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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2016届高三数学下学期期初考试试题 理


牡一中 2016 年高三寒假检测数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题意的) 1.设集合 M ? {x | x ? 3} , N ? {x | x ? ?1} ,全集 U ? R ,则 CU (M ? N ) ? A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | x ? ?1或x ? 3}

8. 根据如图所示程序框图,若输入 m ? 42 , n ? 30 ,则输出 m 的值为 A.0 B.3 C.6 D.12

9.球 O 半径为 R ? 13 ,球面上有三点 A 、 B 、 C , AB ? 12 3 , AC ? BC ? 12 ,则四面体 OABC 的体积是 A. 60 3 B. 50 3 C. 60 6 D. 50 6

2.已知

z ? 1 ? i ,则复数 z 在复平面上对应点位于 3?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不 同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是

A.第一象限

3.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 B.最小正周期为 ? 的偶函数 D .最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

4.等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 40, a3 ? a4 ? 60, a7 ? a8 ? A.135 B.100 C.95 D.80

5.设函数 f ( x) ? ? A.5

?1 ? lg(2 ? x), x ? 1
x?1 ?10 , x ? 1

,则 f (?98) ? f (lg30) ? D.22

B.6

C.9

6. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点, 则落入阴影部分 (曲线C 为 正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) (A)1 193(B)1 359(C)2 718(D)3 413

A .消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

7. 以下茎叶图记录了甲, 乙两组各五名学生在一次英语测试中的成绩 (单位: 分)

C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 11. 已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左, 右顶点为 A, B , 点 M 在 E 上, ?ABM 为等腰三角形, a 2 b2
1 3

且顶角 ? 满足 cos ? ? ? ,则 E 的离心率为 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16 .8,则 x, y 的值分别为( ) A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
1

12.已知函数 f (x) =sinx -xcos x.现有下列结论: ① ?x ?[0, ? ], f ( x) ? 0 ; ②若 0 ? x1 ? x2 ? ? ,则 ③若 a ?

x1 sin x1 ? ; x2 sin x2

sin x ? 2 ? b 对 ?x ? [0, ] 恒成立,则 a的最大值为 ,b 的最小值为1. x 2 ?
C、2 D、3 19. (本小题满分 12 分 ) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中随机抽取一 个容量为 8 的样本进行分析. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(只要求写出计 算式即可,不必 计算出结果) (Ⅱ)随机抽取 8 位,他们的数学分数从小到大排序是:60,65,70,75,80,85,90,95,物理分数从 小到大排序是:72,77,80,84,88,90,93,95. (i)若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀,求这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均 为优秀的概率; (ii)若这 8 位同学的数学、物理分数事实上对应如下表: 学生编号 数学分数 x 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

其中正确结论的个数为 A、 0 B、1

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设向量 a , b 是相互垂直的单位向量,向量 ? a ? b 与 a -2b 垂直,则实数 ? ? ______.

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 14.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为_______. ?x ? y ? 2 ? 0 ?
15.已知对任意实数 x ,有 (m ? x)(1 ? x) ? a0 ? a1x ? a2 x ???? ? a7 x .
6 2 7

若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? 32 ,则 m ? _______. 16.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?

2Sn 2 (n ? 2) ,其中 Sn 为 {an } 的前 n 项和,则 S2016 ? _______. 2Sn ? 1

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答过程书写答题卡的对应位置,写错不 给分. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) △ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

物理分数 y

根据上表数据,用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的 强弱.如果具有较强的线 性相关关系,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01) ;如果不具有线性 相关性,请说明理由.

a s i nA s i B n ? b 2 c o? s A
b (I)求 ; a

5 a . 3

8 2 2 2 (II)若 c ? a ? b ,求角 C . 5
18、如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 是 B1C1 的中点. (1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦 值.

参考公式:相关系数 r ?

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? (x
i ?1

n

;回归直线的方程是: ? y ? bx ? a ,

i

? x)2 ? ( yi ? y) 2
i ?1

2

其中对应的回归估计值 b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

P, PC ? ED ? 1, PA ? 2 .
, a ? y ? bx , ? yi 是与 xi 对应的回归估计值. (I)求 AC 的长; (II)求证: BE ? EF .

