Q(m,n)是线段 MN 上的点,且 请将 n 表示为 m 的函数.

,求直线 MQ 的方程.
2 2

36、已知:圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切;

31、圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5). (1)若圆的面积最小,求圆的方程; (2)若圆心在 直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程. 32、已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 l:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过点 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交点为 Q,求证:AQ⊥

(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2

时,求直线 l 的方程.

37、在平面直角坐标系中,某圆 (1)求圆的半径的最小值

,圆心在直线

上,且圆

过点

BQ.

(2)若圆

与直线

相交所得弦长为

,求圆的方程

参考答案
一、填空题

11、

1、 2、1 3、 3

4、2x-4y+3=0 5、x=2 或 3x-4y+10=0

6、 7、 (x-2) +(y-1) =5 8、x+y-1=0
2 2

9、

10、-5

12、3

二、选择题

13、D 14、C

15、A 16、C 17、D 18、C 19、C

27、A 28、B 29、A

三、简答题

30、解析:(1)将 y=kx 代入 x +(y-4) =4 得, 20、 B (1+k )x -8kx+12=0,(*) 21、A Δ =(-8k) -4(1+k) ?12>0 得 k >3 .
2 2 2 2 2

2

2

所以 k 的取值范围是(-∞,-

)∪(

,+∞).

(2)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则

|OM| =(1+k )x

2

2

,|ON| =(1+k )x

2

2

,又|OQ| =m +n =(1+k )m

2

2

2

2

2,

22、 C 23、A 由

24、B 解析

由 y=

得 x +y =1(y≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为 1 的半圆,如图所示.

2

2

所以

故 S△AOB=

|OA|?|OB|?sin∠AOB=

sin∠AOB.所以当 sin∠AOB=1,即 OA⊥OB 时,S△AOB 取得最大值,此时点 O 到 由(*)知 x1+x2= ,x1x2= ,

直线 l 的距离 d=|OA|?sin 45°=

.设此时直线 l 的斜率为 k,则方程为 y=k(x-

),即 kx-y-

k=0,
所以 m =
2



则有 25、C 26、D



,解得 k=±

,由图象可知直线 l 的倾斜角为钝角,故取 k=-

. 因为点 Q 在直线 l 上,所以 k= ,代入 m =
2

并化简可得 5n -3m =36,

2

2

由m=

2

及 k >3 得 0<m <3 ,即 m∈(-

2

2

,0)∪(0,

).

依题意,点 Q 在圆 C 内, 则 n>0,所以 n=

所以所求圆的方程为(x+1) +(y+2) =10. 32、(1)解析:依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,l:y=-2 为准线的抛物线,

2

2

所以,n 与 m 的函数关系为 n=

(m∈(-

,0)∪(0,

)).

因为抛物线焦 点到准线的距离等于 4, 所以圆心的轨迹方程是 x =8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直,
2

31、解析:(1)要使圆的面积最小,则 AB 为圆的直径,

圆心 C(0,-4),半径 r=
2

|AB|=
2



设 AB:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

所以所求圆的方程为:x +(y+4) =5.

由 (2)(法一)因为 kAB= ,AB 中点为(0,-4),

可得 x -8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.

2

所以 AB 中垂线方程为 y+ 4=-2x, 即 2x+y+4=0,

抛物线方程为 y=

x2,求导得 y′=

x.

所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= 解方程组 所以圆心为(-1,-2).

x1,k2=

x2,

k1?k2=
根据两点间的距离公式得,半径 r=
2

x1?

x2=

x1?x2=-1.


2

所以 AQ⊥BQ.

因此,所求的圆的方程为(x+1) +(y+2) = 10. (法二)设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r , 根据已知条件得 ∴圆 C 的方程是(x-t) +
2 2 2 2 2

33、(1)证明:∵圆 C 过原点 O,∴|OC| =t +

2

2

.

=t +

2

.

(2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2. 令 x=0,得 y1=0,y2= ;令 y=0,得 x1=0,x2=2t. 由 x =4 即得 A(-2,0),B(2,0).
2

设 P(x,y),由| ∴S△OAB= |OA|?|OB|= ? ?|2t|=4, 得 即 x -y =2.
2 2

成等比数列,

即△OAB 的面积为定值. (2)解析:∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN.

=x +y ,

2

2

=(-2-x,-y)?(2-x,-y)=x -4+y =2(y -1).

2

2

2

∵kMN=-2,∴kOC=

.∴直线 OC 的方程是 y=

x.
由于点 P 在圆 O 内,故 由此得 y <1.
2





t,解得 t=2 或 t=-2.

所以

?

的取值范围为[-2,0).

35、解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1, 当 t=2 时,圆心 C 的坐标 为(2,1),|OC|= =-2x+4 相交于两点. ,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= < ,满足圆 C 与直线 y 则圆心 M 到切线的距离为 1,

∴ 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= 直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5.
2 2

=1,∴m=-

或 0,

,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d=

>

.此时圆 C 与 ∴QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1.

(2)∵MA⊥AQ,∴S 四边形 MAQB=|MA|?|QA|=|QA|=



.

∴四边形 QAMB 面积的最小值为 34、解析:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x-

.

y+4=0 的距离,
(3)设 AB 与 MQ 交于 P,

即 r=

=2.
2 2

所以圆 O 的方程为 x +y =4.

则 MP⊥AB,MB⊥BQ,∴|MP|=



.

在 Rt△MBQ 中,|MB| =|MP||MQ|,即 1= ∴|MQ|=3,∴x +(y-2) =9.
2 2

2

|MQ|,

=

,-

时, 最小

(2)设圆心 设 Q(x,0),则 x +2 =9,
2 2

-

∴x=±

,∴Q(±

,0),

圆心到直线距离

-

∴MQ 的方程为 2x+ 36、解

y-2
2 2

=0 或 2x-

y+2

=0.
2 2

-

将圆 C 的方程 x +y -8y+12=0 化成标准方程为 x +(y-4) =4,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. 圆方程 或

(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有

=2,

解得 a=-

.

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,



解得 a=-7 或-1.

故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.

37、(1)法 1:半径的最小值即点

到直线 距离

法 2:设圆心

-


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