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简单的高次不等式与分式不等式的解法

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掌握简单的高次不等式与分式不等式的解法

一元高次不等式与分式不等式的解法
1.简单的高次不等式: 一、可解的一元高次不等式的标准形式

( x ? x1 )( x ? x2 )

( x ? xn ) ? 0(? 0)

(1)左边是关于 x 的一次因式的积; (2)右边是 0; (3)各因式最高次项系数为正。 二、一元高次不等式的解法 数轴标根法: 1、将高次不等式变形为标准形式; 2、求根 x1 , x2 ,

, xn ,画数轴,标出根;

3、从数轴右上角开始穿根,穿根时的原则是“奇穿偶回” (奇穿偶不穿) 4、写出所求的解集。 三、典型例题 例 1、 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0

例 2、 x( x ?1)2 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0

变式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.

1

例 3、 ( x ? 1)( x ? 2)(3 ? x) ? 0 将一次项系数 化为正数。

例 4、 ( x ? 2)( x ? 3)( x2 ? 2x ?1) ? 0 将二次三项式尽量 因式分解为一次式

例 5、 ( x ?1)( x ? 2)( x2 ? 4 x ? 5) ? 0 二次三项式不能因式 分解且二次项系数为 正,则此式一定为正数

例 6、 2 x3 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 不等式左边尽量因 式分解为一次式

2

【练习】 1、 ( x ? 1)( x ? 3)( x2 ? 6 x ? 8) ? 0
2 2 2、 (3x ? 2x ? 8)(1 ? x ? 2 x ) ? 0 2 2 3、 ( x ? 2 x ? 3)( x ? 6 x ? 7) ? 0 2 2 4、 ( x ? 4 x ? 5)( x ? x ? 1) ? 0

5、 ( x ? 2)( x ? 3)2 ( x ? 6)3 ( x ? 8) ? 0 6、 x4 ? 2 x3 ? x ? 2 ? 0 7、x(x-3)(2-x)(x+1)>0

3

2.分式不等式的解法: 例 7 解不等式:

x?3 ? 0. x?7

说明:若本题带“ = ” ,即 (x-3)(x+7) ? 0 ,则不等式解集中应注意 x ? -7 的条件,解集应是 {x| -7<x ? 3}. 小结:由不等式的性质易知:不等式两边同乘以正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以负数, 不等号方向要变;分母中有未知数 x,不等式两边同乘以一个含 x 的式子,它的正负不知,不等号方向 无法确定,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以,但太复杂.因此,解分式不等式,切忌去分母. 解法是:移项,通分,右边化为 0,左边化为
x 2 ? 3x ? 2 ? 0. 例 8 解不等式: 2 x ? 2x ? 3

f(x) 的形式. g( x )

练习:解不等式:

2 ? 4x ? x ?1 x ? 3x ? 2
2

小 结 1.特殊的高次不等式即右边化为 0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用区 间法解,注意:①左边各因式中 x 的系数化为“+” ,若有因式为二次的(不能再分解了)二次项系数 也化为“+” ,再按我们总结的规律作;②注意边界点(数轴上表示时是“0”还是“.” ).

4

2 .分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为

f(x) f(x) >0( 或 <0) 的形式,转化为: g( x ) g( x )

? f ( x) g ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 (或? ) ,即转化 ? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0
为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 3.一次不等式,二次不等式,特殊的高次不等式及分式不等式,我们称之为有理不等式. 4.注意必要的讨论. 5.一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 3.思考题: 思考题: 解关于 x 的不等式:(x-x2+12)(x+a)<0.

4.课后作业 x ( x ? 2) ?0 (1) x?3

(2) ( x 2 - 4 x - 5)(x 2 ? x ? 2) ? 0 .

(3)

2x ? 5 ?0 5x ? 2

5

(4)(1-2x)(x-1)(x+2)< 0

(5)(x+1)(-2x+3)(3x+1)> 0

(6)( x 2 ? 1 )( x 2 ? 6 x ? 8 ) ? 0

(7)

x2 ? 4 x ? 1 ?1 3x 2 ? 7 x ? 2

(1)

x-3 <0 x+7

(2)3+

2

x

<0

(3)

4 2-x > -3 x-3 3-x

(4)

3

x

>1

(1)(x+1)(x-1)(x-2)>0

(2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0

6

(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0

(4) (x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0

(5) 2 x3 ? x 2 ? 15x ? 0

(6) ( x ? 4)(x ? 5)2 (2 ? x)3 ? 0 .

3 2 ?1? (7) x?2 x?2

x2 ? 4x ? 1 ?1 (8) 2 3x ? 7 x ? 2

1. 不等式

2x ? 1 ? 0 的解集是( ) 3x ? 1 1 1 1 1 A. {x | x ? ? 或x ? } B. {x | ? ? x ? } 3 2 3 2 1 1 C. { x | x ? } D. {x | x ? ? } 2 3 x ?1 2. 不等式 ≥ 2 的解集为( ) x A. [?1, 0) B. [?1, ? ?) C. (??, ? 1] D. (??, ? 1] (0, ? ?)

4. 不等式

( x ? 1) 2 (2 ? x) ≥ 0 的解集 x(4 ? x)

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