? (x
i ?1

n

i

? x)2
2

参考数据: x ? 77.5, y ? 84.875,
8

? ( xi ? x) ? 1050, ? ( yi ? y) ? 457,
i ?1 i ?1

8

8

2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线

? (x
i ?1

i

? x)( yi ? y) ? 688, 1050 ? 32.4, 457 ? 21.4, 550 ? 23.5.

? x ? 2 ? t cos ? l 的参数方程为 ? (t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? . y ? 1 ? t sin ? ?
(I)求曲线 C 的直角坐标方程;

20.(本小题满分 12 分)

???? ? ????? 已知 P 是圆 C : x ? y ? 4 上的动点, P 在 x 轴上的射影为 P ' ,点 M 满足 PM ? MP ' ,当 P 在
2 2

(II)设点 P 的直角坐标为 P(2,1) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,并且 | PA | ? | PB |?

28 ,求 3

圆 C 上运动时,点 M 形成的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)经过点 A(0, 2) 的直线 l 与曲线 E 相交于点 C , D ,并且 AC ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? ln x, a ? R ,
2

tan ? 的值.

????

3 ???? AD ,求直线 l 的方程. 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

5 | ? | x ? a |, x ? R . 2
1 时,不等式 ln f ( x) ? 1 成立. 2

? ? 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,是否存在实数 a ,当 x ? ? 0, e? ( e 是自然常数)时,函数 g ? x ? 的最小
(1)若函数 f ? x ? 在 1, 2 上是减函数,求实数 a 的取值范围; 值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ? ? 0, e 时,证明: e x ?
2 2

(I)求证:当 a ? ?

(II)关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值.

?

5 x ? ? x ? 1? ln x 2

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 22. (本小题满分 10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABDC 内接于圆,过 B 作腰 AC 的平 行 线

BE 交 圆 于 F , 过 A 点 的 切 线 交 DC 的 延 长 线 于
3

牡一中 2016 年高三数学 2 月 22 日试题参考答案 由 选择 答案 填空 答案 1 D 2 D 13 2 2 3 D 4 A 5 B 14 0 6 B 7 B 8 C 15 9 A 10 D 11 C 16 12 C 取 z=1,得 =(0, ,1),∴cos< , >= = = ,又∵该二面角为钝角, ,得 ,

1 4031

∴二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣ . 19. 【 解 析 】 ( 1 ) 应 选 女 生 25 ?

5 sin A ??????3 分 3 5 5 b 5 2 2 即 sin B(sin A ? cos A) ? sin A 故 sin B ? sin A, 所以 ? . ??????6 分 3 3 a 3 8 2 8 2 2 2 2 2 (II)设 b ? 5t (t ? 0) ,则 a ? 3t ,于是 c ? a ? b ? 9t ? ? 25t ? 49t . 5 5 即 c ? 7t .??????9 分
17. 【解析】 (I)由正弦定理得, sin A sin B ? sin B cos A ?
2 2

8 8 ? 5 位 , 男 生 15 ? ? 3 位,可以得到不同的样本个数是 40 40

5 3 .??????3 分 C25 C15

(2) (i)这 8 位同学中恰有 3 位同学的数学和物理分数均为优秀,则需要先从物理的 4 个优秀分数中
3 3 3 选 3 个与数学优秀分数对应, 种数是 C4 ) , 然后将剩下的 5 个数学分数和物理分数任意对应, A3(或 A4 5 3 3 5 种数是 A5 ,根据乘法原理,满足条件的种数是 C4 A3 A5 .这 8 位同学的物理分数和数学分数分别对应
3 3 5 C4 A3 A5 1 P? ? .??????6 分 8 14 A8

由余弦定理得 cos C ?

2? a 2 ? b2 ? c 2 9t 2 ? 25t 2 ? 49t 2 1 . ????..12 分 ? ? ? .所以 C ? 3 2ab 2 ? 3t ? 5t 2

的种数共有 A

8 8 种.故所求的概率

18. 【解析】【解答】(1)证明:如图,以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、 y、z 轴建系. 则 BC= AC=2 ,A1O= = ,

(ii)变量 y 与 x 的相关系数 r ?

