当前位置:首页 >> 数学 >>

高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第八章 平面解析几何


第八章 平面解析几何(必修 2、选修 1-1)
专题一:直线与方程 1、直线倾斜角和斜率 (1)倾斜角的定义:把直线向上的方向与 x 轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。 (2)直线倾斜角的范围: 0? ? ? ? 180? ,当直线与 x 轴平行或者是重合时,倾斜角为 0? ( 3 ) 斜 率 的 定 义 : 倾 斜 角 不 为 90? 直 线 , 倾 斜 角 的 正 切 值 叫 直 线 的 斜 率 。 记 作

k ? tan ? ? ? (

9 0,当倾斜角为 90? 时直线的斜率不存在。 ? )
y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

(4)直线 l 过点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则直线的斜率为: k ? 1 2、直线方程的表示形式: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,

当斜率不存在时,直线与 x 轴垂直,倾斜角为 90? ,此时直线方程为: x ? x0 ,如右图,特 别地 y 轴所在直线方程为 x ? 0 。

当直线斜率 k ? 0 时,直线与 x 轴平行或者是重合直线方程为: y ? y0 , x 轴所在的直线方 程为 y ? 0

⑵斜截式: y ? kx ? b ( b 为直线在 y 轴上的截距) 当直线过 y 轴上一定点 (0, b) 时,通常设直线方程为: y ? kx ? b ,例如直线 l 过定点 (0, 2) , 设 l : y ? kx ? 2

x 当直线过 x 轴上一定点 (a, 0) 时, 通常设直线方程为: ? my ? a , , 例如直线 l 过定点 (2, 0) ,
1

设 l : x ? my ? 2

⑶两点式:

y ? y1 y2 ? y1
x a ? y b

?

x ? x1 x2 ? x1

⑷截距式:

? 1( a ? 0, b ? 0)

x y 一般地,问题中出现两个截距时,通常设直线方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,方程中 a b
a, b 分别表示直线的横截距和纵截距,令

y ? 0 可求得横截距 a ,令 x ? 0 可求得纵截距 b

2 2 ⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0) ,所有直线方程都可化为一般式。

当 B ? 0 ,直线的斜率 k 3、两直线的位置关系 位置 形式

??

A B

,当 B ? 0 时,直线斜率不存在,方程可化为 x ? ?

C A

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2
k1 ? k2,b1 ? b2
k1 ? k2,b1 =b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

l1 / / l2
l1和l2重合

A1B2 ? A2 B1且B1C2 ? B2C1 A1B2 ? A2 B1且B1C2 ? B2C1

l1 ? l2
l1 和 l 2 相交
4、交点与距离

k1 k 2 ? ?1
k1 ? k 2

A1 A2 ? B1 B2 ? 0
A1 B2 ? A2 B1

(1)两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点坐标需将两直线方程组成方程组 求解,即: ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0



当①有唯一解时,两直线相交; 当①无解时,两直线平行; 当①有无数个解时,两直线重合。 (2)过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系方程为:
A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

将含有一个参数的直线方程化为直线系方程的样式就可解决直线恒过定点问题。
2

(3)两点间距离公式:

P P2 ? 1

?x

2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2

2

(4)点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? c ? 0 距离公式: d ?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

(5) 两平行线间的距离公式:l1 :Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 :Ax ? By ? C 2 ? 0 平行, d ? 则

C1 ? C 2 A2 ? B 2

? x ? x1 ? x2 ? ? 2 (6)线段中点坐标公式: ? , A( x , y ), B( x , y ) , M ( x, y ) 是线段 AB 的中点。 ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
1 1 2 2

专题二:圆与方程 1、圆的方程 ⑴标准方程: ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,其中圆心为 (a, b) ,半径为 r .
2 2

⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,其中圆心为 ( ?
2 2 2

D 2

,?

