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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第3讲 函数的奇偶性与周期性 新人教版


第3讲
【2013 年高考会这样考】 1.判断函数的奇偶性.

函数的奇偶性与周期性

2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在 研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.

基础梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就 叫做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值 时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期.

一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质
1

(1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x), y=f(x)的图象关 则 于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x), f(2b-x)=f(x)(其中 a<b), y=f(x) 且 则: 是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 数,其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|. 双基自测 1

f? x?

或 f(x+a)=-

1

f? x?

, 那么函数 f(x)是周期函

? 5? 1.(2011·全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?- ? ? 2?
=( 1 A.- 2 ). 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

1 ? 5? ?5? ?1? 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f?- ?=-f? ?=-f? ?=- .故选 A. 2? 2? 2? 2 ? ? ? 答案 A

1 2.(2012·福州一中月考)f(x)= -x 的图象关于(

x

).

A.y 轴对称 C.坐标原点对称

B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

1 ?1 ? 解析 f(x)的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), f(-x)= -(-x)=-? -x?=-f(x), 又 -x ?x ? 则 f(x)为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C 3. (2011·广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是 ( ). B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数
2

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A 4.(2011·福建)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的 一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 C.2 和 4 B.3 和 1 D.1 和 2 ).

解析 ∵f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c 且 c∈Z,∴f(1)+f(-1)=2c 是 偶数,只有 D 项中两数和为奇数,故不可能是 D. 答案 D 5.(2011·浙江)若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 法一 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立, ∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立, 两 边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二 由 f(-1)=f(1), 得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0
2

考向一 判断函数的奇偶性 【例 1】? 下列函数: ①f(x)= 1-x +
2

x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ x2+1);④f(x)=
).

3 -3 ; 2

x

-x

1-x ⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是( 1+x A.2 B.3 C.4 D.5

[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断. 解析 ①f(x)= 1-x + x -1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=±f(x)=0, 则 f(x)= 1-x + x -1是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x -x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x) -(-x)=-(x -x)=-f(x), 则 f(x)=x -x 是奇函数; ③由 x+ x +1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x +1)的定义域为 R,
2 2 3 3 3 3 2 2 2 2

3

又 f(-x)=ln(-x+ ?
2

-x?

2

+1)=ln

1

x+ x2+1



-ln(x+ x +1)=-f(x), 则 f(x)为奇函数; 3 -3 ④f(x)= 的定义域为 R, 2 3 -3 3 -3 又 f(-x)= =- =-f(x), 2 2 则 f(x)为奇函数; 1-x 1-x ⑤由 >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1+x ?1-x?-1=-ln1-x=-f(x), 又 f(-x)=ln =ln? ? 1-x 1+x ?1+x? 则 f(x)为奇函数. 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x)成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能 下任何结论的,切忌主观臆断. 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性: 4-x (1)f(x)= ; |x+3|-3 (2)f(x)=x -|x-a|+2. 解
?4-x ≥0, ? (1)解不等式组? ?|x+3|-3≠0, ?
2 2 2 -x

x

-x

x

x

-x

得-2≤x<0,或 0<x≤2, 因此函数 f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2], 则 f(x)= 4-x
2

x

.
2

f(-x)=

4-? -x? -x

=-

4-x

2

x

=-f(x),

所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞). 当 a=0 时,f(x)=x -|x|+2,
2

f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x).
因此 f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a +2,
4
2

f(-a)=a2-|2a|+2, f(-a)≠f(a),且 f(-a)≠-f(a).
因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数. 考向二 函数奇偶性的应用 【例 2】? 已知 f(x)=x?

? x 1 +1?(x≠0). ? ?2 -1 2?

(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0. [审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大 于 0. (1)解 法一 ∵f(x)=x?

f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
x

? x 1 +1?=x·2 +1. ? ?2 -1 2? 2 2x-1
-x

-x 2 +1 x 2 +1 ∴f(-x)= · -x = · x =f(x). 2 2 -1 2 2 -1 故 f(x)是偶函数. 法二 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 3 3 ∵f(1)= ,f(-1)= ,∴f(x)不是奇函数. 2 2 ∵f(x)-f(-x)=x?
x

x

? x 1 +1?+x? -x1 +1? ? ? ? ?2 -1 2? ?2 -1 2?
x

=x?

? x 1 + 2 x+1?=x?1-2 +1?=x(-1+1)=0, ? ?2x-1 ? ?2 -1 1-2 ? ? ?
x x

∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)证明 当 x>0 时,2 >1,2 -1>0, 所以 f(x)=x?

? x 1 +1?>0. ? ?2 -1 2?

当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)>0,又 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),所以 f(x)>0. 综上,均有 f(x)>0. 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的 单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反. 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究, 只需研究对称区间上的单调性即可. 【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1 -m)+f(1-m )<0 的实数 m 的取值范围. 解 ∵f(x)的定义域为[-2,2],
2

5

? ?-2≤1-m≤2, ∴有? 2 ? ?-2≤1-m ≤2,

解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m )=f(m -1)? 1-m>m -1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 考向三 函数的奇偶性与周期性 【例 3】? 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x ∈[0,1]时,f(x)=2 -1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. [审题视点] (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)为周期函数; (2)由 f(x)在[0,1]上的解析式及 f(x)图象关于 x=1 对称求得 f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 函数 f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x), 则 函数 f(x)的图象关于 x=1 对称, f(2 则 +x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)解 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=2 (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,
2-x 2 2 2

x

-1,x∈[1,2].

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周 期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x -1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为( A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)
6

).

=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 答案 C

规范解答 3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区别又有 联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起命制试 题. 【解决方案】 根据奇偶性的定义知, 函数的奇偶性主要体现为 f? -x? 与 f? x? 的相等或 相反关系, 而根据周期函数的定义知, 函数的周期性主要体现为 f? x+T? 与 f? x? 的关系,

它们都与 f? x? 有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函 数的奇偶性体现的是一种对称关系, 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的 规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调 性,即实现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011·沈阳模拟)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2) =-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 第(1)问先求函数 f(x)的周期,再求 f(π ); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图象,由图象易求 面积; 第(3)问,由图象观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分) ∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π ) =-(4-π )=π -4.(4 分)

7

(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x).

故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则

? ? S=4S△OAB=4×? ×2×1?=4.(10 分)
1

?2

?

(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈ Z).(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知 区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【试一试】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函 数,则( ). B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

[尝试解答] 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上 递增, f(x-4)=-f(x)? f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 又 故函数 f(x)以 8 为周期, (-25) f =f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11).故 选 D. 答案 D

8


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