688 ? 0.99 .可以看出,物理与数学成绩高度正相关.也可以 32.4 ? 21.4

数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标做散点图如下: 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,故物理与数学成绩高度正相 关. ??????9 分 设 y 与 x 的线性回归方程是 y ? bx ? a ,根据所给数 ), 据,可以计算出 b ?

易知 A1(0,0, ),B( ,0,0),C(﹣ ,0,0), A(0, ,0),D(0,﹣ , ),B1( ,﹣ , ), =(0,﹣ =(﹣ ∵ ? ,0), =(﹣ =(﹣2 ,﹣ , ), =(0,0,

?

,0,0),

,0,0), ?

688 ? 0.66 , 1050

=0,∴A1D⊥OA1,又∵

=0,∴A 1D⊥BC,又

a ? 84.875 ? 0.66 ? 77.5 ? 33.73 ,所以 y 与 x 的线
性回归方程是 y ? 0.66 x ? 33.73 .????12 分 20. 【 解 析 】 ( I ) 设 M ( x, y ) , 则 P( x, 2 y ) 在 圆

∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面 A1BC; (2)解:设平面 A1BD 的法向量为 =(x,y,z), 由 ,得 ,

?

C : x2 ? y 2 ? 4 上,所以 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,即 x ? y 2 ? 1 ???..4 分 4
(II)经检验,当直线 l ? x 轴时,题目条件不成立,所以直线 l 存 在斜率.设直线 l : y ? kx ? 2 .设 C( x1, y1 ), D( x2 , y2 ) ,则
P M

2

y
A

取 z=1,得 =(

,0,1),设平面 B1BD 的法向量为 =(x,y,z),

y
A C

P'

O

x
O

4
D

x

? x2 2 ? ? y ?1 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 .???6 分 ?4 ? y ? kx ? 2 ?

? ? (16k )2 ? 4(1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0 ,得 k 2 ?

3 . 4

PC AC ,????4 分? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 ? AC AB (II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF , ????8 分 2 ?1 ????10 分 ? EF ? ? 2 ,?EF ? BE . 2

??PAC ∽?CBA,?

????5 分

16k 12 x1 ? x2 ? ? ?.①, x1 x2 ? ??②. ?????8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ???? 3 ???? 3 3 2 2 又由 AC ? AD ,得 x1 ? x2 ,将它代入①,②得 k ? 1 , k ? ?1 (满足 k ? ). 5 4 5
所以直线 l 的斜率为 k ? ?1 .所以直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 ??????12 分

23. 【 解 析 】 (1)当 ? ?0 时,将 ? ?

x 2 ? y 2 , sin ? ?

y x ?y
2 2

, cos ? ?

x x ? y2
2

代入

? sin 2 ? ? 4cos? ,得 y 2 ? 4x . 经检验,极点的直角坐标 (0, 0) 也满足此式.
所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x. ??????..5 分 (II)将 ?

? x ? 2 ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ?

代入 y ? 4 x ,得 sin
2

2

? ? t 2 ? (2sin ? ? 4cos ? )t ? 7 ? 0 ,

7 28 ? ,?????????????????..8 分 2 sin ? 3 ? 2? 3 2 所以 sin ? ? , ? ? 或 ,即 tan ? ? 3 或 tan ? ? ? 3 .????10 分 3 3 4 1 ? ??2 x ? 2??????? x ? ? 2 ? 5 1 1 5 ? f ( x ) ? | x ? | ? | x ? | 24.【解析】(1)证明:由 ? ?3?????????????? ? x ? 2 2 2 2 ? 5 ? ?2 x ? 2???????? x ? 2 ?
所以 | t1t2 |? 得函数 f ( x) 的最小值为 3,从而 f ( x) ? 3 ? e ,所以 ln f ( x) ? 1 成立. ???..5 分

5 5 5 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |?| a ? | , 2 2 2 5 5 5 5 所以 f ( x) 最小值为 | ? a | ,从而 | ? a |? a ,解得 a ? ,因此 a 的最大值为 .????..10 分 4 2 4 2
(2 ) 由绝对值的性质得 f ( x) ?| x ?

22.【解析】 : (I)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 ,?2 分 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,
5


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