E 2

) ,半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 的位置关系的判定: 0
2 (1)当 P0 ( x0 , y0 ) 满足 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 时点 P 在圆上; 2 2

2 (2)当 P ( x0 , y0 ) 满足 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 时点 P 在圆内; 0 2 2
2 (3)当 P ( x0 , y0 ) 满足 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 时点 P 在圆外; 0 2 2

2、直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法:相切:圆心到直线的距离 d = r ; 相交:圆心到直线的距离 d ? r ; 相离:圆心到直线的距离 d ? r 。
l:Ax+By+C=0 d r C(a,b) d= |Ax0+By0+C|

l:Ax+By+C=0 d r C(a,b) d=
2

l:Ax+By+C=0 d

|Ax0+By0+C|
2

A2+B2 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 相切:d=r

A2+B2 圆C:(x-a) +(y-b) =r2 相切:d<r

r |Ax0+By0+C| C(a,b) d= A2+B2 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2 相离:d>r

特别地,当直线 l 与圆 C 相离时,P 为圆上的动点,| PH | 为点 P 到 直线 l 的距离,设 d 为圆心到直线 l 的距离,则
| PH | max ? d ? r , | PH | min ? d ? r.

3

? (2) 过圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上一点 ( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b ?? y ? b ? ? r
(3)弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2
? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

2

3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 4、空间直角坐标系 (1)坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点:
x 轴上的点的坐标的特点: P( a, 0, 0) ,纵坐标和竖坐标都为零.

y 轴上的点的坐标的特点: P(0, a, 0) ,横坐标和竖坐标都为零.

z 轴上的点的坐标的特点: P(0, 0, a) ,横坐标和纵坐标都为零.
xOy 坐标平面内的点的特点: P( a, b, 0) ,竖坐标为零.

xOz 坐标平面内的点的特点: P( a, 0, b) ,纵坐标为零.
yOz 坐标平面内的点的特点: P(0, a, b) ,横坐标为零.

B (2) 中点坐标公式: A( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) , 设 则线段 AB 的中点坐标 (

x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 2 2 2
2

(3)空间中两点间距离公式: P P2 ? 1 专题三:圆锥曲线与方程 1、椭圆:

?x

2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? ? z 2 ? z1 ?
2 2

(1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;

4

(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 焦点在 y 轴上

焦点的位置

焦点在 x 轴上

图形

标准方程 范围

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
短轴的长 ? 2b

?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 离心率 焦点三角形面积 通径
e?

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0,b ?
长轴的长 ? 2a

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ? F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c (c 2 ? a 2 ? b 2 )
c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a (0 ? e ? 1)

(离心率越大,椭圆越扁)

S?MF1F2 ? b2 tan

?
2

(? ? ?F1MF2 )

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

2、双曲线 (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的 点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
5

(3)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 离心率 渐近线方程 焦点三角形面 积
e?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
实轴的长 ? 2a

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ? F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c (c 2 ? a 2 ? b 2 )
c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a (e ? 1) (离心率越大,开口越大)

y??

b x a
S ?MF1F2 ? b2 tan

y??
(? ? ?F1MF2 )

a x b

?
2

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

①求双曲线

2 2 x2 y2 可令其右边的 1 为 0, 即得 x 2 ? y 2 ? 0 , 因式分解得到 x ? y ? 0 。 ? 2 ? 1 的渐近线, a2 b a b a b

x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? ; a b a b
2 2 2 ③等轴双曲线为 x ? y ? t ,其离心率为

2
6

三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方 程
y 2 ? 2 px

焦点在 x 轴上, 开口向左
y 2 ? ?2 px
y

焦点在 y 轴上, 开口向上

焦点在 y 轴上, 开口向下
x 2 ? ?2 py

x 2 ? 2 py
l
x P

l
图 形
O

y P x F

P F

y F O x

l
P

O

y O F

x

l
顶 点
x轴
p F ( ,0 ) 2 p 2
O(0,0)

对称轴 焦 点

y轴
F (? p ,0) 2
F (0, p ) 2
p 2
p F (0,? ) 2

离心率 准 通 线 径
| PF |?| x0 | ? p 2

e ?1
x??
x? p 2
y??

y?

p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦

x1 ? x2 ? p

p 焦准距 四、直线与圆锥曲线的关系 (1)判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法(基本思路)

? 直线方程 ? 消元 ? 一元二次方程 ? 判别式?(方程的思想) 联立 ? ?圆锥曲线方程

注意:与双曲线只有一个交点的直线:一是相切,二是与渐近线平行 与抛物线只有一个交点的直线:一是相切,二是与对称轴平行 (2)求弦长公式
| AB | = 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 (消y) ? 1? 1 1 y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 (消x) 2 k k
7

求弦长步骤:①求出或设出直线与圆锥曲线方程; ②联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax 2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ?

