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高一数学平面向量期末复习试题(必修4)


高一数学平面向量期末复习试题(必修 4)
一、填空题
1.若有以下命题: ① 两个相等向量的模相等; ③ 相等的两个向量一定是共线向量; ② 若 a 和 b 都是单位向量,则 a ? b ; ④ a // b , c // b ,则 a // c ;

⑤ 零向量是唯一没有方向的向量; ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 。 2. 在水流速度为 4 km / h 的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 km / h 的速度航行,则船自身航 行速度大小为____________ km / h 。 3. 任给两个向量 a 和 b ,则下列式子恒成立的有________________。 ① | a ? b |?| a | ? | b | ③ | a ? b |?| a | ? | b | ② | a ? b |?| a | ? | b | ④ | a ? b |?| a | ? | b |

4. 若 AB ? 3a , CD ? ?5a 且 | AD |?| BC | ,则四边形 ABCD 的形状为________。 5.梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B(3,4) , D(2,1) 且 AB // DC , AB ? 2CD ,则点 C 的坐标 为___________。 6. ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 y 2 ) , C ( x3 y3 ) ,若 G 是 ?ABC 的重心,则 G 点的 坐标为__________, GA ? GB ? GC ? __________________。 7. 若向量 a ? (1,1) , b ? (1,?1) , c ? (?1,2) ,则 c ? ___________(用 a 和 b 表示)。 8. 与向量 a ? (3,4) 平行的单位向量的坐标为 ________________。 9. 在 ?ABC 中,已知 AB ? 7 , BC ? 5 , AC ? 6 ,则 AB ? BC ? ________________。 10.设 a ? (x,3) , b ? (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 __ 11. 直线 l 平行于向量 a ? (?2,3) ,则直线 l 的斜率为____________。 12. 已知 a ? (3,?4) , b ? (cos? , sin ? ) (? ? R) ,则 | a ? 2b | 的取值范围是 _________。 13.已知向量 a 、 b 不共线,且 | a |?| b | ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角为 __________。 14.在 ?ABC 中 AB ? c , BC ? a , CA ? b ,则下列推导正确的是__ _ 。 ____。

1

① 若 a ? b ? 0 则 ?ABC 是钝角三角形

② 若 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 是直角三角形

③ 若 a ? b ? c ? b , 则 ?ABC 是等腰三角形 ④ 若 | a |?| b ? c | ,则 ?ABC 是直角三角形 ⑤ 若

a ? b ? c ? b ? a ? c ,则△ABC 是正三角形
二、解答题
15.已知 a ? b ? c ? 0 且 | a |? 3 , | b |? 1 , | c |? 4 计算 a ? b ? b ? c ? c ? a

16 设 D 、 E 、 F 分别是 ?ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且 AF ?

1 AB 2

BD ?

1 1 BC , CE ? CA ,若记 AB ? m , CA ? n ,试用 m , n 表示 DE 、 EF 、 FD 。 3 4

17. 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

18. 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。 ⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?

19. 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点 ⑴求使 MA? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

20. 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2 求: OA ? (OB ? OC) 的最小值。

2

江苏省沛县湖西中学 2007-2008 第二学期期末复习试题 第二章平面向量参考答案
一.填空题: 1.①④;2. 4 5 ;3.②③;4.等腰梯形;5.(4,2) ( ;6.

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 1 3 , ) ,0 ;7. a ? b ; 2 2 3 3
3 ;12. [3,7] ;13. 90 ? ;14②③④⑤. 2

8. ( , ) 或 (? ,? ) ;89. ? 19 ;10. ( ?? ,?6) ? ( ?6, ) ;11. ? 二.解答题:

3 4 5 5

3 5

4 5

3 2

15.因为 (a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2a ? c ? 0 , 由 | a |? 3, | b |? 1, | c |? 4 ,所以 9 ? 1 ? 16 ? 2(a ? b ? b ? c ? a ? c) ? 0 , a ? b ? b ? c ? a ? c ? ?13. 16. 由 题 意 可 得 AF ?

2

2

2

1 1 1 1 2 m , FB ? m , BD ? ( AC ? AB ) ? ? (m ? n) , DC ? ? (m ? n) , 2 2 3 3 3

CE ?

1 3 n , EA ? n , 4 4

所以 DE ? DC ? CE ? ?

2 1 2 5 ( m ? n) ? n ? ? m ? n ; 3 4 3 12 3 1 1 1 1 1 EF ? EA ? AF ? n ? m ; FD ? FB ? BD ? m ? (m ? n) ? m ? n . 4 2 2 3 6 3

17.由题意可得 | a | 2 ? 16, | b |? 4 , a ? b ? ?4 (1) ( a ? 2b) ? ( a ? b) ? a ? a ? b ? 2b ? 12 ; (2) | 2a ? b | ?
2

(2a ? b) 2 ? 4a ? 4a ? b ? b ? 2 21
a ? ( a ? b) | a || a ? b | ? 3 8 0 , 0? ? ? ? 1 ? , 又 所以 ? ? 30? , 与 a ? b a 2

2

2

(3) a 与 a ? b 的夹角为 ? , cos ? ? 设 则 的夹角为 30 ? 。

18.因为 a ? (1,2),b ? (?3,2) 所以 | a |2 ? 5 , | b |? 13, a ? b ? 1 , (1) | a ? b |?

a ? 2a ? b ? b ? 2 5 , | a ? b |? a ? 2a ? b ? b ? 4 ;
2

2

2

2

2

(2)当向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直时,则有 (k a ? b) ? (a ? 3b) ? 0 , k a ? (3k ? 1)a ? b ? 3b ? 0 ,即

5k ? (3k ? 1) ? 39 ? 0 解得 k ? ?5 所以当 k ? ?5 时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直;
(3)当向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行时,则存在 ? 使 k a ? b ? ?(a ? 3b) 成立,于是 ? 当k ?

?k ? ? 1 解得 k ? , 3 ?3? ? 1

1 1 1 1 时, k a ? b ? a ? b ? ( a ? 3b) ,所以 k ? 时向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行且它们同向. 3 3 3 3
3

19. (1) M ( x, y ) , OM ? ( x, y) , 设 则 由题意可知 OM // OP 所以 M (2 y, y) ,

又 OP ? (2,1) 。 所以 x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,

则 MA ? MB ? (1 ? 2 y,7 ? y) ? (5 ? 2 y,1 ? y) ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 2 , 当 y ? 2 时 ,

MA? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM ? (4,2) 。
(2)因为 cos ?AMB ?

MA ? MB | MA || MB |

?

(?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2

??

4 17 。 17
, 又

20.





OB ? OM ? MB



OC ? OM ? MC

MB ? ?MC
, 当







OA ? (OB ? OC) ? 2OA ? OM ? ?2 | OA || OM |? ?2 ? (

| OA | ? | OM | 2 ) ? ?2 2







| OA |?| OM | 即 O 为 AM 的中点时, OA ? (OB ? OC) 取得最小值且为 ? 2 。

4


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