B C , x1 x2 ? ; A A

③代入弦长公式计算。 (3)与弦的中点有关的问题常用“点差法” 把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程,作差 ? 弦的斜率与中点的关系(弦的中点和弦的斜率 可以互相表示) (4)求离心率的常用方法: 法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、 建立 a,b,c 满足的关系, 消去 b,再化为关于 e 的方程, 最后解方程求 e (求 e 时, 要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)

8


相关文章:
高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第八章 平面解析几何.doc
高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第八章 平面解析几何 - 第八章 平面解析几何(必修 2、选修 1-1) 专题一:直线与方程 1、直线倾斜角和斜率 (1)倾斜角的...
...2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件文新人....ppt
(全国通用)2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何课件文新人教A版 - 第八章 平面解析几何 [ 五年考情] 考点 直线的倾斜角 与斜率、直线 全国卷Ⅱ T6 的...
高三数学一轮复习第八章平面解析几何知识点资料汇总8-8....ppt
高三数学一轮复习第八章平面解析几何知识点资料汇总8-8 - 《高考风向标》高考文科数学一轮复习资料 ? 重点难点 ? 重点:曲线与方程的概念及求曲线方程的步骤 ? ...
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何单元质量检....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何单元质量检测理新人教A版 - 第八章单元质量检测 时间:90 分钟 分值:100 分一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1...
...人教版理科数学复习配套 重点内容精选:第八章 平面解析几何_....ppt
2015高考人教版理科数学复习配套 重点内容精选:第八章 平面解析几何_高中教育_...( A.2 B. 2 2 ) C.4 D. 2 3 【解析】因为点(m ,n)在直线 4x+...
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业58....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业58理新人教A版 - 课时作
...版)复习配套 重点内容精选:第八章 平面解析几何_图....ppt
【创新方案】2015高考数学(理)(人教通用版)复习配套 重点内容精选:第八章 平面解析几何 - 第八章 平面解析几何 目录链接 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的...
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析....ppt
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析几何_第8讲_曲线与方程 - 第八章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程 第八章 平面解析几何 1.曲线与方程...
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业56....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业56理新人教A版 - 课时作
...2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何单元质....doc
【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何单元质量检测 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第八章单元质量检测时间:90 分钟 分值:100...
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业55....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业55理新人教A版 - 课时作业 55 一、选择题 圆的方程 1.若过点 A(a,a)可作圆 x +y -2ax+a +2a-3=...
...数学一轮复习课件(人教A版)第八章 平面解析几何8.3....ppt
【世纪金榜】2016届高三文科数学一轮复习课件(人教A版)第八章 平面解析几何8.3第三节 - 第三节 圆的方程 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 圆的...
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业59....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业59理新人教A版 - 课时作
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业53....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业53理新人教A版 - 课时作
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析....ppt
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析几何_第1讲_直线的倾斜角与斜率、直线的方程 - 第八章 平面解析几何 第八章 平面解析几何 2016高考导航...
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业54....doc
2016高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业54理新人教A版 - 课时作
...数学一轮复习课件(人教A版)第八章 平面解析几何8.5....ppt
【世纪金榜】2016届高三文科数学一轮复习课件(人教A版)第八章 平面解析几何8.5第五节 - 第五节 椭圆 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)椭圆的...
...理科(人教A版)一轮复习课件 第八章 平面解析几何8-4....ppt
【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件 第八章 平面解析几何8-4 - 第四节 最新考纲展示 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.能根据给定直线、圆...
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析....ppt
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析几何_第3讲_圆的方程 - 第八章 平面解析几何 第3讲 圆的方程 第八章 平面解析几何 1.圆的定义及...
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析....ppt
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析几何_第9讲_第2课时最值、范围问题 - 第八章 平面解析几何 第2课时 最值、范围问题 第八章 平面解析...
更多相关标签: